函數(shù)圖象與性質(zhì)板塊一函數(shù)單調(diào)性教師普通高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義Word

1、函數(shù)圖象與性質(zhì).板塊一.函數(shù)單一性.教師版一般高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義Word版函數(shù)圖象與性質(zhì).板塊一.函數(shù)單一性.教師版一般高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義Word版袇PAGE67袁薆芁蝿袆袀羇螄節(jié)蒆蠆螆衿蒂羇莄蚃蒆莁羈蚈螁肇羃肄莆衿艿蕆芃膆薂蒅芆薁蒀函數(shù)圖象與性質(zhì).板塊一.函數(shù)單一性.教師版一般高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義Word版板塊一.函數(shù)的單一性（一）主要知識：1.函數(shù)單一性的定義：假如函數(shù)fx對區(qū)間D內(nèi)的隨意x1,x2，當(dāng)x1x2時都有fx1fx2，則稱fx在D內(nèi)是增函數(shù)；當(dāng)x1x2時都有fx1fx2，則fx在D內(nèi)時減函數(shù)設(shè)函數(shù)yf(x)在某區(qū)間D內(nèi)可導(dǎo)，若fx0，則yf(x)為xD的增函數(shù)；若fx0，則yf(x)為

2、xD的減函數(shù)2.單一性的定義的等價形式：設(shè)x1,x2a,bfx1fx20fx在a,b是增函數(shù)；，那么x1x2fx1fx20fx在a,b是減函數(shù)；x1x2x1x2fx1fx20f(x)在a,b是減函數(shù)復(fù)合函數(shù)單一性的判斷：“同增異減”函數(shù)單一性的應(yīng)用利用定義都是充要性命題即若f(x)在區(qū)間D上遞加（遞減）且f(x1)f(x2)x1x2（x1,x2D）；若f(x)在區(qū)間D上遞遞減且f(x1)f(x2)x1x2（x1,x2D）比較函數(shù)值的大小可用來解不等式求函數(shù)的值域或最值等（二）主要方法1談?wù)摵瘮?shù)單一性一定在其定義域內(nèi)進(jìn)行，所以要研究函數(shù)單一性一定先求函數(shù)的定義域，函數(shù)的單一區(qū)間是定義域的子集；2

3、判斷函數(shù)的單一性的方法有：用定義；用定義法證明函數(shù)單一性的一般步驟：取值：即設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的隨意兩個值，且x1x2作差變形：經(jīng)過因式分解、配方，有理化等方法，向有益于判斷差的符號的方向變形定號：確立差f(x1)f(x2)（或f(x2)f(x1)）的符號，若符號不確立，能夠進(jìn)行分類討論下結(jié)論：即依據(jù)定義得出結(jié)論，注意下結(jié)論時不要忘掉說明區(qū)間用已知函數(shù)的單一性；利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；假如f(x)在區(qū)間D上是增（減）函數(shù)，那么f(x)在D的任一非空子區(qū)間上也是增（減）函數(shù)；圖象法；復(fù)合函數(shù)的單一性結(jié)論：“同增異減”；復(fù)合函數(shù)的看法：假如y是u的函數(shù)，記作yf(u)，u是x的函數(shù)，記為ug(x)，且

4、g(x)的值域與f(u)的定義域的交集非空，則經(jīng)過u確立了y是x的函數(shù)yfg(x)，這時y叫做x的復(fù)合函數(shù)，此中u叫做中間變量，uf(u)叫做外層函數(shù)，ug(x)叫做內(nèi)層函數(shù)注意：只有當(dāng)外層函數(shù)數(shù)fg(x)f(u)的定義域與內(nèi)層函數(shù)g(x)的值域的交集非空時才能構(gòu)成復(fù)合函奇函數(shù)在對稱的單一區(qū)間內(nèi)有同樣的單一性，偶函數(shù)在對稱的單一區(qū)間內(nèi)擁有相反的單一性互為反函數(shù)的兩個函數(shù)擁有同樣的單一性在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)f(x)增函數(shù)g(x)是增函數(shù)；減函數(shù)f(x)減函數(shù)g(x)是減函數(shù)；增函數(shù)f(x)減函數(shù)g(x)是增函數(shù)；減函數(shù)f(x)增函數(shù)g(x)是減函數(shù)函數(shù)yaxb(a0,b0)在,b或b,上單一遞

5、加；在b,0或0，bxaaaa上是單一遞減典例分析題型一：求函數(shù)的單一性，常用以下方法。1.定義法【例1】試用函數(shù)單一性的定義判斷函數(shù)f(x)2x在區(qū)間(0,1)上的單一性x1【考點(diǎn)】求函數(shù)單一性【難度】1星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】任取x1,x2(0,1)，且x1x2，則f(x1)2x12x22(x2x1)，f(x2)1x21(x11)(x21)x1因?yàn)? x1x21，x110，x210，x2x10，故f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以，函數(shù)f(x)2x在(0,1)上是減函數(shù)x1【答案】任取x1,x2(0,1)，且x1x2，則f(x1)f(x2)2x12x22(x2x1

6、)x11x2，1(x11)(x21)因?yàn)? x1x21，x110，x210，x2x10，故f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以，函數(shù)f(x)2x在(0,1)上是減函數(shù)x1【例2】證明函數(shù)yx3在定義域上是增函數(shù)【考點(diǎn)】求函數(shù)單一性【難度】2星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】錯解：函數(shù)yx3的定義域是R設(shè)x1,x2R，且x1x2，則f(x1)f(x2)x13x23x1x2，x13x23，f(x1)f(x2)0即f(x1)f(x2)函數(shù)yx3在定義域上是增函數(shù)錯因分析：錯在對x13x23的符號判斷上，由x1x2得x13x23，其實(shí)是利用了yx3在R上是增函數(shù)這一性質(zhì)正解：設(shè)x1,x2

7、R，且x1x2，則f(x1)f(x2)x13x232(x1x2)(x12x22x1x2)(x1x2)x1x23x22024f(x1)f(x2)，f(x)x3在R上是增函數(shù)【答案】設(shè)x1,x2R，且x1x2，則f(x1)f(x2)x13x2323x22(x1x2)(x12x22x1x2)(x1x2)x1x2024f(x1)f(x2)，f(x)x3在R上是增函數(shù)【例3】依據(jù)函數(shù)單一性的定義，證明函數(shù)f(x)x31在(,)上是減函數(shù)【考點(diǎn)】求函數(shù)單一性【難度】2星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】設(shè)x1,x2R，x1x2，則f(x1)f(x2)(x131)(x231)x23x13(x2x1)(x22x

8、1x2x12)x1x2，x2x10又x2x1x2x1(x21x1)3x10，222224f(x1)f(x2)0即f(x1)f(x2)，f(x)x31在(,)上是減函數(shù)防范將本題誤會為只證明f(x)x31在(,0)及(0,)都是遞減的即可【答案】設(shè)x1,x2R，x1x2，則f(x)f(x)(x31)(x31)x3x3(x2x)(x2xxx2)12122112121x1x2，x2x10又x22x1x2x12(x21x1)23x120，24f(x1)f(x2)0即f(x1)f(x2)，f(x)x31在(,)上是減函數(shù)防范將本題誤會為只證明f(x)31在(,0)及(0,)都是遞減的即可x【例4】證明函

9、數(shù)f(x)x在定義域上是減函數(shù)【考點(diǎn)】求函數(shù)單一性【難度】2星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】f(x)x的定義域?yàn)?,，設(shè)0 x1x2f(x1)f(x2)(x1)(x2)x2x1(x2x1)(x2x1)x2x1x2x1x2x10 x1x2，x2x10，x2x10f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)x在它的定義域0,上是減函數(shù)【答案】f(x)x的定義域?yàn)?,，設(shè)0 x1x2f(x1)f(x2)(x1)(x2)x2x1(x2x1)(x2x1)x2x1x2x1x2x10 x1x2，x2x10，x2x10f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)x在它的定義域0,上是減函

10、數(shù)【例5】談?wù)摵瘮?shù)f(x)x(1x1)的單一性21x【考點(diǎn)】求函數(shù)單一性【難度】2星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】設(shè)1x1x21，則f(x)f(x)x1x2x1(x221)x2(x121)(x2x1)(1x1x2)，12x121x221(x121)(x221)(x121)(x221)1x1x21，x2x10，且x1210,x2210,1x1x20f(x1)f(x2)函數(shù)f(x)x2x在(1,1)上單一遞減1【答案】設(shè)1x1x21，則f(x1)f(x2)x1x2x1(x221)x2(x121)(x2x1)(1x1x2)，x121x221(x121)(x221)(x121)(x221)1x1x2

11、1，x2x10，且x1210,x2210,1x1x20f(x1)f(x2)函數(shù)f(x)2x在(1,1)上單一遞減x1【例6】求函數(shù)fxx1的單一區(qū)間。x【考點(diǎn)】求函數(shù)單一性【難度】2星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】明顯x0。因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以先求fx在x0時的單一區(qū)間，再由奇函數(shù)的對稱性求出在整個定義域范圍內(nèi)的單一區(qū)間。當(dāng)0 x1x2時，則fx2fx111x2x1(x1x21)0(1x1x2)x2x1x1x2x10(0 x。x2x1)12即fx在1，上是遞加的，在0，1上是遞減的；因?yàn)槠婧瘮?shù)的圖象對于原點(diǎn)對稱，所以fx在，1上是遞加的，在1，0上是遞減的。由定義法求函數(shù)的單一區(qū)間

12、時，需要分兩步：一是在定義域范圍內(nèi)設(shè)兩個數(shù)x1x2；二是比較fx1與fx2的大??；但常常在第二步中會碰到不可以確立正負(fù)的式子x1x21，則需要按實(shí)質(zhì)分狀況談?wù)??！敬鸢浮棵黠@x0。因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以先求fx在x0時的單一區(qū)間，再由奇函數(shù)的對稱性求出在整個定義域范圍內(nèi)的單一區(qū)間。當(dāng)0 x1x2時，則fx2fx111x2x1(x1x21)0(1x1x2)x2x1x1x2x10(0 x1。x2x21)即fx在1，上是遞加的，在0，1上是遞減的；因?yàn)槠婧瘮?shù)的圖象對于原點(diǎn)對稱，所以fx在，1上是遞加的，在1，0上是遞減的。【例7】求證:函數(shù)()xa(a0)在(a,)上是增函數(shù).fxx【考點(diǎn)】求

13、函數(shù)單一性【難度】2星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】證明:設(shè)x1x2a則f(x1)f(x2)(x1a)(x2a)(x1x2)(1a)(x1x2)(x1x2a)x1x2x1x2x1x2當(dāng)x1x2a時x1x20,x1x20,x1x2a，所以f(x1)f(x2)0所以函數(shù)f(x)xa(a0)在(a,)上是增函數(shù).x【答案】證明:設(shè)x1x2a則f(x1)f(x2)(x1a)(x2a)(x1x2)(1a)(x1x2)(x1x2a)x1x2x1x2x1x2當(dāng)x1x2a時x1x20,x1x20,x1x2a，所以f(x1)f(x2)0所以函數(shù)f(x)xa0)在(a,)上是增函數(shù).(ax【例8】設(shè)函數(shù)fxxa

14、（ab0），求f（x）的單一區(qū)間，并證明f（x）在其單一xb區(qū)間上的單一性?！究键c(diǎn)】求函數(shù)單一性【難度】3星【題型】解答【要點(diǎn)詞】2001春,北京,安徽，高考【分析】在定義域內(nèi)任取x1x2，x1ax2a(x1a)(x2b)(x1b)(x2a)fx1fx2bx2b(x1b)(x2b)x2(ba)(x1x2)，(x1b)(x2b)0，a0，xx0，abb12只有當(dāng)x1x2b或bx1x2時函數(shù)才單一當(dāng)x1x2b或bx1x2時fx1fx20fx在b，上是單一減函數(shù)，在，b上是單一減函數(shù)本小題主要觀察了函數(shù)單一性的基本知識。對于含參數(shù)的函數(shù)應(yīng)用函數(shù)單一性的定義求函數(shù)的單一區(qū)間?！敬鸢浮吭诙x域內(nèi)任取x1

15、x2，fx1fx2x1ax2a(x1a)(x2b)(x1b)(x2a)x2bx2b(x1b)(x2b)(ba)(x1x2)，(x1b)(x2b)0，a0，xx0，abb12只有當(dāng)x1x2b或bx1x2時函數(shù)才單一當(dāng)x1x2b或bx1x2時fx1fx20fx在b，上是單一減函數(shù)，在，b上是單一減函數(shù)【例9】設(shè)a0，f(x)exa是R上的偶函數(shù)。aex（1）求a的值；（2）證明f(x)在(0,)上為增函數(shù)?！究键c(diǎn)】求函數(shù)單一性【難度】3星【題型】解答【要點(diǎn)詞】2001年，天津，高考【分析】（1）依題意，對全部xR，有f(x)f(x)，即1aexexa。aexaex1x10對全部xR建立，則10，1

16、，(a)(ex)aaaea0，1。aa（2）(定義法)設(shè)0 x1x2，則f(x)f(x)ex1ex21112ex1ex2x2x1)(1x1(ex2x11)1ex2x1，(eexx1)exxe12e21由x10，x20，x2x10，得x1x20，ex2x110，1ex2x10，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上為增函數(shù)。（導(dǎo)數(shù)法）a1，x(0，)f(x)(ex1ex1(ex)210 x)exxeef(x)在(0，)上為增函數(shù)本題用了兩種方法：定義法和導(dǎo)數(shù)法，對比之下導(dǎo)數(shù)法比定義法更加簡短?！敬鸢浮浚?）a1。（2）(定義法)設(shè)0 x1x2，則f(x1)f(x2)

17、ex1ex211ex1ex2x2x1)(1x1(ex2x11)1ex2x1，(eexx1)exxe12e21由x10，x20，x2x10，得x1x20，ex2x110，1ex2x10，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上為增函數(shù)。（導(dǎo)數(shù)法）a1，x(0，)f(x)(ex1ex1(ex)210 x)exxeef(x)在(0，)上為增函數(shù)【例10】已知fx是定義在R上的增函數(shù)，對xR有fx0，且f51，設(shè)Fxfx1，談?wù)揊x的單一性，并證明你的結(jié)論。fx【考點(diǎn)】求函數(shù)單一性【難度】3星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】這是抽角函數(shù)的單一性問題，應(yīng)當(dāng)用單一性定義解決。在

18、R上任取x1、x2，設(shè)x1x2，fx2fx1，F(xiàn)(x2)F(x1)f(x)21f(x)11f(x2)f(x1)11，f(x2)f(x1)f(x1)f(x2)fx是R上的增函數(shù)，且f101，當(dāng)10時0fx1，而當(dāng)x10時fx1；x若x1x25，則0fx1fx21，f1fx21，0 x110，fx1fx2Fx2Fx1；若x2x15，則fx2fx11，fx1fx21，10，1f(x1)f(x2)FxFx；21綜上，F(xiàn)x在，5減函數(shù)，在5，為增函數(shù)。該題屬于判斷抽象函數(shù)的單一性。抽象函數(shù)問題是函數(shù)學(xué)習(xí)中一類比較特別的問題，其基本能力是變量代換、換元等，應(yīng)嫻熟掌握它們的這些特色。【答案】這是抽角函數(shù)的單

19、一性問題，應(yīng)當(dāng)用單一性定義解決。在R上任取x1、x2，設(shè)x1x2，fx2fx1，F(xiàn)(x2)F(x1)f(x)211f(x2)f(x1)11f(x2)f(x)1，f(x1)f(x1)f(x2)fx是R上的增函數(shù)，且f101，當(dāng)10時0fx1，而當(dāng)x10時fx1；x若x1x25，則0fx1fx21，f1fx21，0 x110，fx1fx2Fx2Fx1；若x2x15，則fx2fx11，fx1fx21，10，1f(x1)f(x2)Fx2Fx1；綜上，F(xiàn)x在，5減函數(shù)，在5，為增函數(shù)。【例11】已知函數(shù)f(x)對隨意實(shí)數(shù)x，y均有f(xy)f(x)f(y)且當(dāng)x0時，f(x)0，試判斷f(x)的單一性，

20、并說明原由【考點(diǎn)】求函數(shù)單一性【難度】3星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】依據(jù)題目所給條件，原型函數(shù)為ykx(k0)此為增函數(shù)類比其證明方法可得：設(shè)x1,x2R，且x1x2，則x2x10，故f(x2x1)0f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)0f(x1)f(x2)故f(x)在(,)上為增函數(shù)【答案】依據(jù)題目所給條件，原型函數(shù)為ykx(k0)此為增函數(shù)類比其證明方法可得：設(shè)x1,x2R，且x1x2，則x2x10，故f(x2x1)0f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)0f(x1)

21、f(x2)故f(x)在(,)上為增函數(shù)【例12】已知給定函數(shù)f(x)對于隨意正數(shù)x，y都有f(xy)f(x)f(y)，且f(x)0，當(dāng)x1時，f(x)1試判斷f(x)在(0,)上的單一性，并說明原由【考點(diǎn)】求函數(shù)單一性【難度】3星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】依據(jù)題目所給條件，此函數(shù)的原型函數(shù)能夠?yàn)閥1明顯此函數(shù)在(0,)x上是減函數(shù)2對于x(0,)有又f(x)0，f(x)設(shè)x1，x2(0,)則f(x2)f(x2x1)x1f(x1)f(x1)f(x1)f(x2)，故f(x)f(x，且x1x2(x2)f(x1)x1(x1)f(x)在(0,x)f(x)0，x2f()1，)上為減函數(shù)【答案】依據(jù)題

22、目所給條件，此函數(shù)的原型函數(shù)能夠?yàn)閥1明顯此函數(shù)在(0,)x上是減函數(shù)對于x(0,)有f(x)f(xx)f(20，x)又f(x)0，f(x)0設(shè)x1，x2(0,)，且x1x2則f(x2)f(x2x1)f(x2)f(x1)f(x2)1，x1x1f(x1)f(x1)f(x1)x1f(x1)f(x2)，故f(x)在(0,)上為減函數(shù)2.圖象法【例13】如圖是定義在區(qū)間5,5上的函數(shù)yf(x)，依據(jù)圖象說出函數(shù)的單一區(qū)間，以及在每一單一區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？yy=f(x)21-2-5-4-3-1O12345x-1-2【考點(diǎn)】求函數(shù)單一性【難度】1星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】函數(shù)yf(x)

23、的單一區(qū)間有：5,2)，2,1)，1,3)，3,5此中yf(x)在區(qū)間5,2)，1,3)上是減函數(shù)，在區(qū)間2,1)，3,5上是增函數(shù)【答案】yf(x)在區(qū)間5,2)，1,3)上是減函數(shù)，在區(qū)間2,1)，3,5上是增函數(shù)【例14】求函數(shù)y12x2x的單一減區(qū)間【考點(diǎn)】求函數(shù)單一性【難度】2星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無3x1(x1)2【分析】y=3x(1x2)，由圖象（如右圖）得減區(qū)間是(,1。223x1(x2)yx1O2直接做出函數(shù)的圖象，再由圖象直接求出其單一區(qū)間是一種形象直觀的方法。1【答案】減區(qū)間是(,2【例15】求以下函數(shù)的單一區(qū)間：y|x1|；yx1（x0）x【考點(diǎn)】求函數(shù)單一性【難度】

24、2星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】將y|x1|寫成分段函數(shù)形式x1(x1)f(x)x(x1)1畫出函數(shù)的圖象（或用單一性的定義）知：yO1x此函數(shù)的單一增區(qū)間為(1,)，遞減區(qū)間為(,1；設(shè)x2x10，則f(x2)f(x1)(x2x1)x1x2(x2x1)x1x21，x1x2x1x2當(dāng)x1,x2(0,1)時，f(x2)f(x1)0f(x1)f(x2)；當(dāng)x1,x21,)時，f(x2)f(x1)0f(x1)f(x2)；此函數(shù)的遞加區(qū)間為1,)，遞減區(qū)間為(0,1)（此函數(shù)圖象如右）yO1x【答案】單一增區(qū)間為(1,)，遞減區(qū)間為(,1遞加區(qū)間為1,)，遞減區(qū)間為(0,1)【例16】求以下函數(shù)的

25、單一區(qū)間：y|x1|2x4|；yx22|x|3【考點(diǎn)】求函數(shù)單一性【難度】2星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無3x3,x1【分析】y|x1|2x4|x5,2x1，3x3,x2其圖象如右，由圖可知，函數(shù)在2,)上是增函數(shù)，yx在(,2上是減函數(shù)x22x3,x0y2x2|x|322x3,x0 xy42-4-224x-2-4由圖可知，函數(shù)在(,1、0,1上是增函數(shù)，在1,0、1,)上是減函數(shù)【答案】2,)上是增函數(shù)，在(,2上是減函數(shù)在(,1、0,1上是增函數(shù)，在1,0、1,)上是減函數(shù)【例17】作出函數(shù)y|x2x|的圖象，并聯(lián)合圖象寫出它的單一區(qū)間【考點(diǎn)】求函數(shù)單一性【難度】2星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【

26、分析】將此函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式得：x2xx(,0(1,)y2x(0,1，xx如圖的實(shí)線部分是此函數(shù)的圖象yO1x由圖象可知，此函數(shù)的遞加區(qū)間為(0,1及(1,)，2遞減區(qū)間為(,0及(1,12【答案】遞加區(qū)間為(0,1及(1,)，2遞減區(qū)間為(,0及(1,12【例18】畫出以下函數(shù)圖象并寫出函數(shù)的單一區(qū)間（1）yx22|x|1（2）y|x22x3|【考點(diǎn)】求函數(shù)單一性【難度】2星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無x22x1(x0)即y(x1)22(x0)【分析】(1)y2(x1)2x2x1(x0)2(x0)以以下圖，單一增區(qū)間為(,1和0,1，單一減區(qū)間為1,0和1,)y1-11x（2）當(dāng)x22x30

27、，得1x3，函數(shù)yx22x3(x1)24當(dāng)x22x30，得x1或x3，函數(shù)yx22x3(x1)24即y(x1)24(1x3)(x1)24(x1或x3)yx以以下圖，單一增區(qū)間為1,1和3,，單一減區(qū)間為(,1和1,3【答案】(1)單一增區(qū)間為(,1和0,1，單一減區(qū)間為1,0和1,)（2）單一增區(qū)間為1,1和3,，單一減區(qū)間為(,1和1,33.求復(fù)合函數(shù)的單一區(qū)間2【例19】函數(shù)yx（xR，x1）的遞加區(qū)間是（）x1Ax2Bx0或x2Cx0Dx12或x2【考點(diǎn)】求函數(shù)單一性【難度】2星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】令tx1(t0)，則y2t10)(tt1210若t0，則y4，這時，當(dāng)11，則

28、t，y是t的增函ttt12數(shù)；當(dāng)0t1，則yt4，1tt0且對于t遞減，這時y關(guān)tt12于t遞減；若t0，則y，當(dāng)t1，即tt時，y遞加；當(dāng)tt120t1時，yt遞減t總之，y的遞加區(qū)間是x0或x2【答案】C；【例20】已知yfx是偶數(shù)，且在0，上是減函數(shù)，求f1x2單一增區(qū)間。【考點(diǎn)】求函數(shù)單一性【難度】2星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】因?yàn)閒x是偶函數(shù)，且在0，減函數(shù)，由偶函數(shù)的圖象對于y軸對稱的性質(zhì)，則fx在，0上是增函數(shù)。令u=1-x2，令u0，即1-x20，得0 x21，已知當(dāng)x1，0時u是增函數(shù)，在x0，1時u是減函數(shù)，又知f(u)是減函數(shù)。當(dāng)x1，0時f1x2是減函數(shù)，在x0，

29、1上是增函數(shù)。復(fù)合函數(shù)的單一性依據(jù)“同增異減”原則。即構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的兩個函數(shù)中，若兩個均為增或減函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個函數(shù)中一個為增另一個為減，則復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)。【答案】在x1，0上是減函數(shù)，在x0，1上是增函數(shù)?！纠?1】求函數(shù)yx21的單一區(qū)間x2【考點(diǎn)】求函數(shù)單一性【難度】2星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無2【分析】設(shè)u(x)x2x2x17，4且u(x)0恒建立，所以函數(shù)的定義域?yàn)镽則二次函數(shù)u(x)的單一增區(qū)間為1,，遞減區(qū)間為,12221(u又ux2x2x170，而y0)是單一遞減函數(shù)，24uy1的單一性與u(x)x2x2的單一性正好相反，x2x2即此函數(shù)的單一遞加區(qū)間為,1，

30、單一遞減區(qū)間為1,22【答案】單一遞加區(qū)間為,1，單一遞減區(qū)間為1,22【例22】談?wù)摵瘮?shù)yx22x3的單一性【考點(diǎn)】求函數(shù)單一性【難度】2星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無x212【分析】函數(shù)y2x3可看作由函數(shù)yuu2及ux2x3經(jīng)過復(fù)合而成的函數(shù)由u22x30得x3或x1，所以函數(shù)的定義域?yàn)?,31,)，x因?yàn)楹瘮?shù)yu在0,)上單一遞加，而函數(shù)u22x3在1,)上單一x遞加，在(,3上單一遞減所以，函數(shù)yx22x3在(,3上單一遞減，在1,)上單一遞加【答案】yx22x3在(,3上單一遞減，在1,)上單一遞加【例23】求函數(shù)f(x)0.5(x28x7)的單一區(qū)間【考點(diǎn)】求函數(shù)單一性【難度】2星【

31、題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】錯解：令ylog0.5，ux28x7因?yàn)閥log0.5在(0,)上是減函數(shù)，u2x8x7在(,4)上是減函數(shù)，在(4,)是增函數(shù)。所以函數(shù)f(x)0.5(x28x7)在(4,)上是減函數(shù)，在(,4)上是增函數(shù)原因分析：未注意u0正確解法：由已知得x28x70 x(,1)(7,)且ux28x7在(,1)上是減函數(shù)，在(7,)上是增函數(shù)，所以，函數(shù)f(x)0.5(x28x7)在(,1)上是增函數(shù)，在(7,)是減函數(shù)。對策：求函數(shù)yfg(x)的單一性，方法這里不講，特別注意函數(shù)yf(u)的定義域M與函數(shù)ug(x)的值域D之間的關(guān)系是DM【答案】f(x)0.5(x28x7

32、)在(,1)上是增函數(shù)，在(7,)是減函數(shù)。【例24】求函數(shù)ylog0.7(x23x2)的單一區(qū)間；【考點(diǎn)】求函數(shù)單一性【難度】2星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】函數(shù)的定義域?yàn)?，1)(2，)，分解基本函數(shù)為ylog0.7t，tx23x2明顯ylog0.7t在(0,)上是單一遞減的，而tx23x2在(1)，(2，)上分別是單一遞減和單一遞加的。依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單一性的規(guī)則：所以函數(shù)ylog0.7(x23x2)在(，1)，(2，)上分別單一遞加、單一遞減?！敬鸢浮縴log0.7(x23x2)在(，1)，(2，)上分別單一遞加、單一遞減?！纠?5】已知f(x)82xx2,若g(x)f(2x2)試確

33、立g(x)的單一區(qū)間和單一性。【考點(diǎn)】求函數(shù)單一性【難度】2星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】解法一：函數(shù)的定義域?yàn)镽，分解基本函數(shù)為gf(t)t22x8和t2t2。明顯gf(t)t22x8在(1,)上是單一遞減的，(,1)上單一遞加；而t2x2在(,0),(0,)上分別是單一遞加和單一遞減的。且2x21x1，依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單一性的規(guī)則：所以函數(shù)的單一增區(qū)間為(,1),(0,1)；單一減區(qū)間為(1,),(1,0)。解法二：g(x)82(2x2)(2x2)2x42x28，g(x)4x34x，令g(x)0，得x或0 x1，1令g(x)0，x1或1x0單一增區(qū)間為(,1),(0,1)；單一減區(qū)間為(

34、1,),(1,0)。該題觀察了復(fù)合函數(shù)的單一性。要記著“同向增、異向減”的規(guī)則?！敬鸢浮繂我辉鰠^(qū)間為(,1),(0,1)；單一減區(qū)間為(1,),(1,0)題型二：利用單一性求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍【例26】設(shè)函數(shù)f(x)(2a1)xb是R上的減函數(shù)，則a的范圍為()1B1Ca1Da1Aaa2222【考點(diǎn)】利用單一性求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍【難度】1星【題型】選擇【要點(diǎn)詞】無【分析】2a10時該函數(shù)是R上的減函數(shù).【答案】D【例27】函數(shù)yx2bxc(x0,)是單一函數(shù)的充要條件是()Ab0Bb0Cb0Db0【考點(diǎn)】利用單一性求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍【難度】2星【題型】選擇【要點(diǎn)詞】無【分析】考慮對稱

35、軸和區(qū)間端點(diǎn).聯(lián)合二次函數(shù)圖象【答案】A【例28】已知f(x)a2a(axax)（a0且a1）是R上的增函數(shù)則實(shí)數(shù)a的取值2范圍是（）A(0，1)B(0，1)2，C2，D(0，1)2，【考點(diǎn)】利用單一性求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍【難度】2星【題型】選擇【要點(diǎn)詞】無【分析】設(shè)x1x2，x1、x2R因?yàn)閒(x)是R上的增函數(shù)，所以，f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)2aax1ax2ax2ax1a2當(dāng)0a1時，ax1ax2，ax1ax2，此時a2a0，則0a1，吻合條件；2當(dāng)a1時，ax1ax2，ax2ax1，由式有a220，則a2，吻合條件綜上所述，a的取值范圍是(0，1)2，【答案】B【例2

36、9】設(shè)a是實(shí)數(shù)，f(x)a2x(xR)，1試證明對于隨意a，f(x)為增函數(shù)；試確立a值，使f(x)為奇函數(shù)【考點(diǎn)】利用單一性求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍【難度】3星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】設(shè)x1，x2R，且x1x2則fx1fx22a2222(2x12x2)，a12x212x212x11(2x11)(2x22x11)因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y2x在R上是增函數(shù)，且x1x2，所以2xxxx0122即2122又由2x0得2x110，2x210，所以fx1fx20，即fx1fx2因?yàn)榇私Y(jié)論與a取值沒關(guān)，所以對于a取隨意實(shí)數(shù)，f(x)為增函數(shù)若f(x)為奇函數(shù)，則fxfx，即a2(a2)，2x12x2x2(2x

37、1變形得：2a(222x21)，解得a1x1)2x12x1所以當(dāng)a1時，f(x)為奇函數(shù)【答案】設(shè)x1，x2R，且x1x2則fx1fx22a2222(2x12x2)，a12x212x212x11(2x11)(2x22x11)因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y2x在R上是增函數(shù)，且x1x2，所以2xxxx0122即2122又由2x0得2x110，2x210，所以fx1fx20，即fx1fx2因?yàn)榇私Y(jié)論與a取值沒關(guān)，所以對于a取隨意實(shí)數(shù)，f(x)為增函數(shù)a1【例30】已知fx是奇函數(shù)，在實(shí)數(shù)集R上又是單一遞減函數(shù)且02時,f(1sin23tsin)f(1)0,求t的取值范圍.222【考點(diǎn)】利用單一性求函數(shù)中參數(shù)的取值

38、范圍【難度】3星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】由題設(shè)知0時，f(1sin23tsin)f(1).2222fx是奇函數(shù)，故有f(1)f(1),f(1sin23tsin)f(1)f(1)222222fx在R上是減函數(shù)，故有1sin23tsin1，即sin23sint1，整222理得tsin1.33sin結(jié)構(gòu)函數(shù)yx11(x1)，它在（0，1）上是減函數(shù)，值域?yàn)?2，)，33x3x3故t23綜上所述，用函數(shù)單一性解題的要點(diǎn)是，經(jīng)過觀察、分析、聯(lián)想，結(jié)構(gòu)一個合適的函數(shù)，若結(jié)構(gòu)的這個函數(shù)的單一性不明顯，則需證明它擁有單一性，然后依據(jù)函數(shù)的單一性去求解或證明.一求函數(shù)的單一區(qū)間及判斷函數(shù)的單一性22【答

39、案】tt33【例31】已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且fx在0，上是增函數(shù)，能否存在實(shí)數(shù)m，使fcos234fm2cosm0f對全部0，都建立？若存在，2求出吻合條件的全部實(shí)數(shù)m的范圍，若不存在，說明原由?！究键c(diǎn)】利用單一性求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍【難度】4星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】fx是R上的奇函數(shù)，且在0，上是增函數(shù)，fx是R上的增函數(shù)，于是不等式可等價地轉(zhuǎn)變成fcos23f2mcos4m，即cos232mcos4m2mcos2m20。,即cos設(shè)tcos,則問題等價地轉(zhuǎn)變成函數(shù)m2gt2mt2m2tm22m2在0，1上的值恒為正，又轉(zhuǎn)變成t24函數(shù)gt在0，1上的最小值為正。當(dāng)m

40、0,即m0時，g02m20m1與m0不符；2當(dāng)0m1時，即0m2時，gmm22m2422m42224422m2當(dāng)m1，即m2時，g1m10m1。2m2綜上，吻合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m422。另法(僅限當(dāng)m能夠解出的狀況)：cos2mcos2m20對于0，恒2建立，等價于2cos20，恒建立m對于2cos2當(dāng)0，時，2cos2422，22cosm422?！緜渥ⅰ可线厓衫咏柚诤瘮?shù)的單一性辦理了恒建立問題和不等式的求解問題?！敬鸢浮縨422【例32】設(shè)定義域?yàn)镽上的函數(shù)f(x)既是單一函數(shù)又是奇函數(shù)，若fklog2tflog2tlog22t20對全部正實(shí)數(shù)t建立，務(wù)實(shí)數(shù)k的取值范圍

41、。【考點(diǎn)】利用單一性求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍【難度】4星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】由已知fklog2tflog2tlog22t20，因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，則fklog2tflog2tlog22t2，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上的單一函數(shù)，分兩種狀況：（1）若遞加，則klog2tlog2tlog22t2，即log22tk1log2t20，此式不行能對全部正實(shí)數(shù)t建立，舍去；（2）若遞減，則klog2tlog2tlog22t2,即log22tk1log2t20，對全部正實(shí)數(shù)t建立，則0，解得221k221?！敬鸢浮?21k221題型三：函數(shù)的單一性與方程、不等式【例33】比較log2(x1)與lo

42、g2(2x3)的大小.【考點(diǎn)】函數(shù)的單一性與方程、不等式【難度】2星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】簡析：從題設(shè)的兩個對數(shù)，便聯(lián)想起ylog2u在（0，+）上是單一函數(shù)，所以只需比較兩個真數(shù)的大小，原題即可獲解.x101.當(dāng)x1時，有0 x12x3.解：由3解得x2x0因函數(shù)ylog2u在0，上單一遞加，故log2(x1)log2(2x3)。【答案】log2(x1)log2(2x3)【例34】已知f(x)在區(qū)間(,)上是減函數(shù)，a,bR且ab0，則以下表達(dá)正確的是（）Af(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f(a)f(b)Cf(a)f(b)f(a)f(b)Df(a)f(b)f(a)

43、f(b)【考點(diǎn)】函數(shù)的單一性與方程、不等式【難度】3星【題型】選擇【要點(diǎn)詞】無【分析】提示：ab0可轉(zhuǎn)變成ab和ba在利用函數(shù)單一性可得.【答案】B【例35】若f(x)是R上的減函數(shù)，且f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0，3)和點(diǎn)B(3，1)，則不等式|f(x1)1|2的解集為（）A(，3)B(，2)C(0，3)D(1，2)【考點(diǎn)】函數(shù)的單一性與方程、不等式【難度】3星【題型】選擇【要點(diǎn)詞】無【分析】易得1f(x1)3f(0)3，f(3)1，且f(x)為減函數(shù)，不等式1f(x)3的解為0 x3由此推出當(dāng)1f(x1)3時，有0 x13【答案】D；【例36】解方程3x695x2x.【考點(diǎn)】函數(shù)的單一性與方

44、程、不等式【難度】3星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】簡析：令f(x)3x6，g(x)95x2x。明顯，在公共定義域里，fx是增函數(shù)，gx為減函數(shù).直接考證知f1g1.以此為基礎(chǔ)，用函數(shù)fx、gx的單一性即可求出原方程的解.解：設(shè)f(x)3x6；g(x)95x2x.在它們共同的定義域里，fx為單一遞加函數(shù)，gx為單一遞減函數(shù).明顯f1g1且9x1時，有fxf1g1gx；1x2時，有5fxf1g1gx即原方程fxgx僅有一解x1，故x1是原方程的解.【答案】x1【例37】設(shè)f(x)在R上是偶函數(shù)，在區(qū)間，0上遞加，且有f2a2a1f3a22a1，求a的取值范圍?！究键c(diǎn)】函數(shù)的單一性與方程、不等式

45、【難度】3星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】因?yàn)閒x是R上的偶函數(shù)，且在負(fù)實(shí)數(shù)集上遞加，則fx在正實(shí)數(shù)集上遞減。a12a122且2a270，3a22a213a1204833且f2a2a1f3a22a1，所以2a2a13a22a1，解之0a3。本題實(shí)質(zhì)上是解函數(shù)不等式含有函數(shù)符號fx的不等式。解函數(shù)不等式（或方程）第一要去函數(shù)符號；而去函數(shù)符號的方法常常是判斷自變量所處的區(qū)間，利用函數(shù)的單一性，從而去掉函數(shù)符號，變換成一般不等式（或方程）再得解。【答案】0a3【例38】設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，對m、R恒有f(mn)f(m)f(n)，且當(dāng)x0n時，0f(x)1。（1）求證：f(0)1；（2）

46、證明：xR時恒有f(x)0；（3）求證：f(x)在R上是減函數(shù)；（4）若f(x)f(2x)1，求x的范圍?！究键c(diǎn)】函數(shù)的單一性與方程、不等式【難度】3星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】(1)取m0，n1則f(10)f(1)f(0)，因?yàn)閒(1)0所以f(0)12222(2)設(shè)x0則x0由條件可知f(x)o又因?yàn)?f(0)f(xx)f(x)f(x)0，所以f(x)0 xR時，恒有f(x)0（3）設(shè)x1x2則f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1x1)=f(x1)f(x2x1)f(x1)=f(x1)1f(x2x1)因?yàn)閤1x2所以x2x10所以f(x2x1)1即1f(x2x1)0又因?yàn)閒(x1

47、)0，所以f(x1)1f(x2x1)0所以f(x1)f(x2)0，即該函數(shù)在R上是減函數(shù).(4)因?yàn)閒(x)f(2x)1，所以f(x)f(2x)f(2xx2)f(0)所以2xx20，所以x的范圍x2或x0【分析】【答案】(1)取m0，n1則f(10)f(1)f(0)，因?yàn)閒(1)0所以2222f(0)1(2)設(shè)x0則x0由條件可知f(x)o又因?yàn)?f(0)f(xx)f(x)f(x)0，所以f(x)0 xR時，恒有f(x)0（3）設(shè)x1x2則f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1x1)=f(x1)f(x2x1)f(x1)=f(x1)1f(x2x1)因?yàn)閤1x2所以x2x10所以f(x2x1)

48、1即1f(x2x1)0又因?yàn)閒(x1)0，所以f(x1)1f(x2x1)0所以f(x1)f(x2)0，即該函數(shù)在R上是減函數(shù).(4)因?yàn)閒(x)f(2x)1，所以f(x)f(2x)f(2xx2)f(0)所以2x20，所以x的范圍x2或x0 x【例39】設(shè)f(x)是定義在(0,)上的單一增函數(shù)，滿足f(xy)f(x)f(y),f(3)1求：（1）f1；（2）當(dāng)f(x)f(x8)2時x的取值范圍.【考點(diǎn)】函數(shù)的單一性與方程、不等式【難度】3星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】(1)令xy1可得f(1)0(2)又2=1+1=f(3)f(3)f(9)由f(x)f(x8)2,可得fx(x8)f(9)因?yàn)閒

49、(x)是定義在(0,)上的增函數(shù),所以有x0且x80且x(x8)9，解得：8x9【答案】(1)f(1)0（2）8x9【例40】已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且xf(x)f(y)f()y求證：f(1)0，f(xy)f(x)f(y)；若f(2)1，解不等式f(x)f(1)2x3【考點(diǎn)】函數(shù)的單一性與方程、不等式【難度】3星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】由f(x)f()()，令xy1，得f(1)f(1)f(1)，即f(1)0yxfy又f()f(xy)(xy)()，得f(xy)f(x)f(y)xyffy由f(2)1，得：f(2)f(2)2，即f(4)2f(x)f(1)2可變形為f(x)2，得：f

50、(x(x3)f(4)1x3x3x0由f(x)在R上是增函數(shù)，可得原不等式與下不等式同解：x30，x(x3)4解得3x4所以原不等式得解集為x|3x4【答案】x|3x4【例41】已知偶函數(shù)fx在0，上為增函數(shù)，且f20，解不等式flog2x25x40。【考點(diǎn)】函數(shù)的單一性與方程、不等式【難度】3星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】f20，原不等式可化為flog2x25x4f2。又fx為偶函數(shù)，且fx在0，上為增函數(shù)，fx在，0上為減函數(shù)且f2f20。不等式可化為log2x25x42或log2x25x42由得2，或x0 x5x44x5由得0 x25x41得4510 x4或1x52102由得原不等式的

51、解集為xx5或510 x或1x510或0。24x2【答案】xx5或510 x或1x510或024x2【例42】已知a、b、cR，cab且cab，求證：caba1b1c1【考點(diǎn)】函數(shù)的單一性與方程、不等式【難度】4星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】觀察題中的c，a，b的表面特色，自然會考慮函數(shù)fxx.明顯，c1a1b1x1此函數(shù)在0 x上是增函數(shù).由cab得出f(c)f(ab)后，原題的證明即能實(shí)現(xiàn).【答案】結(jié)構(gòu)函數(shù)f(x)x111(0 x)，xx1由此可知fx在0,上是單一遞加函數(shù).cab，從而有f(c)f(ab)，即cabababc1(ab)1(ab)1(ab)1a1b1故cabc1a1b1

52、【例43】已知x1，且x0，nN，n2，求證：(1)n1nxx【考點(diǎn)】函數(shù)的單一性與方程、不等式【難度】4星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無(1n11nx，可令f(n)1nx【分析】欲證x)nxn1n，經(jīng)過計(jì)算，需證(1(1x)x)f(n1)f(n)，易知f（n）是單一函數(shù).由此，原命題便水到渠成.【答案】結(jié)構(gòu)函數(shù)f(n)1nx(1x)n,x1且x0，故1(n1)x1nxnx2.f(n1)f(n)(1x)n1(1x)n(1x)n10f(n)是單一遞減函數(shù)，又f(2)f(1)1x11xf(n)1(n2)，即n1n.1x【例44】設(shè)n1，f(x)是定義在有限會合A1,2,3,n上的單一遞加函數(shù)，且對任何x

53、,yA，有f(x)f(x)f(y)那么，（）f(y)An2Bn3Cn4Dn5【考點(diǎn)】函數(shù)的單一性與方程、不等式【難度】4星【題型】選擇【要點(diǎn)詞】無【分析】A任取xy，x,yA，則有f(x)f(x)f(y),f(y)f(y)f(x)f(y)f(x)所以，f(x)f(y)，即f2(x)f2(y)f(y)f(x)所以，f2(x)c1(c10)故f(x)c,c(c0)假如n2，由抽屜原理，存在xy,x,yA，使f(x)f(y)，這與f(x)是單調(diào)遞加函數(shù)矛盾所以n2進(jìn)一步，注意到f(x)單一遞加，所以f(1)c,f(2)c由c(c)c，得c1c存在f(x)2x3，x1,2滿足條件【答案】A【例45】已

54、知f(x)是定義在(0,)上的增函數(shù)，且當(dāng)*nN時，f(n)N，3n，ff(n)則f(1)f(2)【考點(diǎn)】函數(shù)的單一性與方程、不等式【難度】4星【題型】填空【要點(diǎn)詞】無【分析】5第一，f(n)n，不然f(n)n，由單一性ff(n)f(n)n，即3nn，矛盾；其次，f(n)3n，不然f(n)3n，可得f(3n)9n，即f(3n)3n，矛盾；故nf(n)3n，則f(1)2，ff(1)f(2)3綜上，f(1)f(2)235【答案】5題型四：函數(shù)的最值【例46】求函數(shù)f(x)x1，x0的最小值x【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】2星【題型】解答【要點(diǎn)詞】無【分析】解法1（單一性法）設(shè)0 x1x2，則f(x1)

55、f(x2)x11x21x1x2(x2x1)(1x1x2)x1x2(x1x2)x2x1x1x2從而，當(dāng)0 x1x21時，f(x1)f(x2)0，即f(x)在(0,1)上為減函數(shù)；當(dāng)1x1x2時，f(x1)f(x2)0，即f(x)在(1,)上為增函數(shù)從而f(x)的最小值為f(1)210，則22yx10由解法2（鑒別式法）設(shè)yxxyx1，即xxy240可得（“”當(dāng)0，即x1時獲得），從而f(x)的最小值為y22解法3（不等式法）f(x)x12x12（當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時獲得xxx“”），從而f(x)的最小值為21121，即解法4（配方法）f(x)xx2（當(dāng)且僅當(dāng)xx1xx2x時獲得“”），從而f(

56、x)的最小值為21Ay=kxy=xBy=kxCODx解法5（數(shù)形聯(lián)合方法）設(shè)兩條過原點(diǎn)的直線的斜率分別是k和1，k明顯它們對于直線yx對稱，且它們的方程分別是ykx和y1x如圖，作直線x1與直線y1x、yx、ykx、kkx軸分別交于點(diǎn)A、B、C、D簡單獲取OD1，AD1，kBD1，CDk當(dāng)k1時，A、B、C三點(diǎn)重合，ADCDk1；2k當(dāng)0k1時，A2A2D(AC因?yàn)镈CDO90，有COD90，OCA90，所以O(shè)AOC由角均分線定理，ABBC于是ADCD20，即k12；k當(dāng)k1時，與0k1時近似，能夠證明12kk綜上，原函數(shù)的最小值當(dāng)x1時獲得，最小值為2AxE11xDOBFC解法6（幾何法）如圖，在菱形ABCD中，O為其對角線AC和BD的交點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線EF分別與AB、CD交于點(diǎn)E、F，OEOF1設(shè)AEx，依據(jù)射影定理，BE1，從而ABAEEBx1ABCD為菱形，xx所以ABAD對于平行線AB和CD，EF為其距離，從而ADEF2，即ABx12當(dāng)ABCD為正方x形，即x1時ADEF，ABx12于是f(x)的最小值為2x解法7（方程法）設(shè)f(x)x1,x0的最小值為m，m0，則因?yàn)閒(x)0，x所以函數(shù)g(x)f(x)2的最小值為m2事實(shí)上g(x)2122)2，而函數(shù)f(x2)的