2021“雙一流”高校自主招生物理好題精選全解全析 第04章 拋體與萬(wàn)有引力問題

1、0 0 0 0 0 y 0 2 1 2 “雙一流 ”高效自主招生好題精選4.拋體與萬(wàn)有引力問題1斜拋運(yùn)動(dòng)由運(yùn)動(dòng)合成原理，可以把斜拋運(yùn)動(dòng)看作兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)的合成。常見的兩種分解方法是：(1)如圖所示，以拋射點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，在豎直平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，則斜拋運(yùn)動(dòng)的方程的分量形式為 v v cos ，v v sin gt，x 0 y 01xv cos t，yv sin t gt22，表明，斜拋運(yùn)動(dòng)可看成沿 x 軸方向速度為 v cos 的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿 y 軸方向初速度為 v sin 、加速度為 g 的豎直拋體運(yùn)動(dòng)。v 2sin2令 v 0，最大高度 H 。2gv 2sin 2令 y0，最大水平射程

2、L 。g設(shè) 、 為同一射程的兩個(gè)拋射角，顯然有關(guān)系 。1 2 1 2(2)在討論沿斜面向上(或向下)物體的斜拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，通常令直角坐標(biāo)系的 x、y 軸分別指向沿斜面向上(或向下) 和垂直于斜面向上的方向更為簡(jiǎn)便，此時(shí) x、y 軸方向的運(yùn)動(dòng)均為勻變速直線運(yùn)動(dòng)。2速度關(guān)聯(lián)(1)對(duì)于用不可伸長(zhǎng)的繩連接的質(zhì)點(diǎn)：通過分解成沿繩方向和垂直繩方向的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)。在同一時(shí)刻兩質(zhì)點(diǎn) 沿繩方向的分運(yùn)動(dòng)的速度大小相等，加速度大小也相等。(2)固定在同一剛體上的兩質(zhì)點(diǎn)：通常將它們的運(yùn)動(dòng)分解為沿它們連線方向和垂直它們連線方向的兩個(gè)分運(yùn) 動(dòng)。在同一時(shí)刻，它們?cè)谘剡B線方向的分運(yùn)動(dòng)的各運(yùn)動(dòng)學(xué)量大小相等，垂直連線方向上角速度及角加

3、速度 相等。(3)始終保持接觸的兩物體：將兩物體接觸處的運(yùn)動(dòng)沿接觸面法線方向和切線方向分解，則它們?cè)谕粫r(shí)刻 沿法線方向的分速度相等。(4)對(duì)于線狀物的交叉點(diǎn)：在求兩線狀物的交叉點(diǎn)的速度時(shí)，將兩線狀物的運(yùn)動(dòng)沿雙方切線方向分解，則交 叉點(diǎn)的速度就是兩線狀物沿對(duì)方切向分量的矢量和。3萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)推論(1)質(zhì)量為 m 、半徑為 R 的均勻球殼對(duì)距球心為 r、質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力為1 20 rRr2(2)質(zhì)量為 m 、半徑為 R 的均勻球體對(duì)距球心為 r、質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力為1 2 r 2 1 1 r1 21 2 p 1 2p 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4、 0 0 0 0 Gm m1 2FGm m1r 2r2rRrR)、質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)，相互作用的引力勢(shì)能為 E r(rR)。Gm m對(duì)放置在球內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)，相互作用的引力勢(shì)能為一常量，等于質(zhì)點(diǎn)放置在球面時(shí)的勢(shì)能，即 E (rR)，R就像球體質(zhì)量全部集中在球心一樣。1(“卓越”自主招生)一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)以速度 v 運(yùn)動(dòng)，在 t0 時(shí)開始受到恒力 F 作用，速度大小先減小0 01后增大，其最小值為 v v 。質(zhì)點(diǎn)從開始受到恒力作用到速度最小的過程中的位移為( )1 03mv 2A.8F0B.6mv 208F0C.3mv 204F0D.21mv 208F0【答案】D1【解析】根據(jù)題述，質(zhì)點(diǎn)做類斜拋運(yùn)

5、動(dòng)。由質(zhì)點(diǎn)最小值為v v ，可知質(zhì)點(diǎn)初速度方向與恒力 F 方向夾角2F為 150?？砂奄|(zhì)點(diǎn)的初速度沿力 F 方向和垂直力 F 方向分解，質(zhì)點(diǎn)加速度 a ，沿力 F 方向的反方向位mvsin 602 3mv 2 v sin 60 3mv移 y 。質(zhì)點(diǎn)速度減小到最小值需要時(shí)間 t ，垂直力 F 方向位移 xv cos 2a 8F a 2F0 03mv 2 21mv 260t 。質(zhì)點(diǎn)從開始受到恒力作用到速度最小的過程中的位移為 s x2y2 ，選項(xiàng) D 正確。4F 8F0 02(“華約”自主招生)如圖所示，AB 桿以恒定角速度繞 A 點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，并帶動(dòng)套在水平桿 OC 上的小環(huán) M 運(yùn)動(dòng)。 運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，

6、AB 桿在豎直位置，則小環(huán) M 的加速度將( )A逐漸增大 C先增大后減小B先減小后增大 D逐漸減小【答案】Ah【解析】令OABt，則 AB ，環(huán)的速度由 M 指向 C，M 相對(duì)于 AB 桿速度為 M 指向 B，桿上的cos tM M M 0 0 0 0 0 0 h 1 0 1 2 11 12 1 2 21 2 1 21 21 A 11 2 1 2 1 B 22 AB h 22hM 繞 A 點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)。所以 v 。M 點(diǎn)的加速度 a 等于速度對(duì)時(shí)間的變化率，所以 a cos t cos2t cos3tsin t。t 變大，角速度 不變，加速度變大。3(浙江大學(xué)自主招生)假定地球?yàn)榫鶆蚯蝮w，其

7、半徑為 R ，在地球表面測(cè)得重力加速度為 g ，設(shè) g 為離開0 0地球表面的高度達(dá) h 時(shí)的重力加速度。當(dāng) h 比 R 小得多時(shí)，g 和 g 可能的變化關(guān)系近似式為(有數(shù)學(xué)近似公 式：當(dāng) x 1 時(shí)，(1x)n1nx。)( )Agg0Bggh1R0Cgg02h1R0Dgg3h1R0【答案】CMm Mm【解析】根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律，有 G mg ，G mg。解得 ggR02 R0h2R0 0Rh2g 0 R 02h2g 1 。R04.平面上兩直線夾角為 (90)，若它們各以垂直于自身的速度 v 、v 在該平面上作如圖所示的橫向運(yùn)動(dòng)，1 2求交點(diǎn)相對(duì)于紙平面的速率及交點(diǎn)相對(duì)于每一直線的

8、速率?！窘馕觥苛?t 時(shí)刻兩直線的交點(diǎn)為 O 點(diǎn)，經(jīng)一小段 t 時(shí)間直線 l移動(dòng) v t，兩直線交點(diǎn)由 O 移到 O ，表示1 1交點(diǎn) O 的運(yùn)動(dòng)方向沿 l 。v OO v 。在 t 時(shí)間直線 l t sin 移動(dòng) v t，兩直線交點(diǎn)由 O 移到 O ，速度 v 2 1 2 2O O v 。這樣，交點(diǎn)相對(duì)于紙平面的速度 t sin v v 2v 22v v cos v 2v 22v v2cos sin 從圖中看出，原交點(diǎn)在 l 的位置運(yùn)動(dòng)到 A 點(diǎn)，在 l 上的位置運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)，所以交點(diǎn) O 相對(duì)于 l 速度 v v cot v v ，交點(diǎn) O 相對(duì)于 l 速度 v v cot 。sin s

9、in 【答案】見解析5(浙江大學(xué)自主招生)如圖所示，連通器有三根豎直開口的細(xì)管 A、B、C，兩管之間的距離為 L?，F(xiàn)向連 通器中注入適量的水，并讓它繞中間的細(xì)管 B 轉(zhuǎn)動(dòng)起來，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為 時(shí)，中間細(xì)管 B 內(nèi)的水面恰與 橫管內(nèi)水面相齊。則 A 管中水面的高度 h 為多大？0 0 0 0 0 0 0 0 maxmax0 0 m2L【解析】取 O 點(diǎn)右側(cè)水平管中水為研究對(duì)象，則(p gh)Sp S ，其中 mSL，且水平面中各處水2L的向心力與該處離 O 點(diǎn)的距離成正比，所以才可以用 代替這部分水作圓周運(yùn)動(dòng)向心力中的半徑，解得 h22L22g。2L2【答案】2g6.在仰角 30的雪坡上舉行挑臺(tái)

10、滑雪比賽，如圖所示。運(yùn)動(dòng)員從坡上方 A 點(diǎn)開始下滑，到起跳點(diǎn) O 時(shí)借 助設(shè)備和技巧，保持在該點(diǎn)的速率而以與水平成 角的方向起跳。最后落在坡上 B 點(diǎn)，坡上 OB 兩點(diǎn)距離 L 為此項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的記錄。已知 A 點(diǎn)高于 O 點(diǎn) h50 m，不計(jì)摩擦和阻力，則最遠(yuǎn)可跳多少米？此時(shí)起跳角為多 大？【解析】運(yùn)動(dòng)員在 O 點(diǎn)速度 v 2gh10 10 m/s。起跳后運(yùn)動(dòng)員做斜上拋運(yùn)動(dòng)。法一：以 O 為原點(diǎn)，建立水平向右和豎直向上的 xOy 坐標(biāo)系，把運(yùn)動(dòng)分解為水平向右的勻速運(yùn)動(dòng)和豎直方 向的豎直上拋運(yùn)動(dòng)。1xv cos t，yv sin t gt2，令 yxtan 22v 2cos sin v 2sin2s

11、in v 21sin 解得 x 。當(dāng) 290，30時(shí)，x ，此時(shí) OBgcos gcos gcos x有極大值 L 200 m。cos 法二：建立如圖甲所示坐標(biāo)系，把運(yùn)動(dòng)分解為沿斜面方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)和垂直于斜面方向的勻減速直 線運(yùn)動(dòng)。甲gt2sin gt2cos Lv tcos() ，0v tsin()2 2余下的計(jì)算過程同上。0 0 sinsinQ T P 0 衛(wèi) T Q Q 法三：把運(yùn)動(dòng)視為 v 方向的勻速運(yùn)動(dòng)和自由落體運(yùn)動(dòng)的合成。如圖乙所示。乙gt2v t 2 L ，消去 t，同樣得到 L 的表達(dá)式，余下解略。 sin 2 2 【答案】200 m 307(“北約”自主招生)設(shè)一天的時(shí)

12、間為 T，地面上的重力加速度為 g，地球半徑為 R 。0(1)試求地球同步衛(wèi)星 P 的軌道半徑 R 。P(2)赤道城市 A 的居民整天可看見城市上空掛著同步衛(wèi)星 P。設(shè) P 的運(yùn)動(dòng)方向突然偏北轉(zhuǎn)過 45，試分析判斷當(dāng)?shù)鼐用褚惶靸?nèi)有多少次機(jī)會(huì)可看到 P 掠過城市的上空。 取消問中偏轉(zhuǎn)，設(shè) P 從原來的運(yùn)動(dòng)方向突然偏西北轉(zhuǎn)過 105，再分析判斷當(dāng)?shù)鼐用褚惶炷苡卸嗌俅螜C(jī) 會(huì)可看到 P 掠過城市上空。(3)另一個(gè)赤道城市 B 的居民，平均每三天有四次機(jī)會(huì)可看到某衛(wèi)星 Q 自東向西掠過該城市上空，試求 Q 的 軌道半徑 R 。【解析】(1)由 m2 GMm Mm2R 和 G mg，解得 R 2 R 2P

13、 0R P3gR 2T2。42(2)取地心不動(dòng)的慣性參照系。衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方向偏北轉(zhuǎn)過 45，衛(wèi)星以半徑 R 繞圓心做圓運(yùn)動(dòng)，但圓運(yùn)動(dòng)周P期不變。同時(shí) A 城居民隨地球在赤道平面內(nèi)也繞地心運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過半天，各轉(zhuǎn)過半個(gè)大圓相遇。再經(jīng)過半天， 各自又轉(zhuǎn)過半個(gè)大圓，再次相遇。故當(dāng)?shù)鼐用褚惶炷苡袃纱螜C(jī)會(huì)可以看到衛(wèi)星 P 掠過城市上空。分析同，只是每經(jīng)過半天，各轉(zhuǎn)過半個(gè)大圓，即經(jīng)過半天就會(huì)相遇，結(jié)論仍為當(dāng)?shù)鼐用褚惶炷苡袃纱?機(jī)會(huì)可以看到衛(wèi)星 P 掠過城市上空。(3)衛(wèi)星自東向西轉(zhuǎn)動(dòng)，而地球卻自西向東轉(zhuǎn)動(dòng)，且地球自轉(zhuǎn)周期T 1 天，設(shè)衛(wèi)星的周期為 T 天，則在 t地 衛(wèi)t t3 天時(shí)間內(nèi)滿足： 4，得 T 3 天

14、3T。T T衛(wèi) 地GMm 2 GMm另由 mg，m 2R ，R 2 R 20 衛(wèi) Q解得 R 39gR 2T2 042?！敬鸢浮?1)3gR 2T2042(2)兩次 兩次 (3)39gR 2T2 042p m m m m m m m l 8(“北約”自主招生)兩質(zhì)量均為 m 的小球，放在勁度系數(shù)為 k，原長(zhǎng)為 l 的彈簧兩端，自由靜止釋放。設(shè)兩 個(gè)小球中心與整個(gè)彈簧都始終在一條直線上，小球半徑 rl。(1)問僅在兩球間萬(wàn)有引力的作用下，彈簧的最大壓縮量為多大？(2)若體系整體繞中心以角速度 旋轉(zhuǎn)，要求彈簧保持原長(zhǎng)， 應(yīng)為多大？m2【解析】(1)因題中只考慮兩球間的萬(wàn)有引力，故兩球組成系統(tǒng)的引力勢(shì)能可以表示為 E G ，x 為兩球x