多種解法計(jì)算圓周率π

1、課程設(shè)計(jì)報(bào)告學(xué)院、系：吉林大學(xué)珠海學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系專業(yè)名稱：軟件工程課程設(shè)計(jì)科目C語言程序課程設(shè)計(jì)所在班級：學(xué)生學(xué)號：學(xué)生姓名：指導(dǎo)教師：曾志平完成時(shí)間：2012年3月-5月題目：多種解法計(jì)算圓周率n一、設(shè)計(jì)任務(wù)與目標(biāo)此問題求圓周率在之前所學(xué)的c語言中已經(jīng)接觸過，但是算法單一，采用級數(shù)， 而且收斂較慢，故運(yùn)行時(shí)間較長，此程序設(shè)計(jì)要解決的問題是如何實(shí)現(xiàn)高精度的 運(yùn)算，如何對結(jié)果進(jìn)行輸出，并且嘗試采用不同的方法進(jìn)行求解圓周率。本次上機(jī)實(shí)踐所使用的平臺和相關(guān)軟件。平臺：windows 7相關(guān)軟件：VC+6.0二、方案設(shè)計(jì)與論證隨機(jī)數(shù)法求圓周率可以利用計(jì)算機(jī)中隨機(jī)數(shù)函數(shù)模擬出兩個01之間的浮點(diǎn)型

2、 點(diǎn)(x,y),建立直角坐標(biāo)系思想，利用邊長為1的正方形內(nèi)切半徑為0.5圓的方 程(x-0.5)*(x-0.5) + (y-0.5)*(y-0.5)=0.25判斷點(diǎn)是否在圓內(nèi)，用計(jì)數(shù)器b保 存在的點(diǎn)，如此模擬5000次。用落入圓內(nèi)的點(diǎn)數(shù)b的4倍除以總的扔的點(diǎn)數(shù)N 用，可大概求出圓周率的值。一般來說，根據(jù)概率思想，N值越大，模擬次數(shù)越 多，其求出來圓周率的值越接近真實(shí)的圓周率。祖沖之迭代法因?yàn)閳A內(nèi)接正六邊形邊長等于半徑的思想，故可以從正六邊形出 發(fā)，不斷迭代，當(dāng)正多邊形邊數(shù)增加時(shí)，其周長也逐漸逼近圓的周長，反過來即 可求的一定精度的圓周率，設(shè)圓內(nèi)接正六邊形的邊長為b,邊數(shù)為i，利用公式 七=(也

3、20” )/2進(jìn)行迭代運(yùn)算，為了提高精度，算法中對公式進(jìn)行分開運(yùn) 算，求得邊數(shù)為2i的圓內(nèi)接正多邊形后得出其周長，運(yùn)用迭代后的正多邊形周 長減去迭代前的正多邊形周長，獲取其精度程度。如果最終求出的圓內(nèi)接正多邊 形的周長，即接近圓的周長，最后利用數(shù)學(xué)公式即可以求出圓周率。輸出其最后 迭代后得圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)和圓周率即可。用級數(shù)法求圓周率，定義一個a400的數(shù)組用于存儲計(jì)算結(jié)果，從結(jié)果出發(fā)， 因?yàn)槠湟敵鲆欢ň鹊膱A周率，若n值太大會造成計(jì)算冗余，利用數(shù)學(xué)中不等 式確定其n項(xiàng)，用一個循環(huán)從n1計(jì)算每一項(xiàng)的值并存儲，1+n/(2n+1)用數(shù)組模 擬手工乘除加法，除法1/(2n+1)，相除后商為a

4、0，然后將余數(shù)乘以10，作 為被除數(shù)再除以除數(shù)取商為十分位，存于a1,如此類推；乘法則每個數(shù)組乘以 n,如果滿十則向前面數(shù)組進(jìn)一，再取其個位存儲；加法因?yàn)榧?，則直接可以 加到a0上。然后保存計(jì)算結(jié)果后用該值計(jì)算n-1項(xiàng)，如此重復(fù)一直到第1項(xiàng) 后按照格式輸出每個數(shù)組元素即可。附加題圓外切正多邊形與圓內(nèi)接正多邊形算法相似，但是圓半徑的長度為1時(shí)， 其外切正六邊形的邊長為2*sqrt(3)/3,并且其迭代公式也相應(yīng)的進(jìn)行了改變， b=2*(sqrt(b*b+4)-2)/b;由于圓外切正多邊形迭代后的周長小于迭代前的周長， 故控制精度時(shí)用迭代前的正多邊形周長減去迭代后的正多邊形邊長。三、程序框圖或流

5、程圖，程序清單與調(diào)用關(guān)系nextl1由主函數(shù)分別調(diào)用void suiji()(即課程第一小問，隨機(jī)數(shù)函數(shù)),void neijie() (第二小問，內(nèi)接正多邊形法)，void jishu()(第三小問，級數(shù)法)，void waiqie()(外切正多邊形法).由于jishu函數(shù)的流程圖過長，造成排版不便，故進(jìn)行了分段和省略控制輸出等 部分流程圖。四、全部源程序清單#include #include #include #include#define N 5000 void main() void jishu();void neijie();void suiji();void waiqie();su

6、iji(); TOC o 1-5 h z printf(n);neijie();printf(n);jishu();printf(n);waiqie();printf(n);void suiji()double x,y;int a=0,b=0;srand(time(0);while(a+=N)/投 5000 次點(diǎn)x=(double)rand()/RAND_MAX;/產(chǎn)生 01 之間的浮點(diǎn)數(shù)y=(double)rand()/RAND_MAX;/產(chǎn)生 01 之間的浮點(diǎn)數(shù)if(x-0.5)*(x-0.5) + (y-0.5)*(y-0.5)=0.25)/判 斷所產(chǎn)生的點(diǎn)是否在圓內(nèi) b+;/匯總落在圓

7、內(nèi)的點(diǎn)數(shù)printf(用隨機(jī)數(shù)法求得丸=%lfn”,4.0*b/N);void neijie()double e,b=1,d; /b：為正多邊形邊長long int i; /i:正多邊形邊數(shù)for(i=6;i*=2) /正多邊形邊數(shù)加倍d=1.0-sqrt(1.0-b*b/4); /計(jì)算圓內(nèi)接正多邊形的邊長b=sqrt(b*b/4+d*d);if(2*i*b-i*e 1e-15) /2*i*b迭代后的周長，i*e原來的周長break; /精度達(dá)1e-15則停止計(jì)算e=b; 保存本次正多邊形的邊長作為下一次精度控制的依據(jù)printf(用圓內(nèi)接正多邊形計(jì)算n =%.15lfn 迭代后得正多邊形的邊

8、數(shù) 為：dn”,i*b,i);void waiqie()double e,b=2*sqrt(3)/3,d; /b：為正多邊形邊長long int i; /i:正多邊形邊數(shù)for(i=6;i*=2) /正多邊形邊數(shù)加倍e=b; /e：暫存邊數(shù)為加倍前的邊長d=sqrt(1.0+b*b/4)-1; /計(jì)算圓外切正多邊形的邊長b=2*(b*b/4-d*d)/b;if(i*e-2*i*b 1e-15)break; /精度達(dá)1e-15則停止計(jì)算e=b; 保存本次正多邊形的邊長作為下一次精度控制的依據(jù)printf(附加題：外切正多邊形計(jì)算n=%.15lfn迭代后得正多邊形的邊數(shù) 為：dn”,i*b,i);

9、void jishu()float s;int x,b,c,i,j,n,e,a400;for(s=0,n=1;n100) break;for(i=0;i=1;b-)c=2*b+1;/首先用除法計(jì)算1/2n+1的高精度商for(i=0;i=0;i-)/計(jì)算 n/(2n+1)的高精度值ai=ai*b+j;/數(shù)組模擬手工乘法，每個數(shù)組乘以nj=ai/10;/如果滴十則對前面數(shù)組進(jìn)1ai=ai%10;/而該數(shù)組取個位a0=a0+1;/計(jì)算 1+n/(2n+1)的高精度值x=a0;for(j=0,i=101;i=0;i-)ai=ai*2+j;j=ai/10;ai=ai%10;/因?yàn)楣阶筮呥€有個 1/2

10、，對結(jié)果整 體乘以二，模擬手工乘法printf (-用級數(shù)方法求得n=%d.,a0);/控制格式并輸出結(jié)果 for(e=0,i=1;i=100;i+)printf(%d,ai);e+;if(e%30=0)printf(n);printf(n)；五、程序運(yùn)行結(jié)果測試與分析由輸出結(jié)果可以看出，隨機(jī)數(shù)法求得圓周率浮動較大，也許赴值設(shè)為5000還過于小造成 結(jié)果誤差大，然后把N值設(shè)為50000后繼續(xù)測試如下I 1 C:Wi nd o wsE；yEtem3 2D buge.exe用隧和券法而亍了1函函用值|接正多認(rèn)萬計(jì)算蕓一“姑甲耶9器司 遙代后得正予山犯區(qū)辿哉力1066296用瑟我方性 *得,1.，的

11、的心抑 WA麗冊4偵/1皿河料1嶼g 心 4咬卜切正形計(jì)算 7T =3.11592653589796 打薦正矛穌;曲曲藪為:1B0663296Press anu to continue.當(dāng)N值為50000時(shí)，測試結(jié)果較為接近圓周率且比較數(shù)值浮動較小，其余小問測試結(jié)果基 本接近真實(shí)圓周率的值，基本完成程序設(shè)計(jì)目標(biāo)。六、結(jié)論與心得設(shè)計(jì)中遇到的問題及解決過程在設(shè)計(jì)過程中遇到第三小問需要保存100位圓周率的時(shí)候，和同學(xué)討論后才明白 結(jié)果可以用數(shù)組保存并輸出，附加小問時(shí)圓外切正多邊形時(shí)剛來采用的是d=sqrt(1.0+b*b/4)-1 ； b=2*(sqrt(b*b+4)-2)/b，后來發(fā)現(xiàn)誤差很大，改

12、用公式 b=2*(b*b/4-d*d)/b 才 能夠接近，思考后發(fā)現(xiàn)b=2*(b*b/4-d*d)/b (誤差較小)將d代入，得 b=2*(b*b/4-(sqrt(b*b/4+1)-1)*(sqrt(b*b/4+1)-1)/b;(就這樣寫誤差還是比 較小的，幾乎跟內(nèi)切法的精度一樣)，再化簡得 b=2*(b*b/4-(b*b/4+1)-1+2*sqrt(b*b/4+1)/b;(這個時(shí)候誤差就大了，i 只有 49152)，再化簡 b=2*(2*sqrt(b*b/4+1)-2)/b 即 b=2*(sqrt(b*b+4)-2)/b(誤差 依然比較大)，所以斷定d*d為誤差所在。我的理解：無論如何，b,

13、d等這些值是 一定有偏差的，b=2*(b*b/4-d*d)/b=2*(b/2+d)*(b/2-d)/b,由于 d 進(jìn)行了開根處 理，誤差微乎其微，幾乎可以忽略不計(jì)，即可以當(dāng)他們是常數(shù)，這個式子的誤差 級別 y=ax+b（a,b 為常量），b=2*（sqrt（b*b+4）-2）/b 的誤差級別 y=a/x+b（a,b 為 常量），x在（0，1區(qū)間顯然后者的誤差比較大）；調(diào)試程序的時(shí)候會遇到小錯誤，但經(jīng)過反復(fù)修改后程序能夠運(yùn)行。設(shè)計(jì)體會和收獲。此次程序設(shè)計(jì)明白了對數(shù)據(jù)類型及其精度的重要性，有些科學(xué)研究需要高精度的 數(shù)據(jù)，同時(shí)明白通向解決問題的道路是多種多樣的，我們應(yīng)當(dāng)用不同方向和方法 去解決問題。在我們解決不了問題的時(shí)候，要嘗試著去分析問題回歸問題的最基 本。七、參考資料,百度百科（祖沖之迭代法）楊克昌編著，計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)典型例題精解，國防科技大學(xué)