時域數學模型

1、2-2 復數域數學模型2-1 時域數學模型概述2-3 結構圖與信號流圖2-4 數學模型的實驗測定法第二章 控制系統的數學模型概述1、數學模型的定義3、建立數學模型的方法2、建立數學模型的意義4、建立數學模型的工具1、系統數學模型的定義 描述系統內部物理量(或變量)之間關系的數學表達式稱為數學模型。物理模型 任何元件或系統實際上都是很復雜的，難以對它作出精確、全面的描述，必須進行簡化或理想化。簡化后的元件或系統為該元件或系統的物理模型。簡化是有條件的，要根據問題的性質和求解的精確要求，來確定出合理的物理模型。電子放大器 看成 理想的線性放大環(huán)節(jié)。通訊衛(wèi)星 看成 質點 。2、數學模型的意義 對系統

2、行為進行控制的基礎 研究系統運行規(guī)律的基礎 定量研究的基礎 對系統未來進行預測的基礎3、建立數學模型的方法 解析法 根據具體系統服從的規(guī)律，運用適當的數學工具列出各變量間的關系。 實驗法 在系統內部關系復雜時，為達到某種目的，可以通過實驗手段，測量該系統的輸入輸出，然后運用系統辨識的手段，構建出一個近似的數學模型。實驗法: 基于系統辨識的建模方法已知知識和辨識目的實驗設計-選擇實驗條件模型階次-適合于應用的適當階次參數估計-最小二乘法模型驗證將實際輸出與模型的計算輸出進行比較，系統模型需保證兩個輸出之間在選定意義上的接近數學模型時域模型頻域模型方框圖和信號流圖狀態(tài)空間模型 微分方程 差分方程

3、傳遞函數4、建立數學模型的數學工具拉氏變換傳遞函數，Z變換傳遞函數 其他數學工具（如Rough Set，Petri等）2-1 時域數學模型一、線性元件的微分方程二、控制系統微分方程的建立三、線性系統的特性四、線性定常微分方程的求解（拉氏變換法）六、運動的模態(tài)（振型）Mode五、非線性微分方程的線性化LRCUr(t)U0(t)根據基爾霍夫電壓定律合并，整理例2-1 RLC 無源網絡的微分方程一、線性元件的微分方程例2-2 求彈簧-阻尼-質量的機械位移系統的微分方程。輸入量為外力F，輸出量為位移x。解：圖1和圖2分別為系統原理結構圖和質量塊受力分析圖。圖中，m為質量，f為粘性阻尼系數，k為彈性系數

4、。mfF圖1Fm圖2根據牛頓定理，可列出質量塊的力平衡方程如下：這也是一個兩階定常微分方程。X為輸出量，F為輸入量。在國際單位制中，m,f和k的單位分別為：例2-3電樞控制式直流電動機電能轉換為機械能，也就是由輸入的電樞電壓Ua(t)在電樞回路中產生電樞電流ia(t)，再由電流ia(t)與激磁磁通相互作用產生電磁轉距Mm(t)，從而拖動負載運動。因此，直流電動機的運動方程可由以下三部分組成。 電樞回路電壓平衡方程電磁轉距方程電動機軸上的轉距平衡方程 電樞回路方程其中Ea 為反電勢，Ce稱為電動機電勢常數 Cm稱為電動機轉矩常數電磁轉距方程電動機軸上的轉距平衡方程 Jm轉動慣量（電動機和負載折合

5、到電動機軸上的） kgmfm 電動機和負載折合到電動機軸上的粘性摩擦系數（Nm/rad/s）Mc折合到電動機軸上的總負載轉矩 整理得： 在工程應用中，由于電樞電路電感La較小，通常忽略不計，因而上式可簡化為電動機機電時間常數（s） 如果電樞電阻Ra和電動機的轉動慣量Jm都很小而忽略不計時，還可進一步簡化為系統最基本的數學模型是它的微分方程式。建立微分方程的步驟如下：確定系統的輸入量和輸出量將系統劃分為若干環(huán)節(jié)，從輸入端開始，按信號傳遞的順序，依據各變量所遵循的物理學定律，列出各環(huán)節(jié)的線性化原始方程。消去中間變量，寫出僅包含輸入、輸出變量的微分方程式。需要討論的問題：相似系統和相似量：我們注意到

6、例2-1和例2-2的微分方程形式是完全 一樣的。這是因為：若令 (電荷)，則例2-1的結果變?yōu)椋嚎梢姡晃锢硐到y有不同形式的數學模型，而不同類型的系統也可以有相同形式的數學模型。定義具有相同的數學模型的不同物理系統稱為相似系統。例2-1和例2-2稱為力-電荷相似系統，在此系統中分別與 為相似量。作用利用相似系統的概念可以用一個易于實現的系統來模擬相對復雜的系統，實現仿真研究。二、線性系統的特性1、線性系統的性質可疊加性均勻性（或奇次性）若則 在經典控制領域，主要研究的是線性定常控制系統。如果描述系統的數學模型是線性常系數的微分方程，則稱該系統為線性定常系統，其最重要的特性便是可以應用線性疊加

7、原理，即系統的總輸出可以由若干個輸入引起的輸出疊加得到。2、線性系統性質的應用 多個外作用產生的響應可通過逐個外作用響應的 疊加。 零輸入和零初始條件響應合成得到非零響應。 系統對輸入和干擾分別研究。 只有線性時不變微分方程才能運用Laplace變換為 代數方程。三、非線性微分方程的線性化 在實際工程中，幾乎所有的器件、系統都是非線性的，完全線性的幾乎沒有。 （1）許多情況下，在一定工作范圍，一定精度范圍下，可以近似看作是線性。 （2）嚴重非線性情況下，在工作點附近，可以局部的線性化。19在該點附近用泰勒級數展開局部線性化切線法（小偏差法）連續(xù)變化的非線性函數：增量較小時略去其高次冪項，則有2

8、0寫出增量線性化微分方程 略去增量符號，便得到函數 在工作點A附近的線性化方程：顯然，上式是線性方程，是非線性方程的線性表示。為了保證近似的精度，只能在工作點附近展開。 對于具有兩個自變量的非線性方程，也可以在靜態(tài)工作點附近展開。設雙變量非線性方程為： ，工作點為 。則可近似為： 式中： ， 。 為與工作點有關的常數。注意：上述非線性環(huán)節(jié)不是指典型的非線性特性(如間隙、庫侖干摩擦、飽和特性等)，它是可以用泰勒級數展開的。實際的工作情況在工作點附近。變量的變化必須是小范圍的。其近似程度與工作點附近的非線性情況及變量變化范圍有關。22(例2-7)23續(xù)（例2-7）10y12上線性化。求用線性化方程

9、來計算當x=5，y=10時z值所產生的誤差。解：由于研究的區(qū)域為5x7、10y12，故選擇工作點x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=611=66.求在點x0=6，y0=11，z0=66附近非線性方程的線性化表達式。將非線性方程在點x0,y0,z0處展開成泰勒級數，并忽略其高階項，則有因此，線性化方程式為： z-66=11(x-6)+6(y-11)z=11x+6y-66當x=5,y=10時，z的精確值為z=xy=510=50由線性化方程求得的z值為z=11x+6y=55+60-66=49因此，誤差為50-49=1，表示成百分數 例2-5試把非線性方程 z=xy 在區(qū)域5x7 、【歸納】非線

10、性微分方程線性化的步驟（1）寫出動態(tài)微分方程；（2）在平衡點處，對非線性項采用Taylor展開，并取一階近似 （即線性近似）；（3）把一階近似式帶入原微分方程；（4）利用平衡方程，獲得增量微分方程；（5）為記述方便，省去增量符號，獲得所謂的在增量情況下的 線性化微分方程。線性化微分方程的運用條件（1）在獲得方程的平衡點附近。如平衡點改變，則增量方程也 改變。（2) 輸入、輸出一定在增量數量級.四、線性定常微分方程的求解（拉氏變換法）微分方程的解法 直接解析法（分離變量法） 適用于少量簡單的情況 Laplace變換解析法 僅適用于線性時不變情況 狀態(tài)轉移矩陣法 僅適用于線性時不變情況 數值法 適

11、用于所有情況本節(jié)討論用Laplace變換法解線性時不變微分方程 例2-6 已知L=1H,C=1F,R=1歐姆，且電容上的初始電壓U0(0)=0.1V，初始電流i(0)=0.1A，電源電壓ur(t)=1V。求電路突然接通電源時，電容電壓u0(t)的變化規(guī)律。LRCUr(t)U0(t)解：【RLC無源網絡微分方程】為：令據Laplace變換的微分性質待入整理得：其中：由輸入電壓產生的輸出分量與初始條件無關零初始條件響應零輸入響應由初始條件產生的輸出分量與輸入電壓無關零初始條件響應零輸入響應單位階躍響應【Laplace法解線性定常微分方程歸納】（2）由代數方程求出輸出量的拉氏變換表達式，使之成為典型分式之和；（3）反Laplace變換得到輸出量的時域表達式。（1）考慮初始條件，對微分方程中的每一項分別進行拉氏變換，將微分方程轉換為變量