函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是怎么算出來(lái)的

1、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是怎么算出來(lái)的第1頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期一圖一 微分的幾何意義第2頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期一所以 而PQ為曲線 若曲線的弧長(zhǎng)為 在M點(diǎn)處的切線MT上的縱坐標(biāo)的增量。當(dāng)自變量很小時(shí)，就可以用切線段上的增量來(lái)近似代替曲線段上的增量。 則有 上式稱為弧的微分公式，由圖可知：第3頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期一 當(dāng)曲線上的N點(diǎn)無(wú)限地（想象力比知識(shí)重要?。┙咏麺點(diǎn)時(shí)，即 時(shí)，曲線的弧長(zhǎng)為 轉(zhuǎn)化為直線（切線MP）。此時(shí)， 根據(jù)導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)與積分的關(guān)系，由基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和積分公式，可以直接推出其

2、微分和積分公式。(增量等于微分) 第4頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)我們是這樣定義的：設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)x0處及其近旁有定義，當(dāng)自變量 x在x0處有增量 時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)y有增量。 如果 的極限存在，這個(gè)極限稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)（或稱為變化率），記為： 如果 極限不存在，就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。第5頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期一 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù) y=f(x) 的導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟： 2.算比值： 1.求增量： 3.取極限： 例1 求函數(shù) ( c 是常數(shù))的導(dǎo)數(shù)。解：（1）求增量：（2） 算比值： （3）取極

3、限：這就是說(shuō)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零求導(dǎo)舉例： 二、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)怎樣計(jì)算呢？第6頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期一例2 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)解: (1)求增量: (2)算比值: (3)取極限: 同理可得:第7頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期一 例2 求正弦函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 解： 因?yàn)?所以即 (sinx)=cosx同理可得：(cosx)=-sinx采用類似的方法可以求得其他函數(shù)的導(dǎo)數(shù).如下表第8頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期一導(dǎo) 數(shù) 公 式 微 分 公 式 積 分 公 式 第9頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期一第10頁(yè)，共

4、21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期一（一）、定積分問(wèn)題舉例1、求曲邊梯形的面積 xy=f(x) 定積分是怎么計(jì)算出來(lái)的第11頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期一思想方法在區(qū)間a,b中任取若干分點(diǎn)：把曲邊梯形的底a,b分成n個(gè)小區(qū)間 ： 過(guò)各分點(diǎn)作垂直于x軸的直線段，把整個(gè)曲邊梯形分 成n個(gè)小曲邊梯形，其中第i個(gè)小曲邊梯形的面積記為xy0y=f(x)（1）分割：將曲邊梯形分成許多細(xì)長(zhǎng)條第12頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期一（2）取近似：將這些細(xì)長(zhǎng)條近似地看作一個(gè)個(gè)小矩形xy0y=f(x)f()第13頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9

5、點(diǎn)37分，星期一（3）求和：小矩形的面積之和是曲邊梯形面積的一 個(gè)近似值。把n個(gè)小矩形的面積相加得和式它就是曲邊梯形面積A的近似值，即xy0y=f(x)f()第14頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期一（4）取極限：當(dāng)分割無(wú)限時(shí)，所有小矩形的面積之 和的極限 就是曲邊梯形面積A的精確值。分割越細(xì)， 就越接近于曲邊梯形的面積A，當(dāng)可見(jiàn)，曲邊梯形的面積是一和式的極限xy0y=f(x)f()小區(qū)間長(zhǎng)度最大值趨近于零，即 0（ 表示這些小區(qū)間的長(zhǎng)度最大者）時(shí)，和式 的極限就是A，即第15頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期一取極限二、定積分的定義 定義 設(shè)函數(shù)f（x

6、）在a，b上有界，在a，b中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)：分劃任取作和式近似求和記第16頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期一存在，且極限值I不依賴于 的選取，也不依賴于a，b的分法，則稱I為f(x)在a，b上的定積分(簡(jiǎn)稱積分)，記作 ,即其中：f(x)叫做被積函數(shù); f(x)dx叫做被積表達(dá)式; x叫做積分變量; a叫做積分下限，b叫做積分上限; a,b叫做積分區(qū)間。第17頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期一如果f(x)在a，b上的定積分存在，也稱f(x)在a，b上可積。否則，稱f(x)在a，b上不可積。 注：定積分的值只與被積函數(shù)以及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無(wú)關(guān)。即第18頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期一設(shè) 在區(qū)間 上連續(xù)， 是它的任意一個(gè)原函數(shù)，則有 牛頓萊布尼茲公式記作 （三）、定積分的計(jì)算第19頁(yè)，共21頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)37分，星期一例