數(shù)學(xué)分析傅立葉級數(shù) 1211

1、第十二章 傅立葉級數(shù)1 一、 歷史淵源 傅立葉(Fourier) （1768-1830） 在熱傳導(dǎo)研究(始于1807, 1822 年發(fā)表 熱的解析理論)中， Fourier 提出用三角級數(shù)表示周期函數(shù)：法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家.2二 、 地位及發(fā)展產(chǎn)生嚴(yán)格的數(shù)學(xué)概念（函數(shù)、黎曼積分）數(shù)學(xué)理論（調(diào)和分析、微分方程求解、集合論等）工程應(yīng)用 (頻譜分析，F(xiàn)FT 1960, JPEG)小波分析(1980, JPEG2000）對自然界的深入研究是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的最豐富源泉-Fourier3Fourier與小波變換發(fā)展概況1822年Fourier變換,在頻域的定位最準(zhǔn)確，無任何時(shí)域定位能力。 函數(shù)，時(shí)域定位完全準(zhǔn)確

2、，頻域無任何定位能力1946年Gabor變換，STFT，窗函數(shù)的大小和形狀與時(shí)間和頻率無關(guān)而保持固定不變。不構(gòu)成正交基。1982年Burt提出金字塔式圖像壓縮編碼，子帶編碼(subband coding),多采樣率濾波器組(multirate sampling filter bank).1910年Harr提出規(guī)范正交基。1981年Stormberg對Harr系進(jìn)行改進(jìn)，證明了小波函數(shù)的存在。1984年,Morlet提出了連續(xù)小波1985年,Meyer,Grossmann,Daubecies提出離散的小波基1986年,Meyer證明了不可能存在時(shí)域頻域同時(shí)具有正則性的正交小波基，證明了小波的自正

3、交性。1987年,Mallat統(tǒng)一了多分辨率分析和小波變換，給出了快速算法。4Fourier與小波的應(yīng)用領(lǐng)域J.Morlet，地震信號分析。S.Mallat，二進(jìn)小波用于圖像的邊緣檢測、圖像壓縮和重構(gòu)Farge，連續(xù)小波用于渦流研究Wickerhauser，小波包用于圖像壓縮。Frisch噪聲的未知瞬態(tài)信號。Dutilleux語音信號處理H.Kim時(shí)頻分析Beykin正交小波用于算子和微分算子的簡化信號處理、圖像處理、模式識別、語音識別、量子物理、地震勘探流體力學(xué)、電磁場、CT成象、機(jī)器視覺、機(jī)械故障診斷、分形、數(shù)值計(jì)算5 第一節(jié) 傅里葉級數(shù)一、 三角級數(shù)、正交函數(shù)系二、 以 為周期的函數(shù)的Fourier級數(shù)三、 收斂定理內(nèi)容6一、三角級數(shù) 、三角函數(shù)系的正交性1. 三角級數(shù)諧波分析三角級數(shù)72.三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系8正交函數(shù)系9二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)問題:若能展開, 是什么?傅里葉系數(shù)10傅里葉系數(shù)11 解 12三、收斂定理展開的條件是什么?問題:132. 函數(shù)展開