課堂實(shí)錄：《擺放中的三角形》

1、 課堂實(shí)錄：擺放中的三角形董彩麗授課地點(diǎn)：九（5）班授課教師：董彩麗授課狀況：因?yàn)閮?nèi)容新穎，與平時(shí)復(fù)習(xí)課選材有所不同，學(xué)生的興趣很濃，探究欲望很強(qiáng)，參與意識(shí)、主人翁意識(shí)很強(qiáng)，學(xué)生紛紛上臺(tái)分析、講解、交流。作為第一輪復(fù)習(xí)的一節(jié)復(fù)習(xí)課，設(shè)置的探究一起點(diǎn)低，調(diào)動(dòng)了每位學(xué)生探究的熱情，而探究三的教學(xué)，使本節(jié)課的探究進(jìn)入了高潮。1教學(xué)背景1.1這是第一輪復(fù)習(xí)三角形基礎(chǔ)知識(shí)的一節(jié)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，為了面向全體學(xué)生，設(shè)置探究的起點(diǎn)較低，為了讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上有不同的發(fā)展，探究三的難度適當(dāng)加深。1.2本節(jié)課選材的立意來自于2007年浙江省義烏市中考的第22題。1.3動(dòng)態(tài)幾何問題能夠有效考察學(xué)生對圖形的想象能力、分

2、析能力以及綜合應(yīng)用能力，是近幾年中考的熱點(diǎn)問題，甚至常常被各省市列為中考的壓軸問題。在各地的中考試卷中，以動(dòng)點(diǎn)問題、平面圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)問題等為代表的動(dòng)態(tài)幾何問題在填空、選擇、解答題中頻頻出現(xiàn)。1.3課前準(zhǔn)備：全等的等腰直角三角形紙片6張，同桌兩人共準(zhǔn)備兩個(gè)全等的含30度角的直角三角板。2課堂實(shí)錄2.1創(chuàng)設(shè)情境，知識(shí)回顧：探究一：師：把一張正方形紙片沿著一條對角線剪開，可以得到兩個(gè)什么圖形？生（集體）：兩個(gè)全等的等腰直角三角形。師：如果把這兩個(gè)等腰直角三角形重新擺放，可以得到什么圖形？生1：平行四邊形（如圖1）。生2：正方形（如圖2）。生3：等腰直角三角形（如圖3）。為了加強(qiáng)擺放的直觀性

3、，回答的3位學(xué)生都用紙片模型擺放出自己的答案）我們?nèi)鬉B，AC上分別取點(diǎn)匚、F,使得BE二AF,連結(jié)DE、DF、EF（如圖4）,得到了ADEF。猜想:DEF生4:ADEF是一個(gè)等腰三角形生5（補(bǔ)充道）:ADEF是一個(gè)等腰直角三角形理由是:（上講臺(tái)板書并分析）/ZB=Z1=45,BD=AD,圖4是什么三角形？你的理由是什么？（學(xué)生思考后）又vBE=AF,DE=DF,Z2=Z3,ZEDF=ZEDA+Z3=ZEDA+Z2=90。,DEF為等腰直角三角形。【設(shè)計(jì)意圖】借助學(xué)生熟悉的正方形、等腰直角三角形來創(chuàng)設(shè)情境，旨在讓學(xué)生從圖形變換的角度認(rèn)識(shí)基本圖形，掌握：直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)和證明三

4、角形全等的方法，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到梳理知識(shí)的目標(biāo)。師：若將E,F兩點(diǎn)分別在AB,AC上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），但使得BE=AFO則:ADEF的形狀是否會(huì)發(fā)生改變？生6：不會(huì)發(fā)生改變，ADEF仍然是等腰直角三角形。師：我們發(fā)現(xiàn)圖形在運(yùn)動(dòng)過程中，ADEF的形狀始終不變，是否圖形的其他相關(guān)的量也都不變？比如線段長？周長？面積？再如:AADE和AADF組合成的四邊形AEDF的面積會(huì)變嗎？（學(xué)生從投影演示的動(dòng)態(tài)的圖形中一一探索出結(jié)論）生7:ADEF的三邊長都會(huì)發(fā)生變化，因此周長也會(huì)發(fā)生變化、ADEF的面積也會(huì)發(fā)生變化。師:ADEF的三邊長之間有沒有什么關(guān)系？生8：滿足勾股定理。生9:斜邊長EF

5、始終是直角邊長ED的弋2倍。師:真厲害，連這層較隱秘的數(shù)量關(guān)系都被你發(fā)現(xiàn)了。生10:雖然ADEF的面積會(huì)發(fā)生變化，但是我發(fā)現(xiàn)ADE和AADF組合成的四邊形AEDF的面積不會(huì)發(fā)生變化。師：若四邊形AEDF的面積不會(huì)發(fā)生變化，則四邊形AEDF的面積會(huì)等于哪個(gè)定值？生10:四邊形AEDF的面積等于ABD的面積，等于ABC面積的一半。師:你判斷的依據(jù)是什么？生10（上講臺(tái)分析）：因?yàn)锽DE匕AADF,所以ADF的面積等于ABDE的面積，則四邊形AEDF的面積等于ADE的面積加上AADF的面積，也就等于AADE的面積加上ABDE的面積，也就等于厶ABD的面積，等于ABC面積的一半。（如圖5）師：真聰明！

6、這個(gè)題目中雖然點(diǎn)E、點(diǎn)F在運(yùn)動(dòng)，但是我們可以發(fā)現(xiàn)變化中某些量仍然是不變的，比如DEF的形狀，四邊形AEDF的面積A圖5【設(shè)計(jì)意圖】圖形在運(yùn)動(dòng)過程中往往存在著變的量和非變的量，要求學(xué)生深入研究，正確分析變量與其他量之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生抓住動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)和規(guī)律，抓住變化過程中不變的元素，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的思想方法，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能2.2歸納總結(jié)，掌握方法探究二：師：同樣地，把一個(gè)長方形紙片沿著一條對角線剪開，可得到兩個(gè)什么圖形？生（集體）：兩個(gè)全等的直角三角形。師：將它們重新擺放成如（圖6）形式，其中B、F、D三點(diǎn)在同一條直線上，此時(shí)線段AF與線段BD有怎樣的位置關(guān)系？生11：垂直。師：除此之外

7、，你還能找到互相垂直的線段嗎？你的依據(jù)是什么？生12:還有AB丄DE.師：你的理由是?生12（上講臺(tái)分析）：延長DE交AB于G（如圖7）,則乙B+ZD=ZB+ZA=90，故乙DGB=90師：若將厶ABF沿BD方向平移，在平移過程中線段AB與線段DE始終保持互相垂直嗎（如圖8）?生（集體）：始終垂直。師強(qiáng)調(diào)：是的,平移不會(huì)改變線段的位置關(guān)系。A圖8師：若將厶ABF沿BD方向平移到HFK這個(gè)位置時(shí)，如果已知乙D=30。，斜邊DE=10,你能求出線段FG的長度嗎？生（集體）：能生13（上講臺(tái)板書并分析）：因?yàn)橐褼=30。，DE=10，所以乙DEF=60。，EF=5，所以FG二EFsin60=5x3二

8、5v322師：若將AABF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，觀察兩條斜邊是否仍然互相垂直（如圖9）?生14：不會(huì)再垂直。圖9生15：也有可能會(huì)垂直。師：在旋轉(zhuǎn)過程中，斜邊DE可能會(huì)與哪條線段垂直呢？生16:DE可能會(huì)與AF垂直。師：當(dāng)ABF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)多少度時(shí)DE會(huì)與AF垂直？生17：旋轉(zhuǎn)30。師：當(dāng)ABF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30時(shí)DE會(huì)與AF垂直，其實(shí)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)下去，我們還是能找到與DE垂直的線段。師：若將厶ABF沿著直線AF翻折，使點(diǎn)B落在FD上，你能找到哪些正確的結(jié)論（如圖10）？生18:可以找到6對相等的線段，2對全等的三角形【設(shè)計(jì)意圖】平移，旋轉(zhuǎn)，軸對稱變換，是圖形的一種基本變換，要求學(xué)生會(huì)用運(yùn)動(dòng)變化

9、的觀點(diǎn)來研究問題。做到做一題會(huì)一類，這將對學(xué)生的解題能力的培養(yǎng)起到事半功倍的成2.3運(yùn)用拓展，能力提升探究三：師：如果將剛才剪的兩個(gè)直角三角形按如（圖11）的方式擺放，在圖形中，你還能找到互相垂直的線段嗎？生19:AB丄BO,EF丄F0,生20:還有AO丄OE（該生敘述理由后，學(xué)生熱烈鼓掌）。師：將AEFC沿著CB方向平移，則EFC與AABO的重疊部分的形狀是否會(huì)發(fā)生變化？（課前同桌兩人共準(zhǔn)備兩個(gè)全等的含30度角的直角三角板）生實(shí)驗(yàn)：同桌兩人1組，通過動(dòng)手進(jìn)行平移實(shí)驗(yàn)，觀察動(dòng)態(tài)中的圖形變化規(guī)律。生21:通過平移實(shí)驗(yàn)，我發(fā)現(xiàn)厶EFC與厶ABO的重疊部分的形狀變化的規(guī)律：先是直角三角形，再是四邊形

10、，再是五邊形，最后變?yōu)橹苯翘菪巍＃ㄈ鐖D12、圖13、圖14、圖15）師：真棒！實(shí)驗(yàn)完全正確。若設(shè)EFC平移的距離CO為x,AB=1,BC=2,AEFC與、ABO的重疊部分的面積為S,你能寫出S關(guān)于x的函數(shù)解析式嗎？（學(xué)生思考計(jì)算后）生22：若重疊部分是直角三角形時(shí)，關(guān)系式為S-5x2-圏12圏13圉L4圖15師：你是如何計(jì)算的？CMMOCO生22（上講臺(tái)板書并分析）：可以證明ACMO與AABO相似，得到喬=而=AO其中CO二x,AB=1,BC=2,A0=v5，可以求得CM=5x，MO：x,所以SCMO=2CMMO=2弓x迸x=5x2師:很好。你們都是用同樣的方法計(jì)算嗎？SCOx1生23（上講臺(tái)

11、板書并分析）我不是這樣計(jì)算的，我是利用JMO=（花）2=（丐）2=5x2,aABO“11而SABO=2x1x2=1，所以SCMO=5X2（生熱烈鼓掌）師：非常棒！兩種方法，你們更喜歡哪一種？生（集體）：第二種。師：用最便捷的方法解答題目，應(yīng)該是我們解題時(shí)追求的最佳境界。請問這里的X可以取任何實(shí)數(shù)嗎？生24:x的取值范圍是oX1。師：當(dāng)x=0時(shí)，實(shí)際意義是什么？生25:表示AEFC還沒有開始平移。師：當(dāng)x=1時(shí)，實(shí)際意義是什么？生26:表示AEFC平移到點(diǎn)F與點(diǎn)O重合的位置。師：若將AEFC繼續(xù)沿CB方向平移，則AEFC與厶ABO的重疊部分的形狀是？生（集體）：是四邊形。師：這個(gè)四邊形的面積該如

12、何計(jì)算？生27:可以利用CMO的面積與ANFO的面積相減，或者利用ECF的面積與厶EMN的面積相減求得（學(xué)生們一一對四種不同位置的各種數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析、交流，并逐步得出S關(guān)于x的函數(shù)解析式及其自變量的取值范圍，隨著問題的深入，學(xué)生的思路逐漸清晰，思維更加嚴(yán)密。）1當(dāng)0 x1時(shí)，S=5x2，此時(shí)重疊部分是直角三角形；111當(dāng)1x2時(shí)，S=20 x2+x4，此時(shí)重疊部分是四邊形；521917當(dāng)2x時(shí)，S=0 x2+x4，此時(shí)重疊部分是五邊形；5113當(dāng)2x3時(shí)，S-x2+x+4，此時(shí)重疊部分是直角梯形；師：對于動(dòng)態(tài)幾何問題，我們不要被“動(dòng)”、“變”、迷惑，要通過觀察、分析、動(dòng)中窺靜，變化之中求不變

13、，從而明確圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，找到解題的途徑?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生動(dòng)手進(jìn)行平移實(shí)驗(yàn)，直觀感知?jiǎng)討B(tài)中圖形變化的規(guī)律，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生研究動(dòng)態(tài)圖形的一種簡易但有效方法：動(dòng)手實(shí)驗(yàn)。而實(shí)驗(yàn)中讓學(xué)生自己總結(jié)不同的結(jié)論，滲透了分類討論的思想，同時(shí)滲透了高中分段函數(shù)的思想，此探究題的設(shè)置，給數(shù)學(xué)學(xué)有余力的學(xué)生提供了一個(gè)廣闊的思維空間，順應(yīng)了新課程“讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的理念，更把本堂課推向了一個(gè)探究的高潮。2.4梳理反思，知識(shí)小結(jié)：師：學(xué)習(xí)了本節(jié)課，你有什么收獲和體會(huì)？生28：我認(rèn)為，解答運(yùn)動(dòng)的幾何問題時(shí)，應(yīng)該畫出各種可能性的圖形，借助圖形分析數(shù)量關(guān)系，解答問題可以事半功倍。生29：有時(shí)動(dòng)手實(shí)

14、驗(yàn)很重要，可以讓復(fù)雜的問題簡單化。師：對，比如探究三，通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn)平移，我們可以輕松的找到各種可能性，從而不會(huì)遺漏某種可能性，復(fù)雜的問題也可以分解為一個(gè)個(gè)小問題，從而各個(gè)擊破。生30：圖形雖然在變化，但有時(shí)有些量是不變的。生31：我覺得數(shù)學(xué)很神奇，通過對兩個(gè)三角形的不同位置的擺放，不斷出現(xiàn)新的圖形，新問題?！菊n例的自我評述】：本節(jié)課圍繞最基本的圖形：兩個(gè)直角三角形，將他們通過不同的擺放，展現(xiàn)給學(xué)生幾副不同位置的幾何圖形，設(shè)置不同的數(shù)學(xué)問題，展開探究，貫穿了：三角形的形狀、面積、三角形全等、相似、等腰直角三角形、直線的位置關(guān)系、圖形的旋轉(zhuǎn)、軸對稱、平移等主要知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行復(fù)習(xí)，突出了初中學(xué)業(yè)考試的精髓所在。內(nèi)容的設(shè)計(jì)特別突出表現(xiàn)在：1、由“動(dòng)”到“靜”。本節(jié)課的3個(gè)探究問題均由最基本的圖形：2個(gè)直角三角形，通過重新擺放，重新組合創(chuàng)造成新的圖形，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)圖形既是動(dòng)態(tài)的，又可以是在某一狀態(tài)靜止的情況下去研究數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)圖形的魅力所在。在面對動(dòng)態(tài)幾何問題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生不要被“動(dòng)”、“變”、迷惑，要通過觀察、分析、動(dòng)中窺