新人教版九年級下冊初中數(shù)學(xué) 課時3 方向角、坡度問題 教案（教學(xué)設(shè)計）

1、精品文檔 精心整理精品文檔 可編輯的精品文檔第二十八章 銳角三角函數(shù)28.2 解直角三角形及其應(yīng)用28.2.2 應(yīng)用舉例課時3 方向角、坡度問題【知識與技能】1.了解方位角等有關(guān)概念,能準(zhǔn)確把握所指的方位角是指哪一個角.2.了解坡度、坡角的有關(guān)概念,知道坡度與坡角之間的關(guān)系.3.經(jīng)歷對實際問題的探究,會利用解直角三角形的知識解決有關(guān)方位角、坡度、坡角的實際問題.【過程與方法】1.通過探究從實際問題中建立數(shù)學(xué)模型的過程,發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力,提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力.2.通過將實際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形中元素之間的關(guān)系,增強應(yīng)用意識,體會數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3.體驗用解直角

2、三角形的有關(guān)知識解決簡單的實際問題的策略和方法,培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力,提高學(xué)生思維能力的靈活性.【情感態(tài)度與價值觀】1.通過根據(jù)實際問題畫示意圖的過程,培養(yǎng)學(xué)生的動手能力,激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲.2.在運用三角函數(shù)知識解決問題的過程中,認(rèn)識數(shù)學(xué)具有抽象、嚴(yán)謹(jǐn)和應(yīng)用廣泛的特點,體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.3.通過將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,培養(yǎng)建模思想,體會數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣. 用三角函數(shù)有關(guān)知識解決方位角、坡度、坡角等有關(guān)問題. 準(zhǔn)確分析問題并將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型. 多媒體課件. 導(dǎo)入一:【復(fù)習(xí)提問】1.在練習(xí)本上畫出方向圖(表示東南西北四個方向的

3、).2.依次畫出表示東南方向、西北方向、北偏東65度、南偏東34度方向的射線.【師生活動】學(xué)生動手畫圖,小組內(nèi)交流答案,教師巡視過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生易犯錯誤,作出點評.導(dǎo)入二:如果你是修建三峽大壩的工程師,現(xiàn)在有這樣一個問題請你解決:如圖,水庫大壩的橫斷面是梯形,壩頂寬6m,壩高23m,斜坡AB的坡度i=13,斜坡CD的坡度i=12.5,求斜坡AB的坡角,壩底寬AD和斜坡AB的長.【師生活動】教師課件展示實際問題,學(xué)生審題,面對學(xué)生對沒學(xué)過的概念的疑惑,教師導(dǎo)出本節(jié)課課題.過渡語在這個實際問題中,什么是坡度、坡角?如何解決這個實際問題?這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.設(shè)計意圖通過復(fù)習(xí)有關(guān)方位角的概念,

4、為本節(jié)課探究例題做好鋪墊.以有關(guān)斜坡問題的生活實例導(dǎo)入新課,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)在生活中無處不在,同時激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲. 探究一如圖,一艘海輪位于燈塔P的北偏東65方向,距離燈塔80nmile的A處,它沿正南方向航行一段時間后,到達(dá)位于燈塔P的南偏東34方向上的B處.這時,B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)(結(jié)果取整數(shù))?思路一教師引導(dǎo)分析:(1)要求BP的長,常作的輔助線是什么?(構(gòu)造直角三角形)(2)在RtBPC中,要求BP的長,已知什么?需要求什么?(3)題目中的已知條件是什么?在哪個直角三角形中?(4)在RtAPC中,根據(jù)已知條件可以求出什么?(5)結(jié)合(2),只要求出哪條線段的長即可?(線段PC

5、的長)(6)根據(jù)以上分析,你能寫出解答過程嗎?【師生活動】學(xué)生根據(jù)教師提出的問題思考后,獨立完成解答過程,教師巡視過程中及時輔導(dǎo),鼓勵學(xué)生用不同角度思考問題,最后展示學(xué)生的解答過程,學(xué)生點評與總結(jié).解:在RtAPC中,PC=PAcos(90-65)=80cos2572.505.在RtBPC中,B=34,sinB=,PB=130(nmile).因此,當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P的南偏東34方向上的B處時,它距離燈塔P大約130nmile.思路二【學(xué)生活動】(1)根據(jù)題意,自己畫出示意圖.(2)分析題意,寫出解答過程.(3)小組內(nèi)成員交流答案.【教師活動】(1)巡視過程中及時輔導(dǎo),幫助有困難的學(xué)生,引導(dǎo)學(xué)

6、生從不同角度思考問題.(2)展示學(xué)生的成果,讓學(xué)生進(jìn)行點評.(3)規(guī)范解題格式,強調(diào)解決實際問題的關(guān)鍵.【課件展示】同思路一設(shè)計意圖通過教師引導(dǎo)或自主學(xué)習(xí)方式解決有關(guān)方位角的實際問題,讓學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合思想和建模思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力,體會將實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題的一般思路和方法.二、探究二活動一:認(rèn)識有關(guān)概念:【課件展示】坡度:坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度(或叫做坡比),一般用i表示.即i=,常寫成i=1m的形式.坡角:把坡面與水平面的夾角叫做坡角.【思考】坡度i與坡角之間具有什么關(guān)系?(i=tan)【師生活動】學(xué)生小組合作交流,歸納結(jié)

7、論,教師點評.活動二:解決課前導(dǎo)入問題:如圖,水庫大壩的橫斷面是梯形,壩頂寬6m,壩高23m,斜坡AB的坡度i=13,斜坡CD的坡度i=12.5,求斜坡AB的坡角(精確到1),壩底寬AD和斜坡AB的長(精確到0.1m).解析(1)進(jìn)行和坡度有關(guān)的計算,常作輔助線構(gòu)造直角三角形,根據(jù)解直角三角形的知識求坡角.(2)根據(jù)坡度的概念及梯形的高,可以求出AE,DF的長.(3)由矩形的性質(zhì)可得EF與BC的數(shù)量關(guān)系,求出EF的值,從而求出AD的長.(4)在RtABE中,由勾股定理或三角函數(shù)的定義可得AB的長.【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生分析問題,然后學(xué)生獨立完成解答過程,小組內(nèi)交流答案,小組代表板書過程,教師

8、進(jìn)行點評.【課件展示】解:在RtABE和RtCDF中,=,=,AE=3BE=323=69(m),FD=2.5CF=2.523=57.5(m).AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m).斜坡AB的坡度i=tan=0.3333,1826.在RtABE中,AB=72.7(m).答:斜坡AB的坡角約為1826,壩底寬AD為132.5m,斜坡AB的長約為72.7m.設(shè)計意圖通過利用解直角三角形的知識解決有關(guān)坡度問題,培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力及良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.坡度問題計算過程很繁瑣,通過嚴(yán)格要求學(xué)生,選擇最簡練、準(zhǔn)確的方法計算,培養(yǎng)學(xué)生運算能力.三、共同歸納過渡語通過兩節(jié)課的學(xué)習(xí),你能歸納

9、出利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是什么嗎?【師生活動】學(xué)生小組討論,教師對學(xué)生的回答給予鼓勵,師生共同歸納解題過程:【課件展示】(1)將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題(畫出平面圖形,轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題)；(2)根據(jù)問題中的條件,適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等解直角三角形；(3)得到數(shù)學(xué)問題的答案；(4)得到實際問題的答案.設(shè)計意圖通過歸納總結(jié)用解直角三角形知識解決實際問題的一般過程,培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.知識拓展(1)解決實際問題時,可利用正南、正北、正西、正東方向線構(gòu)造直角三角形求解.(2)坡度也叫坡比,即i=,一般寫成i=1m的形式(比的前項是1,后項可以是整數(shù),也

10、可以是小數(shù)或根式).(3)坡度i與坡角之間的關(guān)系為i=tan.(4)坡角越大,坡度越大,坡面越陡. 利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程:(1)將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題(畫出平面圖形,轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題)；(2)根據(jù)問題中的條件,適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等解直角三角形；(3)得到數(shù)學(xué)問題的答案；(4)得到實際問題的答案. 第3課時1.探究一2.探究二3.共同歸納 一、教材作業(yè)二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.如圖,某商場自動扶梯的長l為10米,該自動扶梯到達(dá)的高度h為6米,自動扶梯與地面所成的角為,則tan等于()A.B.C.D.2.如圖,小雅家(圖中點O處)門前有一條東西走向的公路,經(jīng)測

11、得有一水塔(圖中點A處)在她家北偏東60方向500m處,那么水塔所在的位置到公路的距離AB是()A.250mB.250mC.mD.250m3.一段公路的坡度為13,某人沿這段公路路面前進(jìn)100米,那么他上升的最大高度是()A.30米B.10米C.30米D.10米4.一只船向正東方向航行,上午7時在燈塔A的正北方向的C處,上午9時到達(dá)燈塔A的北偏東60方向的B處,已知船的速度為每小時20千米,那么AB的長是()A.千米B.千米C.千米D.千米5.已知傳送帶與水平面所成斜坡的坡度i=12.4,如果它把物體送到離地面10米高的地方,那么物體所經(jīng)過的路程為米.6.一只船向正東方向航行,上午9點到達(dá)一座

12、燈塔的西南方向68海里處,上午11點到達(dá)這座燈塔的正南方向,這只船航行的速度是海里/時.(答案可帶根號)7.如圖,沿江堤壩的橫斷面是梯形ABCD,壩頂AD=4m,壩高AE=6m,斜坡AB的坡比i=12,C=60,求斜坡AB,CD的長.8.如圖,一船在A處測得北偏東45方向有一燈塔B,船向正東方向以每小時20海里的速度航行1.5小時到達(dá)C處時,又觀測到燈塔B在北偏東15方向上,求此時船與燈塔相距多少海里.【能力提升】9.如圖,一游人由山腳A沿坡角為30的山坡行走600m,到達(dá)一個景點B,再由B沿山坡BC行走200m到達(dá)山頂C,若在山頂C處觀測到景點B的俯角為45,則山高CD等于(結(jié)果用根號表示)

13、.10.如圖,一艘輪船航行到B處時,測得小島A在船的北偏東60的方向,輪船從B處繼續(xù)向正東方向航行200海里到達(dá)C處時,測得小島A在船的北偏東30的方向.已知在小島周圍170海里內(nèi)有暗礁,若輪船不改變航向繼續(xù)向前行駛,輪船有無觸礁的危險?(1.732)11.如圖,某漁船在小島O南偏東75方向的B處遇險,在小島O南偏西45方向A處巡航的中國漁政船接到求救信號后立刻前往救援,此時,中國漁政船與小島O相距8海里,漁船在中國漁政船的正東方向上.(1)求BAO與ABO的度數(shù)(直接寫出答案)；(2)若中國漁政船以每小時28海里的速度沿AB方向趕往B處救援,能否在1小時內(nèi)趕到?請說明理由.(參考數(shù)據(jù):tan

14、753.73,tan150.27,1.41,2.45)【拓展探究】12.如圖,某氣象臺測得“蘋果1號”臺風(fēng)的中心在A地,A地在B城的正西方向300km處,臺風(fēng)中心正以50km/h的速度沿北偏東60的方向移動.距臺風(fēng)中心250km范圍內(nèi)的區(qū)域都會受到臺風(fēng)的影響.(1)B城是否會受到臺風(fēng)的影響?請說明理由.(2)如果B城會受到臺風(fēng)的影響,那么受到影響的時間有多長?【答案與解析】1.A解析:由勾股定理可得另一直角邊的長為=8,所以tan=.故選A.2.A解析:由已知得AOB=30,OA=500m,則AB=OA=250m.故選A.3.D解析:如圖,在RtABC中,tanA=,AB=100米.設(shè)BC=x

15、米,則AC=3x米.根據(jù)勾股定理,得x2+(3x)2=1002,解得x=10(負(fù)值舍去).故選D.4.D解析:如圖,由題意得BC=202=40(千米),A=60,sinA=sin60=,=,解得AB=千米.故選D.26解析:如圖,由題意得斜坡AB的坡度為i=12.4,AE=10米,AEBD.i=,BE=24米.在RtABE中,AB=26（米）.17解析:如圖,由題意知M=45,PM=68,則在RtPNM中,cosM=,即=,MN=34,這只船航行的速度為=17(海里/時).7.解:斜坡AB的坡比i=12,AEBE=12.又AE=6m,BE=12m,AB=6(m),作DFBC于F(如圖),則得矩

16、形AEFD,有DF=AE=6m.C=60,CD=4(m).答:斜坡AB,CD的長分別是6m,4m.8.解:如圖,過C作CDAB,垂足為D,過C作CEAC,交AB于E.在RtACD中,DAC=45,AC=201.5=30,CD=ACsin45=30=15.在RtBCD中,BCD=BCE+ECD=45+15=60,BC=30(海里).答:此時船與燈塔相距30海里.(100+300)m解析:過B作BFAD于F,BECD于E,如圖.在山頂C處觀測到景點B的俯角為45,BEC為等腰直角三角形,而BC=200m,CE=BC=100（m）.A=30,AB=600m,BF=AB=300m,CD=CE+ED=1

17、00+300（m）.解:該輪船不改變航向繼續(xù)前行,無觸礁的危險.理由如下:如圖,作ADBC于D,則有ABD=30,ACD=60,CAB=ABD,AC=BC=200海里.在RtACD中,設(shè)CD=x海里,則AC=2x,AD=x,在RtABD中,AB=2AD=2x,BD=3x.又BD=BC+CD,3x=200+x,x=100.AD=x=100173.2.173.2海里170海里,輪船不改變航向繼續(xù)向前行駛,輪船無觸礁的危險.11.解:(1)BAO=45,ABO=15.(2)能.過點O作OCAB于點C,如圖,則AOC與BOC都是直角三角形,由(1)得BAO=45,ABO=15,AOC是等腰直角三角形,

18、AC=OC.在RtAOC中,AC=OAcos45=8=45.64,OC=AC5.64.在RtBOC中,BC=20.89.AB=AC+BC5.64+20.89=26.53(海里).中國漁政船的速度是每小時28海里,中國漁政船能在1小時內(nèi)趕到.解:(1)如圖,過點B作BDAC于點D.臺風(fēng)中心正以50km/h的速度沿北偏東60的方向移動,CAB=30.AB=300km,BD=AB=300=150(km),150km250km,B城會受到臺風(fēng)的影響.(2)過點B作BE=BF=250km.BDAC,DE=DF=EF.在RtDEB中,BE=250km,BD=150km,DE=200(km),EF=2DE=400（km）.臺風(fēng)中心正以50km/h的速度沿北偏東60的方向移動,經(jīng)過EF的時間t=8(h).答:受到影響的時間是8小時. 以和本節(jié)課有關(guān)的坡度、坡角的實際問題導(dǎo)入新課,激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲,探究一是解決和方位角有關(guān)的實際問題,因為學(xué)生對方位角比較熟悉,所以探究活動以學(xué)生為主,獨立完成后小組合作交流,展示成果,讓學(xué)生體會成功的快樂；探究二是解決導(dǎo)入中的生活實例,做到首尾呼應(yīng),教師引導(dǎo)學(xué)生熟悉坡度、坡角的概念后,學(xué)生在教師提出的問題的引導(dǎo)下自主學(xué)習(xí),建立數(shù)學(xué)模型,將實