概率論與數(shù)理統(tǒng)計第16講

1、1概率論與數(shù)理統(tǒng)計第16講本文件可從網(wǎng)址 上下載(單擊ppt講義后選擇概率論子目錄)2超幾何分布3例1 某班有學生23名, 其中有5名女同學, 今從班上任選4名學生去參觀展覽, 被選到的女同學數(shù)x是一個隨機變量, 求x的分布.解 x可取0,1,2,3,4,這5個值, 相應概率為4概率分布表為x01234P0.28170.46960.21670.03100.0310概率分布圖為:5定義 設N個元素分為兩類, 有N1個元素屬于第一類, N2個元素屬于第二類(N1+N2=N). 從中按不重復抽樣取n個, 令x表示這n個中第一(或二)類元素的個數(shù), 則x的分布稱為超幾何分布. 其概率函數(shù)為:6根據(jù)概率

2、分布的性質(zhì), 必有7和二項分布相比, 二項分布是放回抽樣, 而超幾何分布是不放回抽樣.當在不放回抽樣時, 超幾何分布中的N1/N相當于二項分布中的參數(shù)p, N2/N相當于二項分布中的q=1-p.超幾何分布也可以和二項分布一樣看作是n個0-1分布的隨機變量xi的和, i=1,2,.,n, xi表示第i次抽樣抽到第一類元素的事件的次數(shù), 根據(jù)抽簽原理P(xi=1)=N1/N, 但如果ij, xi與xj相互之間是不獨立的.8計算超幾何分布的數(shù)學期望因為x可看作n個相互并不獨立但仍然服從同樣的0-1分布的隨機變量x1,x2,.,xn的和,x=x1+x2+.+xn, 其中可以認為超幾何分布的數(shù)學期望與二

3、項分布的一樣9計算x的方差因xi服從0-1分布, 則xi2也服從同樣的0-1分布, 則Exi2=N1/N=Exi, 當ij時, xixj也服從0-1分布, 10因此11也可以直接用定義來計算Ex和Dx12計算Dx必須要先計算Ex(x-1)13因此14在實際應用中元素的個數(shù)N是相當大的, 例如, 從中國人民中任抽幾千個人觀察, 從一個工廠的幾十萬件產(chǎn)品中任抽幾千件觀察, 等等.而在N非常大的情況下, 放回抽樣和不放回抽樣的結(jié)果幾乎是相同的.因此有, 當N很大的時候, 超幾何分布可用二項分布來近似.或者換句話說, 當N趨于無窮時, 超幾何分布的極限是二項分布.15為證明這一點, 首先給出一個近似公

4、式16因此, 如果x服從超幾何分布, 則當抽樣數(shù)n保持不變且遠小于樣本數(shù)N即也小于N1和N2時這正是二項分布的概率函數(shù)表達式當N趨于無窮時, 上面的約等于就成為等于17例3 一大批種子的發(fā)芽率為90%, 今從中任取10粒, 求播種后, (1) 恰有8粒發(fā)芽的概率; (2) 不少于8粒發(fā)芽的概率.解 設10粒種子中發(fā)芽的數(shù)目為x. 因10粒種子是由一大批種子中抽取的, 這是一個N很大, n相對于N很小的情況下的超幾何分布問題, 可用二項分布近似計算.其中n=10, p=90%, q=10%, k=818普哇松(Poisson)分布在編寫電子游戲程序時, 有時需要某個目標隨機出現(xiàn), 比如說, 在駕

5、駛游戲中希望平均十秒鐘對面出現(xiàn)一輛迎面開來的車.因此而每秒種做一次發(fā)生概率為p=1/10的貝努利試驗概型的試驗, 則十秒鐘就做了n=10次, 平均發(fā)生次數(shù)為np=1.而更精確的做法是每十分之一秒做一次p=1/100的試驗, 則十秒鐘n=100, 平均發(fā)生次數(shù)也是np=1.還可以將n增加p再減少來保持均值np不變.19圖示時間t110110時間t每秒做一次發(fā)生概率為1/10的試驗每1/10秒做一次發(fā)生概率為1/100的試驗20因此就想到, 固定二項分布的均值np不變, 即令l=np的條件下, 讓n很大, p很小, 甚至讓n趨于窮大, p趨于無窮小, 會變成什么分布21定義 4.3 如果隨機變量x

6、的概率函數(shù)是22普哇松分布常見于所謂稠密性的問題中, 如一段時間內(nèi), 電話用戶對電話臺的呼喚次數(shù), 候車的旅客數(shù), 原子放射粒子數(shù), 織機上斷頭的次數(shù), 以及零件鑄造表面上一定大小的面積內(nèi)砂眼的個數(shù)等等.23普哇松分布的數(shù)學期望24普哇松分布的方差25通常在n比較大, p很小時, 用普哇松分布近似代替二項分布的公式, 其中l(wèi)=np. 普哇松分布的方便之處在于有現(xiàn)成的分布表可查(見附表1)26例1 x服從普哇松分布, Ex=5, 查表求P(x=2), P(x=5), P(x=20)解 因普哇松分布的參數(shù)l就是它的期望值, 故l=5, 查書后附表一, 有P5(2)=0.084224, P5(5)=

7、0.175467,P5(20)=027例2 一大批產(chǎn)品的廢品率為p=0.015, 求任取一箱(有100個產(chǎn)品), 箱中恰有一個廢品的概率.解 所取一箱中的廢品個數(shù)x服從超幾何分布, 由于產(chǎn)品數(shù)量N很大, 可按二項分布公式計算, 其中n=100, p=0.015.但由于n較大而p很小, 可用普哇松分布公式近似代替二項分布公式計算. 其中l(wèi)=np=1.5, 查表得:P1.5(1)=0.334695誤差不超過1%.28例3 檢查了100個零件上的疵點數(shù), 結(jié)果如下表:疵點數(shù)0123456頻用普哇松分布公式計算疵點數(shù)的分布, 并與實際檢查結(jié)果比較.解29計算出來的圖表如下所示:疵點數(shù)0123456頻率0.140.270.260.200.070.030.03概率0.1350.2710.2710.180.090.0360.0130指數(shù)分布定義 如隨機變量x的概率密度為xj(x)31指數(shù)分布的分布函數(shù)32對任何實數(shù)a,b(0a0)時間失效的分布函數(shù)為F(t)=1-e-lt而產(chǎn)品的可靠度為R(t)=1-F(t)=e-lt34例1 某元件壽命x服從參數(shù)為l(l-1=1000小時)的指數(shù)分布, 3個這樣的元件使用1000小時后, 都沒有損壞的概率是多少?解 參數(shù)為l的指數(shù)分布的分布