課堂實錄：《擺放中的三角形》

1、 課堂實錄：擺放中的三角形董彩麗授課地點：九（5）班授課教師：董彩麗授課狀況：因為內容新穎，與平時復習課選材有所不同，學生的興趣很濃，探究欲望很強，參與意識、主人翁意識很強，學生紛紛上臺分析、講解、交流。作為第一輪復習的一節(jié)復習課，設置的探究一起點低，調動了每位學生探究的熱情，而探究三的教學，使本節(jié)課的探究進入了高潮。1教學背景1.1這是第一輪復習三角形基礎知識的一節(jié)數(shù)學復習課，為了面向全體學生，設置探究的起點較低，為了讓不同的學生在數(shù)學上有不同的發(fā)展，探究三的難度適當加深。1.2本節(jié)課選材的立意來自于2007年浙江省義烏市中考的第22題。1.3動態(tài)幾何問題能夠有效考察學生對圖形的想象能力、分

2、析能力以及綜合應用能力，是近幾年中考的熱點問題，甚至常常被各省市列為中考的壓軸問題。在各地的中考試卷中，以動點問題、平面圖形的平移、翻折、旋轉問題等為代表的動態(tài)幾何問題在填空、選擇、解答題中頻頻出現(xiàn)。1.3課前準備：全等的等腰直角三角形紙片6張，同桌兩人共準備兩個全等的含30度角的直角三角板。2課堂實錄2.1創(chuàng)設情境，知識回顧：探究一：師：把一張正方形紙片沿著一條對角線剪開，可以得到兩個什么圖形？生（集體）：兩個全等的等腰直角三角形。師：如果把這兩個等腰直角三角形重新擺放，可以得到什么圖形？生1：平行四邊形（如圖1）。生2：正方形（如圖2）。生3：等腰直角三角形（如圖3）。為了加強擺放的直觀性

3、，回答的3位學生都用紙片模型擺放出自己的答案）我們若AB，AC上分別取點匚、F,使得BE二AF,連結DE、DF、EF（如圖4）,得到了ADEF。猜想:DEF生4:ADEF是一個等腰三角形生5（補充道）:ADEF是一個等腰直角三角形理由是:（上講臺板書并分析）/ZB=Z1=45,BD=AD,圖4是什么三角形？你的理由是什么？（學生思考后）又vBE=AF,DE=DF,Z2=Z3,ZEDF=ZEDA+Z3=ZEDA+Z2=90。,DEF為等腰直角三角形?！驹O計意圖】借助學生熟悉的正方形、等腰直角三角形來創(chuàng)設情境，旨在讓學生從圖形變換的角度認識基本圖形，掌握：直角三角形的性質及等腰三角形的性質和證明三

4、角形全等的方法，形成良好的知識結構，從而達到梳理知識的目標。師：若將E,F兩點分別在AB,AC上運動（不與A、B重合），但使得BE=AFO則:ADEF的形狀是否會發(fā)生改變？生6：不會發(fā)生改變，ADEF仍然是等腰直角三角形。師：我們發(fā)現(xiàn)圖形在運動過程中，ADEF的形狀始終不變，是否圖形的其他相關的量也都不變？比如線段長？周長？面積？再如:AADE和AADF組合成的四邊形AEDF的面積會變嗎？（學生從投影演示的動態(tài)的圖形中一一探索出結論）生7:ADEF的三邊長都會發(fā)生變化，因此周長也會發(fā)生變化、ADEF的面積也會發(fā)生變化。師:ADEF的三邊長之間有沒有什么關系？生8：滿足勾股定理。生9:斜邊長EF

5、始終是直角邊長ED的弋2倍。師:真厲害，連這層較隱秘的數(shù)量關系都被你發(fā)現(xiàn)了。生10:雖然ADEF的面積會發(fā)生變化，但是我發(fā)現(xiàn)ADE和AADF組合成的四邊形AEDF的面積不會發(fā)生變化。師：若四邊形AEDF的面積不會發(fā)生變化，則四邊形AEDF的面積會等于哪個定值？生10:四邊形AEDF的面積等于ABD的面積，等于ABC面積的一半。師:你判斷的依據(jù)是什么？生10（上講臺分析）：因為BDE匕AADF,所以ADF的面積等于ABDE的面積，則四邊形AEDF的面積等于ADE的面積加上AADF的面積，也就等于AADE的面積加上ABDE的面積，也就等于厶ABD的面積，等于ABC面積的一半。（如圖5）師：真聰明！

6、這個題目中雖然點E、點F在運動，但是我們可以發(fā)現(xiàn)變化中某些量仍然是不變的，比如DEF的形狀，四邊形AEDF的面積A圖5【設計意圖】圖形在運動過程中往往存在著變的量和非變的量，要求學生深入研究，正確分析變量與其他量之間的內在聯(lián)系，培養(yǎng)學生抓住動點運動的特點和規(guī)律，抓住變化過程中不變的元素，讓學生感悟數(shù)學的思想方法，提高數(shù)學學習的能2.2歸納總結，掌握方法探究二：師：同樣地，把一個長方形紙片沿著一條對角線剪開，可得到兩個什么圖形？生（集體）：兩個全等的直角三角形。師：將它們重新擺放成如（圖6）形式，其中B、F、D三點在同一條直線上，此時線段AF與線段BD有怎樣的位置關系？生11：垂直。師：除此之外

7、，你還能找到互相垂直的線段嗎？你的依據(jù)是什么？生12:還有AB丄DE.師：你的理由是?生12（上講臺分析）：延長DE交AB于G（如圖7）,則乙B+ZD=ZB+ZA=90，故乙DGB=90師：若將厶ABF沿BD方向平移，在平移過程中線段AB與線段DE始終保持互相垂直嗎（如圖8）?生（集體）：始終垂直。師強調：是的,平移不會改變線段的位置關系。A圖8師：若將厶ABF沿BD方向平移到HFK這個位置時，如果已知乙D=30。，斜邊DE=10,你能求出線段FG的長度嗎？生（集體）：能生13（上講臺板書并分析）：因為乙D=30。，DE=10，所以乙DEF=60。，EF=5，所以FG二EFsin60=5x3二

8、5v322師：若將AABF繞點F順時針旋轉，觀察兩條斜邊是否仍然互相垂直（如圖9）?生14：不會再垂直。圖9生15：也有可能會垂直。師：在旋轉過程中，斜邊DE可能會與哪條線段垂直呢？生16:DE可能會與AF垂直。師：當ABF繞點F順時針旋轉多少度時DE會與AF垂直？生17：旋轉30。師：當ABF繞點F順時針旋轉30時DE會與AF垂直，其實繼續(xù)旋轉下去，我們還是能找到與DE垂直的線段。師：若將厶ABF沿著直線AF翻折，使點B落在FD上，你能找到哪些正確的結論（如圖10）？生18:可以找到6對相等的線段，2對全等的三角形【設計意圖】平移，旋轉，軸對稱變換，是圖形的一種基本變換，要求學生會用運動變化

9、的觀點來研究問題。做到做一題會一類，這將對學生的解題能力的培養(yǎng)起到事半功倍的成2.3運用拓展，能力提升探究三：師：如果將剛才剪的兩個直角三角形按如（圖11）的方式擺放，在圖形中，你還能找到互相垂直的線段嗎？生19:AB丄BO,EF丄F0,生20:還有AO丄OE（該生敘述理由后，學生熱烈鼓掌）。師：將AEFC沿著CB方向平移，則EFC與AABO的重疊部分的形狀是否會發(fā)生變化？（課前同桌兩人共準備兩個全等的含30度角的直角三角板）生實驗：同桌兩人1組，通過動手進行平移實驗，觀察動態(tài)中的圖形變化規(guī)律。生21:通過平移實驗，我發(fā)現(xiàn)厶EFC與厶ABO的重疊部分的形狀變化的規(guī)律：先是直角三角形，再是四邊形

10、，再是五邊形，最后變?yōu)橹苯翘菪巍＃ㄈ鐖D12、圖13、圖14、圖15）師：真棒！實驗完全正確。若設EFC平移的距離CO為x,AB=1,BC=2,AEFC與、ABO的重疊部分的面積為S,你能寫出S關于x的函數(shù)解析式嗎？（學生思考計算后）生22：若重疊部分是直角三角形時，關系式為S-5x2-圏12圏13圉L4圖15師：你是如何計算的？CMMOCO生22（上講臺板書并分析）：可以證明ACMO與AABO相似，得到喬=而=AO其中CO二x,AB=1,BC=2,A0=v5，可以求得CM=5x，MO：x,所以SCMO=2CMMO=2弓x迸x=5x2師:很好。你們都是用同樣的方法計算嗎？SCOx1生23（上講臺

11、板書并分析）我不是這樣計算的，我是利用JMO=（花）2=（丐）2=5x2,aABO“11而SABO=2x1x2=1，所以SCMO=5X2（生熱烈鼓掌）師：非常棒！兩種方法，你們更喜歡哪一種？生（集體）：第二種。師：用最便捷的方法解答題目，應該是我們解題時追求的最佳境界。請問這里的X可以取任何實數(shù)嗎？生24:x的取值范圍是oX1。師：當x=0時，實際意義是什么？生25:表示AEFC還沒有開始平移。師：當x=1時，實際意義是什么？生26:表示AEFC平移到點F與點O重合的位置。師：若將AEFC繼續(xù)沿CB方向平移，則AEFC與厶ABO的重疊部分的形狀是？生（集體）：是四邊形。師：這個四邊形的面積該如

12、何計算？生27:可以利用CMO的面積與ANFO的面積相減，或者利用ECF的面積與厶EMN的面積相減求得（學生們一一對四種不同位置的各種數(shù)量關系進行分析、交流，并逐步得出S關于x的函數(shù)解析式及其自變量的取值范圍，隨著問題的深入，學生的思路逐漸清晰，思維更加嚴密。）1當0 x1時，S=5x2，此時重疊部分是直角三角形；111當1x2時，S=20 x2+x4，此時重疊部分是四邊形；521917當2x時，S=0 x2+x4，此時重疊部分是五邊形；5113當2x3時，S-x2+x+4，此時重疊部分是直角梯形；師：對于動態(tài)幾何問題，我們不要被“動”、“變”、迷惑，要通過觀察、分析、動中窺靜，變化之中求不變

13、，從而明確圖形之間的內在聯(lián)系，找到解題的途徑?！驹O計意圖】通過學生動手進行平移實驗，直觀感知動態(tài)中圖形變化的規(guī)律，同時培養(yǎng)了學生研究動態(tài)圖形的一種簡易但有效方法：動手實驗。而實驗中讓學生自己總結不同的結論，滲透了分類討論的思想，同時滲透了高中分段函數(shù)的思想，此探究題的設置，給數(shù)學學有余力的學生提供了一個廣闊的思維空間，順應了新課程“讓不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的理念，更把本堂課推向了一個探究的高潮。2.4梳理反思，知識小結：師：學習了本節(jié)課，你有什么收獲和體會？生28：我認為，解答運動的幾何問題時，應該畫出各種可能性的圖形，借助圖形分析數(shù)量關系，解答問題可以事半功倍。生29：有時動手實

14、驗很重要，可以讓復雜的問題簡單化。師：對，比如探究三，通過動手實驗平移，我們可以輕松的找到各種可能性，從而不會遺漏某種可能性，復雜的問題也可以分解為一個個小問題，從而各個擊破。生30：圖形雖然在變化，但有時有些量是不變的。生31：我覺得數(shù)學很神奇，通過對兩個三角形的不同位置的擺放，不斷出現(xiàn)新的圖形，新問題?！菊n例的自我評述】：本節(jié)課圍繞最基本的圖形：兩個直角三角形，將他們通過不同的擺放，展現(xiàn)給學生幾副不同位置的幾何圖形，設置不同的數(shù)學問題，展開探究，貫穿了：三角形的形狀、面積、三角形全等、相似、等腰直角三角形、直線的位置關系、圖形的旋轉、軸對稱、平移等主要知識點進行復習，突出了初中學業(yè)考試的精髓所在。內容的設計特別突出表現(xiàn)在：1、由“動”到“靜”。本節(jié)課的3個探究問題均由最基本的圖形：2個直角三角形，通過重新擺放，重新組合創(chuàng)造成新的圖形，體現(xiàn)了數(shù)學圖形既是動態(tài)的，又可以是在某一狀態(tài)靜止的情況下去研究數(shù)學問題，讓學生感受到數(shù)學圖形的魅力所在。在面對動態(tài)幾何問題時，引導學生不要被“動”、“變”、迷惑，要通過觀察、分析、動中窺