高中數(shù)學(xué)必修二（人教A版2019）課后習(xí)題答案解析

6.1平面向量的概念6.1.2向量的幾何表示例1在圖6.1-4中，分別用向量表示A地至B，C兩地的位移，并根據(jù)圖中的比例尺，求出A地至B，C兩地的實際距離（精確到1km）.解：表示A地至B地的位移，且__________________；表示A地至C地的位移，且__________________.6.1.3相等向量與共線向量例2如圖6.1-8，設(shè)O是正六邊形的中心.（1）寫出圖中的共線向量；（2）分別寫出圖中與，，相等的向量.解：（1），，，是共線向量；，，，是共線向量；，，，是共線向量.（2）；；.練習(xí)1.下列量中哪些是向量？懸掛物受到的拉力，壓強，摩擦力，頻率，加速度.2.畫兩條有向線段，分別表示一個豎直向下、大小為18N的力和一個水平向左、大小為28N的力.（用1cm長表示10N）3.指出圖中各向量的長度.（規(guī)定小方格的邊長為0.5）4.將向量用具有同一起點O的有向線段表示.（1）當(dāng)與是相等向量時，判斷終點M與N的位置關(guān)系；（2）當(dāng)與是平行向量，且時，求向量的長度，并判斷的方向與的方向之間的關(guān)系.習(xí)題6.1復(fù)習(xí)鞏固1.在如圖所示的坐標(biāo)紙（規(guī)定小方格的邊長為1）中，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：（1）,點A在點O正南方向；（2）,點B在點O北偏西方向；（3）,點C在點O南偏西方向.【答案】（1）作圖見解析（2）作圖見解析（3）作圖見解析【解析】【分析】（1）按照題意要求畫圖即可；（2）按照題意要求畫圖即可；（3）按照題意要求畫圖即可；【詳解】解：如圖.【點睛】本題考查了作圖能力，考查了方位角的定義，屬于基礎(chǔ)題.2.如圖，點O是的對角線的交點，且，分別寫出和折線MPQRST中與相等的向量.【答案】與相等的向量有：；與相等的向量有：；與相等的向量有：.【解析】【分析】根據(jù)相等向量的定義直接求解即可.【詳解】解：與相等的向量有：；與相等的向量有：；與相等的向量有：.【點睛】本題考查了相等向量的定義，屬于基礎(chǔ)題.綜合運用3.判斷下列結(jié)論是否正確（正確的在括號內(nèi)寫正確，錯誤的寫錯誤），并說明理由.3.若與都是單位向量，則.（）【答案】錯誤【解析】【分析】根據(jù)向量相等的概念即可得到答案.【詳解】向量相等指的是向量的方向相同，模長相等，與都是單位向量，則兩個向量的模長相等，但是方向不一定相同.故錯誤.故答案為：錯誤.4.方向為南偏西的向量與北偏東的向量是共線向量.（）【答案】√【解析】【分析】作圖分析幾何關(guān)系即可判斷﹒【詳解】如圖所示，分別在O點的南偏西和北偏東作向量與，根據(jù)幾何關(guān)系，O、A、B三點共線，所以與共線，所以說法正確﹒故答案為：√5.直角坐標(biāo)平面上的x軸、y軸都是向量.（）【答案】錯誤【解析】【分析】根據(jù)向量的定義即可得到答案.【詳解】直角坐標(biāo)平面上的x軸、y軸不是向量，因為只有方向沒有大小，也沒有起點.故答案為：錯誤.6.若與是平行向量，則.（）【答案】錯誤【解析】【分析】根據(jù)向量共線的知識確定正確答案.【詳解】與是平行向量，但的模不一定相等，所以不成立，所以判斷錯誤.故答案為：錯誤7.若用有向線段表示的向量與不相等，則點M與N不重合.（）【答案】√【解析】【分析】兩個向量相等，大小相等，方向相同﹒【詳解】兩個向量相等，則大小相等，方向相同，表示這兩個向量的有向線段起點相同，則終點也必然相同﹒由此可判斷“若用有向線段表示的向量與不相等，則點M與N不重合”為正確表述﹒故答案為：√8.海拔、溫度、角度都不是向量.（）【答案】正確【解析】【分析】根據(jù)向量的定義得到答案即可.【詳解】這三個量只有大小沒有方向，是標(biāo)量，不是向量.故答案為：正確.拓廣探索9.如圖，在矩形ABCD中，，M，N分別為邊AB，CD的中點，在以A，B，C，D，M，N為起點和終點的所有有向線段表示的向量中，相等的向量共有多少對？【答案】24對【解析】【分析】根據(jù)相等向量定義，分類討論進行求解即可.【詳解】解：相等的非零向量共有24對.易知，則模為1的相等向量有18對，其中與同向的共有6對；與反向的也有6對；與同向的共有3對；與反向的也有3對.模為2的相等向量共有2對.模為的相等向量有4對.【點睛】本題考查了相等向量的定義，考查了分類討論思想，屬于中檔題.變式練習(xí)題10.下列說法正確的是（）A.零向量沒有方向 B.向量就是有向線段C.只有零向量的模長等于0 D.單位向量都相等【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)依次判斷每個選項得到答案.【詳解】零向量的方向是任意的，故A選項錯誤；有向線段只是向量的一種表示形式，兩者不等同，故B選項錯誤；只有零向量的模長等于0，故C選項正確；單位向量模長相等，單位向量若方向不同，則不是相等向量，故D選項錯誤.故選：.【點睛】本題考查了向量的定義和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對于向量基本知識的掌握.11.1.如圖，已知點O是正六邊形ABCDEF的中心．（1）在圖中標(biāo)出的向量中，與向量長度相等的向量有多少個？（2）是否存在的相反向量？【答案】（1）11個（2）存在【解析】【分析】（1）正六邊形由對角線分割為六個全等的等邊三角形，進而求出向量長度相等的向量；（2）相反向量即模長相等，方向相反的兩個向量【小問1詳解】與向量長度相等的向量有：，，，，，，，，，，，共11個【小問2詳解】存在，是的相反向量12.如圖，點D，E，F(xiàn)分別是△ABC的三邊BC，AB，AC上的點，且都不與A，B，C重合，＝.求證：△BDE∽△DCF.【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)＝，可得且，從而可得DE∥AF，即可證得∠C＝∠BDE，∠FDC＝∠B，即可得證.【詳解】證明：因為＝，所以且，故四邊形AEDF是平行四邊形，所以DE∥AF，則∠C＝∠BDE，由DF∥EA，得∠FDC＝∠B，故△BDE∽△DCF.13.如圖，已知以O(shè)為圓心、1為半徑的圓上有8個等分點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，以圖中標(biāo)出的9個點為起點和終點作向量，（1）與的夾角是多少？（2）與垂直的向量有哪些？【答案】（1）45°（2）.【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件求出弧DE所對圓心角即可得解.(2)根據(jù)給定條件可得OD⊥BF，再探求圖中與BF平行的線段即可得解.【小問1詳解】因以O(shè)為圓心、1為半徑的圓上的8個等分點分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，則弧DE所對圓心角是45°，即有∠DOE=45°，所以與的夾角為45°.【小問2詳解】因以O(shè)為圓心、1為半徑的圓上的8個等分點分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，顯然，BF是圓O的直徑，，，如圖：所以與垂直的向量有：.14.下列說法正確的是（）A.向量與共線，與共線，則與也共線B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一個平行四邊形的四個頂點C.向量與不共線，則與都是非零向量D.有相同起點的兩個非零向量不平行【答案】C【解析】【分析】根據(jù)共線向量（即平行向量）的定義即可求解.【詳解】解：對于A：可能是零向量，故選項A錯誤；對于B：兩個向量可能在同一條直線上，故選項B錯誤；對于C：因為與任何向量都是共線向量，所以選項C正確；對于D：平行向量可能在同一條直線上，故選項D錯誤．故選：C6.2平面向量的運算習(xí)題6.2復(fù)習(xí)鞏固1.如果表示“向東走”，表示“向西走”，表示“向北走”，表示“向南走”，那么下列向量具有什么意義？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】（1）向東走；（2）向東走；（3）向東北走；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向東南走.【解析】【分析】由向量加法及其幾何意義和位移的關(guān)系可得.【詳解】由題意知：表示“向東走”，表示“向西走”，表示“向北走”，表示“向南走”（1）表示“向東走”（2）表示“向東走”（3）表示“向東北走”（4）表示“向西南走”（5）表示“向西北走”（6）表示“向東南走”【點睛】本題考查向量加法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.2.一架飛機向北飛行，然后改變方向向西飛行，求飛機飛行的路程及兩次位移的合成.【答案】飛機飛行的路程為；兩次位移的合成是向北偏西約53°方向飛行.【解析】【分析】由向量的加減運算，即可得出結(jié)論.【詳解】由向量的加減運算可知：飛機飛行的路程是；兩次位移的合成是向北偏西約53°，方向飛行.【點睛】本題考查向量的加法及其幾何意義，考查學(xué)生的計算能力，區(qū)分路程、位移是關(guān)鍵.3.一艘船垂直于對岸航行，航行速度的大小為，同時河水流速的大小為求船實際航行的速度的大小與方向（精確到l°）.【答案】，方向與水流方向成76°角【解析】【分析】利用向量的加法運算，模的運算，勾股定理，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)船的航行速度為，水流速度為，船的實際航行速度為v，v與的夾角為，則由，得.船實際航行的速度的大小為，方向與水流方向成76°角.【點睛】本題以實際問題為載體，考查向量的加法運算，考查三角函數(shù)知識，屬于基礎(chǔ)題.4.化簡：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.【答案】（1）.（2）（3）.（4）（5）（6）.（7）【解析】【分析】根據(jù)平面向量的加法與減法的運算法則，對每一個小題進行化簡計算即可.【詳解】解：（1）原式.（2）原式（3）原式.（4）原式（5）原式（6）原式.（7）原式【點睛】本題考查了平面向量的加法與減法的運算問題，屬于基礎(chǔ)題.5.作圖驗證：（1）（2）【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】根據(jù)向量的平行四邊形法則，畫圖驗證即可.【詳解】解：如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)，則.（1）因為，所以（2）因為，所以【點睛】本題考查向量的平行四邊形法則，屬于基礎(chǔ)題.6.（1）已知向量,,求作向量，使.（2）（1）中表示,,的有向線段能構(gòu)成三角形嗎？【答案】（1）見解析.（2）當(dāng)，共線時，不能構(gòu)成三角形，當(dāng)，不共線時能構(gòu)成三角形.【解析】【分析】作平行四邊形，使得，，可得，由于，可得，或作，使得，，，即可得出.【詳解】（1）方法一：如圖所示，當(dāng)向量,兩個不共線時，作平行四邊形，使得，，則，又，所以，即，方法二：利用向量的三角形法則，如下圖：作，使得，，，則，即，當(dāng)向量,兩個共線時，如下圖：使得，，則，，所以，，即.（2）向量,兩個不共線時，表示,,的有向線段能構(gòu)成三角形，向量,兩個共線時，,,的有向線段不能構(gòu)成三角形.【點睛】本題考查了向量的三角形法則，平行四邊形法則、分類討論方法，考查了作圖能力，屬于基礎(chǔ)題.7.已知，為兩個非零向量，（1）求作向量；（2）當(dāng)向量，成什么位置關(guān)系時，滿足？（不要求證明）【答案】（1）見解析.（2）【解析】【分析】根據(jù)向量的三角形法則，作出圖象即可.【詳解】（1）當(dāng)向量,兩個不共線時，作，使得，，，，所以，當(dāng)向量,兩個同向且共線時，作，，，所以，當(dāng)向量,兩個反向且共線時，作，，，所以，，（2）當(dāng)時，滿足，如圖，作矩形，作，，所以，，.【點睛】本題考查了平面向量的知識，考查了學(xué)生的動手能力，解題的關(guān)鍵是掌握三角形法則的應(yīng)用，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8.化簡：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運算法則，對每一個小題進行計算即可．【詳解】（1）.（2）.（3）.（4）.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．9..求證.【答案】見解析【解析】【分析】直接由已知結(jié)合向量減法的三角形法則可得.【詳解】證明：因為，而，所以.【點睛】本題考查共線向量基本定理，考查了向量減法的三角形法則，屬于基礎(chǔ)題.10.填空：（1）若,滿足,則的最大值為____________，最小值為____________；（2）當(dāng)非零向量,滿足_____________時，平分與的夾角.【答案】①.5②.1③.【解析】【分析】利用即可得到結(jié)論.【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)，同向時取等號，又，當(dāng)且僅當(dāng)，反向時取等號，.（2）當(dāng)時，為以,為鄰邊的平行四邊形的對角線，此時的平行四邊形為菱形，對角線恰好平分與的夾角.答案：（1）5，1;（2）【點睛】本題考查向量的數(shù)量積的運算及計算公式，屬于基礎(chǔ)題.11.（1）已知,且與的夾角，求；（2）已知,且,求.【答案】（1）；；（2）；【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積公式和向量的模即可求出；（2）根據(jù)向量的數(shù)量積公式和向量的模即可求出.【詳解】解：（1）；（2）【點睛】本題考查了向量的模和向量的數(shù)量積，考查了運算能力，屬于基礎(chǔ)題.12.求證：.【答案】見解析【解析】【分析】分，，討論即可得到結(jié)論.【詳解】證明：（1）設(shè)，的夾角為，當(dāng)時，.成立.（2）當(dāng)時，與同向，與同向，與的夾角為，與的夾角為.，，成立.（3）當(dāng)時，與反向，與反向，與的夾角為，與的夾角為.,,,成立.綜上可知，原等式成立.【點睛】本題考查向量的數(shù)乘運算及運算律，屬于基礎(chǔ)題.綜合運用13.根據(jù)下列各小題中的條件，分別判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明：（1）；（2）；（3），且.【答案】（1）平行四邊形.見解析（2）梯形，見解析（3）菱形，見解析【解析】【分析】（1）由，可得，，即可判斷出四邊形的形狀；（2）由，可得，，即可判斷出四邊形的形狀；（3）由，且，可得四邊形是有一組鄰邊相等的平行四邊形，即可判斷出四邊形的形狀.【詳解】解：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，證明如下：且.且，∴四邊形ABCD是平行四邊形.（2）四邊形ABCD是梯形，證明如下：.又，，即，∴四邊形ABCD是梯形.（3）四邊形ABCD是菱形，證明如下：且.且，∴四邊形ABCD是平行四邊形.又，∴四邊形ABCD是菱形.【點睛】本題考查了向量相等的意義、特殊四邊形的判定，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題.14.在中，，且與邊AC相交于點E，的中線AM與DE相交于點N.設(shè)，用，分別表示向量.【答案】，.【解析】【分析】直接利用向量共線即可得到結(jié)論.【詳解】如圖，.【點睛】本題考查向量共線的表示，屬于基礎(chǔ)題.15.如圖，在任意四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點．求證：+=2．【答案】證明詳見解析．【解析】【詳解】根據(jù)平面向量的加法意義，得，，又∵E，F(xiàn)分別為AD，BC中點，∴0，0；∴2=（++）+（++）=（+）+（+）+（+）=+，即．16.飛機從甲地沿北偏西15°的方向飛行1400km到達乙地，再從乙地沿南偏東75°的方向飛行1400km到達丙地，畫出飛機飛行的位移示意圖，并說明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多遠？【答案】圖見解析，北偏東45°方向，距甲地1400km.【解析】【分析】作出方位示意圖，構(gòu)造等腰三角形，解這個三角形即可得出答案【詳解】如圖，丙地在甲地的北偏東45°方向，距甲地1400km.設(shè)甲地為，乙地為，丙地為，作出示意圖，則，，，，是等邊三角形，，，，即丙地在甲地北偏東，丙地距甲地.【點睛】本題考查了解三角形的實際應(yīng)用，畫出草圖是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.17.（1）如圖（1），在中，計算；（2）如圖（2），在四邊形ABCD中，計算；（3）如圖（3），在n邊形中，證明你的結(jié)論.【答案】（1）（2）（3），見解析【解析】【分析】根據(jù)向量的加法法則直接對各式計算即可.【詳解】解：（1）（2）.（3）.證明如下：【點睛】本題考查向量加法的運算法則，屬于基礎(chǔ)題.18.已知，求與的夾角.【答案】【解析】【分析】根據(jù)可求出，再根據(jù)求夾角，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，即，所以，因此，所以與的夾角為.【點睛】本題主要考查求向量的夾角，熟記向量的夾角公式，以及向量數(shù)量積的運算法則即可，屬于?？碱}型.19.已知.且.求與的夾角（精確到1°）.（可用計算工具）【答案】【解析】【分析】先利用模的運算得，再利用向量夾角公式即可得到結(jié)論.【詳解】，用計算器算得.【點睛】本題考查了向量的模，向量夾角公式，屬于基礎(chǔ)題.20.已知是非零向量，，求證：【答案】見解析【解析】【分析】從向量數(shù)量積相等入手，移項變形，得到數(shù)量積為0即可.【詳解】證法1：證法2：設(shè).先證.由得.即而，所以再證由得.即，因此.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積為0的運算，屬于基礎(chǔ)題.拓廣探索21.已知的外接圓圓心為O,且,則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的運算法則將已知等式化簡得到，進而得到為正三角形，從而得到結(jié)論.【詳解】如圖，由知O為BC的中點，又∵O為的外接圓圓心，又為正三角形，，在上的投影向量為.故選：A.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的含義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量的運算法則，本題是基本知識與技能考查題，主要考查了向量運算能力，屬于基礎(chǔ)題.22.如圖，O是平行四邊形ABCD外一點，用表示.【答案】【解析】【分析】由，，，即可得到結(jié)論.【詳解】.【點睛】本題考查向量加法，向量減法，屬于基礎(chǔ)題.23.已知O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點，且向量滿足等式.（1）作出滿足條件的四邊形ABCD.（2）四邊形ABCD有什么特點？請證明你的猜想.【答案】（1）見解析（2）平行四邊形.見解析【解析】【分析】（1）直接作圖即可；（2）結(jié)論：四邊形ABCD為平行四邊形；將表達式變形，利用向量減法運算法則即可得到結(jié)論.【詳解】（1）作圖，通過作圖可以發(fā)現(xiàn)四邊形ABCD為平行四邊形.（2）四邊形ABCD為平行四邊形，證明如下：因為，所以，因為.所以，即，因此四邊形ABCD為平行四邊形.【點睛】本題考查向量減法的運算法則，對表達式的靈活變形是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.24.如圖，在中，是不是只需知道的半徑或弦AB的長度，就可以求出的值？【答案】只與弦AB的長度有關(guān)，與半徑無關(guān)【解析】【分析】由題意，設(shè)的半徑為r，AB的長度為2a，取AB的中點D，連接CD，根據(jù)向量的數(shù)量積公式即可求出.【詳解】只與弦AB的長度有關(guān)，與半徑無關(guān).理由如下：設(shè)的半徑為r，AB的長度為2a，取AB的中點D，連接CD，則.在中，，.【點睛】本題主要考查了向量的運算，以及三角函數(shù)中，角與邊的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.6.2.1向量的加法運算例1如圖6.2-5，已知向量，，求作向量．作法1：在平面內(nèi)任取一點O（圖6.2-6（1）），作，.則．作法2：在平面內(nèi)任取一點O（圖6.2-6（2）），作，.以，鄰邊作，連接，則．例2長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸.如圖6.2-8，一艘船從長江南岸A地出發(fā)，垂直于對岸航行，航行速度的大小為，同時江水的速度為向東.（1）用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；（2）求船實際航行的速度的大?。ńY(jié)果保留小數(shù)點后一位）與方向（用與江水速度間的夾角表示，精確到1°）解：（1）如圖6.2-9.表示船速，表示江水速度，以，為鄰邊作，則表示船實際航行的速度.（2）在中，，，于是.因為，所以利用計算工具可得.因此，船實際航行速度大小約為，方向與江水速度間的夾角約為68°.練習(xí)1.如圖，在下列各小題中，已知向量、，分別用兩種方法求作向量．【答案】見解析【解析】【分析】將的起點移到的終點或?qū)蓚€向量的起點移到點，利用三角形法則或平行四邊形法則作出.【詳解】將的起點移到的終點，再首尾相接，可得；將兩個向量的起點移到點，利用平行四邊形法則，以、為鄰邊，作出平行四邊形，則過點的對角線為向量.如圖所示，．（1）；（2）；（3）；（4）.【點睛】本題考查平面向量加法的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.2.當(dāng)向量滿足什么條件時，（或）？【答案】反向【解析】【分析】當(dāng)反向時，對與的大小進行討論.【詳解】當(dāng)反向且時，；當(dāng)反向且時，，所以，當(dāng)反向時，（或）．【點睛】本題考查向量共線時的方向、模的大小關(guān)系，求解時注意三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，若要取等號則需共線.3.根據(jù)圖示填空：（1）_______；（2）_______；（3）_______；（4）________．【答案】①.②.③.④.【解析】【分析】在圖形中尋找三角形回路，兩個向量相加第二個向量的起點移到第一個向量的終點，再首尾相接.【詳解】因為兩個向量相加第二個向量的起點移到第一個向量的終點，再首尾相接，所以；；；．故答案為：；；；.【點睛】本題考查平面向量加法的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想，求解時注意三角形法則的運用.4.如圖，四邊形是平行四邊形，點P在上，判斷下列各式是否正確（正確的在括號內(nèi)打“√"，錯誤的打“×”）（1）．（）（2）．（）（3）．（）【答案】①.×②.√③.×【解析】【分析】（1）由圖形得；（2）、（3）利用向量加法幾何意義；【詳解】對（1），因為，故（1）錯誤；對（2），利用向量加法三角形首尾相接知，（2）正確；對（3），，故（3）錯誤.故答案為：(1)×；(2)√；(3)×【點睛】本題考查平面向量加法的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想，求解時注意三角形法則的運用.5.有一條東西向的小河，一艘小船從河南岸的渡口出發(fā)渡河．小船航行速度的大小為，方向為北偏西30°，河水的速度為向東，求小船實際航行速度的大小與方向．【答案】小船實際航行速度的大小為，方向為正北方向．【解析】【分析】作圖，設(shè)為河水速度，為小船航行速度，由小船航行速度為河水的速度的2倍，可得，求出可得到小船的實際速度.【詳解】如圖，為河水速度，為小船航行速度，設(shè)為小船實際航行速度．設(shè)E為渡口A在對岸對應(yīng)的點，則，．在中，∵，∴．∴E與D重合，．∴小船實際航行速度的大小為，方向為正北方向．【點睛】本題考查平面向量在物理中的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意模的大小，表示速度的大小.變式練習(xí)題6.如圖，O為正六邊形ABCDEF的中心，作出下列向量：（1）；（2）（3）．【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析（3）答案見解析【解析】【分析】利用向量加法的三角形法則或平行四邊形法則進行求解﹒【小問1詳解】因為四邊形OABC是以O(shè)A，OC為鄰邊的平行四邊形，OB為其對角線，所以．【小問2詳解】因為與方向相同且長度相等，所以與是相同的向量，從而與方向相同，長度為長度的2倍，因此，可用表示，即．【小問3詳解】因為與是一對相反向量，所以．7.在某河流南岸某渡口處，河水以大小為的速度向東流，渡船在靜水中的速度大小為.渡船要垂直地渡過該河，其航向應(yīng)如何確定？【答案】渡船要垂直地渡過該河，其航向應(yīng)為北偏西.【解析】【分析】畫圖，設(shè)表示水流的速度，表示渡船在靜水中的速度，表示渡船實際垂直過河的速度.由向量加法的平行四邊形法則，可知四邊形為平行四邊形，在中，求解，即可.【詳解】如圖，設(shè)表示水流的速度，表示渡船在靜水中的速度，表示渡船實際垂直過河的速度.因為，所以四邊形為平行四邊形.在中，，，，所以，即渡船要垂直地渡過該河，其航向應(yīng)為北偏西.【點睛】本題考查向量加法的平行四邊形法則，以及向量的模，屬于中檔題.8.請用平行四邊形法則作出．【答案】答案見解析【解析】【分析】三個向量用平行四邊形法則求和，則先求和其中兩個，再用和向量與第三個向量求和﹒【詳解】解：在平面內(nèi)任取一點，作．如圖，以為鄰邊作□．再以為鄰邊作□，則．9.已知下列各式：①；②；③；④.其中結(jié)果為的是____.(填序號)【答案】①④##④①【解析】【分析】利用向量加法的運算法則化簡各項向量的線性表達式，即可確定結(jié)果是否為.【詳解】①;②;③;④.故答案為：①④.10.如圖，已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊AB，BC，CA的中點，求證：【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)向量運算得到，，，相加得到證明.【詳解】如圖，連接DE，EF，F(xiàn)D,因為D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點，所以四邊形ADEF為平行四邊形．由向量加法的平行四邊形法則，得①,同理②，③，將①②③式相加，.6.2.2向量的減法運算例3如圖6.2-12（1），已知向量，，，，求作向量，.作法：如圖6.2-12（2），在平面內(nèi)任取一點O，作，，，.則，.例4如圖6.2-13，在中，，，你能用，表示向量，嗎？解：由向量加法平行四邊形法則，我們知道同樣，由向量的減法，知.練習(xí)1.如圖，在各小題中，已知，分別求作．【答案】見解析【解析】【分析】將的起點移到同一點，再首尾相接，方向指向被減向量.【詳解】將的起點移到同一點，再首尾相接，方向指向被減向量，如圖，，(1)(2)(3)(4)【點睛】本題考查向量減法的三角形法則，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.2.填空：____；____；____；____；____．【答案】①.②.③.④.⑤.【解析】【分析】利用向量減法的三角形法則，進行向量的減法運算.【詳解】因為向量的起點相同，可直接進行向量的相減運算，所以；；；；．故答案為：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)【點睛】本題考查向量減法的運算，求解時注意向量用兩個大寫字母表示，可直接進行代數(shù)的運算，而無需再畫圖形.3.作圖驗證：．【答案】見解析【解析】【分析】將的起點移到同一點，再首尾相接，方向指向被減向量.【詳解】當(dāng)中至少有一個為時，顯然成立（圖略）；當(dāng)不共線時，作圖如圖（1），顯然；當(dāng)共線時，同理可作圖如圖（2）所示．【點睛】本題考查向量減法的三角形法則，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.變式練習(xí)題4.如圖，已知向量，不共線，求作向量．【答案】作圖見解析，【解析】【分析】利用向量的加法法則求解.【詳解】如圖，在平面內(nèi)任取一點O，作，．因為，即，所以．5.如圖，點O是的兩條對角線的交點，，，，求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】利用向量的加法法則和向量相等求解.【詳解】證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以．因為，，所以，即．6.如圖，在?ABCD中，若，（1）當(dāng)滿足什么條件時，?（2）當(dāng)滿足什么條件時，?【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，得到?ABCD為菱形求解；（2）由，得到?ABCD為矩形求解.【小問1詳解】解：如圖：，當(dāng)時，?ABCD為菱形，對角線相互垂直，所以，即；【小問2詳解】當(dāng)時，?ABCD為矩形，對角線長度相等，所以，即.7.證明：當(dāng)向量不共線時，.【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)向量不共線，在OAB中，利用三角形的邊的關(guān)系證明.【詳解】證明：因為向量不共線，如圖，在OAB中，由三角形兩邊之和大于第三邊得：，由三角形兩邊之差小于第三邊得：，所以.6.2.3向量的數(shù)乘運算例5計算：（1）；（2）；（3）．解：（1）原式；（2）原式；（3）原式．例6如圖6.2-15，的兩條對角線相交于點M，且，，用，表示，，和．解：在中，，．由平行四邊形的兩條對角線互相平分，得，，，．練習(xí)1.任畫一向量，分別求作向量，．【答案】見解析【解析】【分析】先畫出，依次畫出，即可.【詳解】如圖．【點睛】本題考查了向量的畫法，考查了相反向量的概念，屬于基礎(chǔ)題.2.點C在線段上，且，則___，___．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分析即可得解.【詳解】由點C在線段上，且，可畫出圖形，設(shè)，則，∴，∴和同向，且，∴和反向，且.【點睛】本題考查向量的意義，屬于基礎(chǔ)題.3.把下列各小題中的向量表示為實數(shù)與向量的積：（1），；（2），；（3），；（4），．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運算計算即可.【詳解】（1），；（2），；（3），；（4），．【點睛】本題考查平面向量數(shù)乘的運算法則，屬于基礎(chǔ)題.例7如圖6.2-16，已知任意兩個非零向量，，試作，，.猜想A，B，C三點之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想．分析：判斷三點之間的位置關(guān)系，主要是看這三點是否共線，為此只要看其中一點是否在另兩點所確定的直線上．在本題中，應(yīng)用向量知識判斷A，B，C三點是否共線，可以通過判斷向量，是否共線，即是否存在，使成立．解：分別作向量，，，過點A，C作直線（圖6.2-17）.觀察發(fā)現(xiàn)，不論向量，怎樣變化，點B始終直線上，猜想A，B，C三點共線．事實上，因為，，所以．因此，A，B，C三點共線．例8已知，是兩個不共線的向量，向量，共線，求實數(shù)的值．解：由，不共線，易知向量非零向量．由向量，共線，可知存在實數(shù)，使得，即．由，不共線，必有.否則，不妨設(shè)，則．由兩個向量共線的充要條件知，，共線，與已知矛盾．由，解得．因此，當(dāng)向量，共線時，．練習(xí)4.判斷下列各小題中的向量與是否共線：（1），；（2），．【答案】（1）與共線；（2）與共線．【解析】【分析】根據(jù)向量共線定理進行分析計算即可.【詳解】（1），所以與共線；（2），所以與共線．【點睛】本題考查向量共線的問題，熟練掌握向量共線定理是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5.化簡：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運算和加減法運算法則進行計算即可.【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）原式．【點睛】本題考查平面向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題.6.已知是兩個不共線的向量，，．若與是共線向量，求實數(shù)的值．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量的共線的充要條件列出等式計算即可.【詳解】由已知，∵與是共線向量，∴存在，使，即，∴，∴∴的值為．【點睛】本題考查平面向量共線定理的應(yīng)用，屬于?？碱}.變式練習(xí)題7.已知3(2－＋)＋＝2(－＋3)，求.【答案】＝－8＋9－3.【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運算，移項，直接解出即可.【詳解】因為3(2－＋)＋＝2(－＋3)，所以6－3＋3＋＝－2＋6，即＝－8＋9－3.8.如圖，平行四邊形ABCD中，點M在AB的延長線上，且BM＝AB，點N在BC上，且BN＝BC.求證：M、N、D三點共線．【答案】見解析.【解析】【分析】由題意畫出圖象，利用向量的加法和條件表示出，利用向量共線的充要條件，即可證明M、N、D三點共線．【詳解】由題意畫出圖象：因為BMAB，點N在BC上且BNBC，所以，，因為，，所以，則，所以M、N、D三點共線．【點睛】本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，向量的加法法則，以及利用向量共線的充要條件證明三點共線，屬于中檔題.9.已知，是兩個不共線的向量，向量－，－共線，求實數(shù)的值．【答案】.【解析】【分析】由向量－，－共線得存在實數(shù)λ，使得－＝λ，整理，由，不共線可得，的系數(shù)都為零，列方程組求解即可.【詳解】解由，不共線，知向量－為非零向量．由向量－，－共線，可知存在實數(shù)λ，使得－＝λ，即＝.由，不共線，必有＋＝＋1＝0.否則，不妨設(shè)＋≠0，則＝，得，共線，與已知矛盾．由，解得＝.因此，當(dāng)向量－，－共線時，＝.10.設(shè)是不共線的兩個非零向量．若與共線，求實數(shù)的值．【答案】k＝±4.【解析】【分析】由題意與共線，結(jié)合向量共線定理即可求得答案.【詳解】由不共線可知為非零向量，而與共線，所以存在唯一實數(shù)，使得，即.因為不共線，所以.11.已知向量，.求證：與是共線向量．【答案】證明見解析【解析】【分析】由平面向量共線定理即可證明問題.【詳解】由題意，，，則，由向量共線定理知與是共線向量．6.2.4向量的數(shù)量積例9已知，，與的夾角，求．解：．例10設(shè)，，，求與的夾角．解：由，得．因為，所以．練習(xí)1.已知，，和的夾角是60°，求．【答案】24【解析】【分析】由運算即可得解.【詳解】解：．【點睛】本題考查了向量數(shù)量積的運算，屬基礎(chǔ)題.2.已知中，，，當(dāng)或時，試判斷的形狀．【答案】鈍角三角形或直角三角形．【解析】【分析】由平面向量數(shù)量積公式，結(jié)合向量夾角的余弦值的符號判斷即可得解.【詳解】解：當(dāng)時，有，即，所以為鈍角，為鈍角三角形；當(dāng)時，有，即，為直角三角形．故為鈍角三角形或直角三角形．【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積公式，重點考查了向量夾角的運算，屬基礎(chǔ)題.3.已知，為單位向量，當(dāng)向量，的夾角分別等于45°，90°，135°時，求向量在向量上的投影向量．【答案】見解析【解析】【分析】由在上的投影向量為，再將已知條件代入運算即可得解.【詳解】解：當(dāng)時，在上的投影向量為，當(dāng)時，在上的投影向量為，當(dāng)時，在上的投影向量為．【點睛】本題考查了向量的投影的運算，重點考查了運算能力，屬基礎(chǔ)題.例11我們知道，對任意，恒有，．對任意向量，，是否也有下面類似結(jié)論？（1）；（2）．解：（1）；（2）．因此，上述結(jié)論是成立的．例12已知，，與夾角為60°，求．解：．例13已知，，且與不共線．當(dāng)為何值時，向量與相垂直？解：與互相垂直的充要條件是，．因為，，所以．解得．也就是說，當(dāng)時，與互相垂直．練習(xí)4.已知，，，向量與的夾角為，向量與的夾角為，計算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由平面向量的數(shù)量積運算及向量的數(shù)乘運算即可得解；（2）由平面向量的數(shù)量積運算及向量的數(shù)乘運算即可得解.【詳解】解：（1）；（2）．【點睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算及向量的數(shù)乘運算，屬基礎(chǔ)題.5.已知，，且與互相垂直，求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】因為與互相垂直，所以，整理化簡，可得，由此即可證明結(jié)果.【詳解】證明：因為與互相垂直，所以，即．又因為，所以．因為是非零向量，所以．6.求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】由平面向量的運算性質(zhì)即可得證.【詳解】證明：由左邊右邊，故等式成立．【點睛】本題考查了平面向量的運算性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.變式練習(xí)題7.已知向量與的夾角為，，，分別求在下列條件下的：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)，代入數(shù)值，即可求出結(jié)果；（2）因為，所以或，再根據(jù)即可求出結(jié)果；（3）因為，所以，再根據(jù)即可求出結(jié)果.【小問1詳解】解：因為，，，所以；【小問2詳解】解：因為，所以或，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以的值為或.【小問3詳解】解：因為，所以，所以.8.已知，，，求與的夾角．【答案】【解析】【分析】利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】因為，所以，因為，所以.9.已知向量與的夾角為120°，||＝2，||＝3，求：（1）(＋)·(－)；（2）|－|．【答案】（1）－5.（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積運算得(＋)·(－)＝2－2可求得答案；（2）根據(jù)向量數(shù)量積的定義求得，再根據(jù)向量數(shù)量積的運算律求得|－|2，由此可求得答案.【小問1詳解】解：因為向量與的夾角為120°，||＝2，||＝3，所以(＋)·(－)＝2－2＝－5．【小問2詳解】解：因為向量與的夾角為120°，||＝2，||＝3，所以，所以|－|2＝(－)2＝2－2·＋2＝19，所以|－|＝．10.在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且與BC相交于點D，則向量在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先畫出圖形，根據(jù)投影的幾何意義，計算結(jié)果.【詳解】由余弦定理可知，，，AD平分∠BAC且與BC相交于點D，是等腰三角形，是中點，，由圖可知向量在上的投影向量為，.故選：B【點睛】本題考查向量的投影，重點考查數(shù)形結(jié)合分析問題，屬于基礎(chǔ)題型.11.已知，，與的夾角為，問：當(dāng)為何值時，？【答案】.【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義可得的值，再利用數(shù)量積的定義和性質(zhì)計算即可求解.【詳解】因為，，與的夾角為，所以，若，則，即，所以，所以，可得：.12.已知，，且與互相垂直，求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】因為與互相垂直，所以，整理化簡，可得，由此即可證明結(jié)果.【詳解】證明：因為與互相垂直，所以，即．又因為，所以．因為是非零向量，所以．13.用向量方法證明：菱形對角線互相垂直．已知四邊形是菱形，，是其對角線．求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】設(shè)，，則且，即可求得，由此即可證明結(jié)果.【詳解】證明：設(shè)，．因為四邊形為菱形，所以，又則，故．所以.14.設(shè)⊙C半徑為r，若A，B兩點都是⊙C上的動點，求的最大值．【答案】2r2【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積公式，結(jié)合圓的性質(zhì)，即可得答案.【詳解】若AB恰為⊙C直徑，易知；若AB不是⊙C直徑，則綜上，的最大值為2r6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.1平面向量基本定理例1如圖6.3-4，，不共線，且，用，表示．解：因為，所以．例2如圖6.3-5，是的中線，，用向量方法證明是直角三角形．分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一個基底表示，本題可取為基底，用它表示，．證明，可得，從而證得是直角三角形．證明：如圖6.3-6，設(shè)，，則，，于是..因為，所以.因為，，所以.因此.于是是直角三角形.練習(xí)1.如圖，，，是的三條中線，，．用表示，，，．【答案】；；；．【解析】【分析】直接利用向量的減法三角形法則和平行四邊形法則即可?！驹斀狻拷猓?；；；．【點睛】本題主要考查了向量的減法三角形法則以及平行四邊形法則，屬于基礎(chǔ)題。2.如圖，平行四邊形的兩條對角線相交于點O，，，點E，F(xiàn)分別是，的中點，G是的三等分點．（1）用表示，，；（2）能由（1）得出，的關(guān)系嗎？【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形法則以及平行四邊形法則即可。（2）利用（1）的結(jié)果找出的關(guān)系即可得出，的關(guān)系【詳解】解：（1），，．（2）由（1）知，，，∴，即．【點睛】本題主要考查了三角形法則以及平行四邊形法則，屬于基礎(chǔ)題。3.如圖，在中，，點E，F(xiàn)分別是，的中點．設(shè)，．（1）用表，．（2）如果，，，有什么關(guān)系？用向量方法證明你的結(jié)論．【答案】（1），；（2），證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的三角形法則以及中位線定理即可表示出，（2）設(shè)，則，．計算即可?！驹斀狻拷猓海?）；．（2），證明如下：設(shè)，則，．．∴，∴．【點睛】本題主要考查了向量的三角形法則以及利用向量的數(shù)量積判斷直線的關(guān)系，屬于中等題。6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示例3如圖6.3-10，分別用基底表示向量，，，，并求出它們的坐標(biāo).解：由圖6.3-10可知，，所以同理，，，.6.3.3平面向量加、減運算的坐標(biāo)表示例4已知，，求，的坐標(biāo).解：，.例5如圖6.3-13，已知的三個頂點A，B，C的坐標(biāo)分別是，，，求頂點D的坐標(biāo).解法1：如圖6.3-13，設(shè)頂點D的坐標(biāo)為.因為，，又，所以.即解得，所以頂點D的坐標(biāo)為.解法2：如圖6.3-14，由向量加法的平行四邊形法則可知，而.所以頂點D的坐標(biāo)為.練習(xí)4.在下列各小題中，已知向量，的坐標(biāo)，分別求的坐標(biāo)：（1），；（2），；（3），；（4），．【答案】（1）；．（2）；．（3）；．（4）；．【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算法則計算可得.【詳解】解：（1）；．（2）；．（3）；．（4）；．【點睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題．5.在下列各小題中，已知A，B兩點的坐標(biāo)，分別求，的坐標(biāo)：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；．（2），．（3）；．（4）；．【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)求法，向量的坐標(biāo)等于終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo).【詳解】解：（1）,；．（2），；．（3），；．（4），；．【點睛】本題考查向量的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題.6.若點，，，，則與有什么位置關(guān)系？證明你的猜想．【答案】平行，證明見解析【解析】【分析】求出，的坐標(biāo)，即可判斷，的關(guān)系，得到與的位置關(guān)系.【詳解】解：．證明如下：因為，，所以．又因為與不共線，所以．【點睛】本題考查向量的坐標(biāo)運算，向量共線的判定，屬于基礎(chǔ)題.6.3.4平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示例6已知，，求的坐標(biāo).解：.例7已知，，且，求.解：因為，所以.解得.例8已知，，，判斷A，B，C三點之間的位置關(guān)系.解：在平面直角坐標(biāo)系中作出A，B，C三點（圖6.3-15）.觀察圖形，我們猜想A，B，C三點共線.下面來證明.因為，，又，所以.又直線，直線有公共點A，所以A，B，C三點共線.例9設(shè)P是線段上的一點，點，的坐標(biāo)分別是，.（1）當(dāng)P是線段的中點時，求點P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)P是線段的一個三等分點時，求點P的坐標(biāo).解：（1）如圖6.3-16，由向量的線性運算可知.所以，點P的坐標(biāo)是.（2）如圖6.3-17，當(dāng)點P是線段的一個三等分點時，有兩種情況，即或.如果（圖6.3-17（1）），那么，即點P的坐標(biāo)是.同理，如果（圖6.3-17（2）），那么點P的坐標(biāo)是.練習(xí)7.已知，，求，的坐標(biāo)．【答案】（-6，-8），（12,5）【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算法則計算即可．【詳解】解：，；．【點睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題．8.當(dāng)為何值時，與共線？【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量共線的充要條件得到關(guān)于的方程，解得.【詳解】解：，，，解得時，時，與共線．【點睛】本題考查共線向量基本定理的應(yīng)用；如果共線，那么存在唯一的，使成立或，屬于基礎(chǔ)題．9.若點，，，，則與是否共線？【答案】共線【解析】【分析】首先求出與的坐標(biāo)，再根據(jù)平面向量共線定理判斷即可.【詳解】解：，，，，．∵，∴與共線．【點睛】本題考查平面向量共線定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10.求線段的中點坐標(biāo)：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】根據(jù)中點坐標(biāo)公式，若、，則的中點坐標(biāo)為，計算可得【詳解】解：（1），，∴的中點坐標(biāo)為；（2），，∴的中點坐標(biāo)為；（3），，∴的中點坐標(biāo)為．【點睛】本題考查中點坐標(biāo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11.已知點，向量，，點P是線段的三等分點，求點P的坐標(biāo)．【答案】或【解析】【分析】．由于點是線段的三等分點，可得，或者．即可得出．【詳解】解：，．點是線段的三等分點，，或者．，或．或．∴P點的坐標(biāo)為或．【點睛】本題考查了向量的線性運算、線段的三等分點，屬于基礎(chǔ)題．6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示例10若點，，，則是什么形狀？證明你的猜想.解：如圖6.3-19，在平面直角坐標(biāo)系中畫出點A，B，C，我們發(fā)現(xiàn)是直角三角形.證明如下：因為，，所以..于是.因此，是直角三角形.例11設(shè)，，求及，的夾角（精確到1°）.解：因為，，所以用計算器計算可得.利用計算器中的“”鍵，得.例12用向量方法證明兩角差的余弦公式.證明：如圖6.3-20，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作單位圓O，以x軸的非負半軸為始邊作角，，它們的終邊與單位圓O的交點分別為A，B.則，.由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有.設(shè)與的夾角為，則.所以.另一方面，由圖6.3-20（1）可知，；由圖6.3-20（2）可知，.于是，.所以.于是.練習(xí)12.已知，，求，，．【答案】，，【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運算求解即可.【詳解】解：,,．【點睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運算公式,屬于基礎(chǔ)題型.13.已知．求．【答案】，【解析】【分析】根據(jù)向量的運算法則以及向量坐標(biāo)的運算求解即可.【詳解】解：,,,【點睛】本題主要考查了向量的運算法則以及向量坐標(biāo)的運算,屬于基礎(chǔ)題型.14.已知，利用計算工具，求與的夾角（精確到1°）．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求解即可.【詳解】解：∵,∴．又∵,∴．【點睛】本題主要考查了向量的夾角運算,屬于基礎(chǔ)題型.習(xí)題6.3復(fù)習(xí)鞏固15.如圖，在中，，點E是CD的中點，設(shè)，用表示.【答案】，【解析】【分析】根據(jù)向量的加減運算法則，，分別代換即可.【詳解】解：【點睛】此題考查平面向量基本運算，根據(jù)線性運算法則求解即可.16.已知作用在坐標(biāo)原點的三個力對應(yīng)向量分別為，求作用在原點的合力的坐標(biāo).【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量加法的坐標(biāo)運算即可.【詳解】解：.【點睛】此題考查力的合成，根據(jù)向量加法關(guān)系求解.17.在下列各小題中，已知向量的坐標(biāo)，以及表示的有向線段的起點A的坐標(biāo)，求終點B的坐標(biāo).（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)，，求出點的坐標(biāo)；（2）根據(jù)，，求出點的坐標(biāo)；（3）根據(jù)，，求出點的坐標(biāo).【詳解】（1），.（2）,，（3），【點睛】此題考查向量的加減運算，用端點坐標(biāo)表示向量.18.已知的頂點，，，求頂點D的坐標(biāo)．【答案】(1，5)﹒【解析】【分析】由平行四邊形可得：，于是．【詳解】設(shè)坐標(biāo)原點為O，由平行四邊形可得：，，，，．∴D的坐標(biāo)為(1，5)﹒19.已知點，且，求點及向量的坐標(biāo).【答案】，，【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運算法則，結(jié)合的坐標(biāo)形式，求出點的坐標(biāo).【詳解】解：因為，所以點的坐標(biāo)為.因為，所以點的坐標(biāo)為.所以向量.【點睛】此題考查平面向量的線性運算的坐標(biāo)表示.20.已知點，且,求點C，D，E的坐標(biāo).【答案】C，D，E【解析】【分析】根據(jù)向量線性運算法則，依次求出，，的坐標(biāo)表示，再結(jié)合點坐標(biāo)，求出點C，D，E的坐標(biāo).【詳解】解：設(shè)O為坐標(biāo)原點，則.,，所以點C的坐標(biāo)為；，所以點D的坐標(biāo)為；，所以點E的坐標(biāo)為.【點睛】此題考查平面向量的線性運算的坐標(biāo)表示.21.你認為下列各組點具有什么樣的位置關(guān)系？證明你的猜想.（1）；（2）；（3）.【答案】（1）三點共線，證明見解析；（2）三點共線，證明見解析；（3）三點共線，證明見解析【解析】【分析】（1）通過計算：，三點共線；（2）通過計算：，三點共線；（3）通過計算：，三點共線.【詳解】解：（1）A，B，C三點共線、因為，所以，因為直線AB與AC有公共點A，所以A，B，C三點共線.（2）P，Q,R三點共線，因為，所以.因為直線PR與PQ有公共點P，所以P，Q，R三點共線.（3）E，F(xiàn)，G三點共線，因為，所以.因為直線EF與EC有公共點E，所以E，F(xiàn)，G三點共線.【點睛】此題考查利用平面向量處理三點共線問題，準(zhǔn)確進行線性運算求解.22.分別在平面直角坐標(biāo)系中作出下列各組點，猜想以A，B，C為頂點的三角形的形狀，然后給出證明：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）直角三角形，證明見解析；（2）直角三角形，證明見解析；（3）直角三角形，證明見解析【解析】【分析】（1）結(jié)合圖象通過計算得：得直角三角形；（2）結(jié)合圖象通過計算得：得直角三角形；（3）結(jié)合圖象通過計算得：得直角三角形.【詳解】解：（1）如圖，為直角三角形，證明如下：,.為直角三角形.（2）如圖，△ABC為直角三角形，證明如下：為直角三角形.（3）如圖，△ABC為直角三角形，證明如下：為直角三角形.【點睛】此題考查平面向量的數(shù)量積運算的坐標(biāo)表示，通過非零向量數(shù)量積為零判定向量垂直得三角形形狀.23.已知，且，求的坐標(biāo).【答案】或【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)模長關(guān)系和平行關(guān)系列方程組求解.【詳解】解：設(shè)，則，解得：或于是或.【點睛】此題考查平面向量的模長關(guān)系和平行關(guān)系的坐標(biāo)表示，根據(jù)方程組求解未知數(shù).24.已知，求與垂直的單位向量的坐標(biāo).【答案】或【解析】【分析】設(shè)與垂直的單位向量，通過模長關(guān)系和垂直關(guān)系列方程組即可求解.【詳解】解：設(shè)與垂直的單位向量，則，解得：或于是或.【點睛】此題考查平面向量的模長關(guān)系和垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示，根據(jù)方程組求解未知數(shù).綜合運用25.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AB的中點，點F，G分別是AD，BC的三等分點.設(shè).（1）用表示；（2）如果，EF，EG有什么位置關(guān)系？用向量方法證明你的結(jié)論.【答案】（1），；（2），證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量運算法則，依次代換即可表示；（2）根據(jù)（1）的表示形式計算，則.【詳解】解：（1）（2）.證明如下：由（1）知，，【點睛】此題考查平面向量的線性運算和數(shù)量積的計算，通過非零向量數(shù)量積為零判定向量垂直.26.已知點.當(dāng)時，分別求點P的坐標(biāo).【答案】當(dāng)時，點P的坐標(biāo)分別為：，，，.【解析】【分析】根據(jù)分別計算時的坐標(biāo).【詳解】解：當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，所以當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以.【點睛】此題考查平面向量基本運算的坐標(biāo)表示，根據(jù)向量關(guān)系求點的坐標(biāo).27.已知，，點P在線段AB的延長線上，且，求點P的坐標(biāo)．【答案】【解析】【分析】根據(jù)點在線段的延長線上，且，可得，可得．【詳解】點在線段的延長線上，且，，，，，．所以點P的坐標(biāo)為28.求證：以為頂點的四邊形是一個矩形.【答案】證明見解析【解析】【分析】分別利用坐標(biāo)計算即可得證【詳解】證明：因為，，不為零向量，且不與平行，所以以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形.，所以以A，B，C，D為頂點的四邊形是矩形.【點睛】此題考查向量的相等和垂直的判斷，考查平面向量數(shù)量積的運算.拓廣探索29.如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成60°角的兩條數(shù)軸，分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對（x，y）叫做向量在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)，設(shè)，（1）計算的大小；（2）根據(jù)平面向量基本定理判斷，本題中對向量坐標(biāo)的規(guī)定是否合理.【答案】（1）；（2）合理【解析】【分析】（1）結(jié)合圖形作輔助線在直角三角形中求解；（2）根據(jù)平面向量基本定理，作為一組基底，則平面內(nèi)任意向量都有唯一有序數(shù)對使得.【詳解】解：（1）建立如圍所示的直角坐標(biāo)系，將分解到軸和軸可求得，所以.（2）作為一組基底，對于任意向量都是唯一確定的，所以本題中對向量坐標(biāo)的規(guī)定合理.【點睛】此題考查平面向量基本運算，涉及數(shù)形結(jié)合處理模長問題，對平面向量基本定理辨析30.用向量方法證明：對于任意的，恒有不等式【答案】證明見解析【解析】【分析】構(gòu)造向量，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示證明.【詳解】證明：構(gòu)造向量.（其中為向量u，v的夾角）.所以，所以.【點睛】此題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示證明不等式，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確建立模型求解.6.3.1平面向量基本定理例1如圖6.3-4，，不共線，且，用，表示．解：因，所以．例2如圖6.3-5，是的中線，，用向量方法證明是直角三角形．分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一個基底表示，本題可取為基底，用它表示，．證明，可得，從而證得是直角三角形．證明：如圖6.3-6，設(shè)，，則，，于..因為，所以.因為，，所以.因此.于是是直角三角形.練習(xí)1.如圖，，，是的三條中線，，．用表示，，，．【答案】；；；．【解析】【分析】直接利用向量的減法三角形法則和平行四邊形法則即可?！驹斀狻拷猓海?；；．【點睛】本題主要考查了向量的減法三角形法則以及平行四邊形法則，屬于基礎(chǔ)題。2.如圖，平行四邊形的兩條對角線相交于點O，，，點E，F(xiàn)分別是，的中點，G是的三等分點．（1）用表示，，；（2）能由（1）得出，的關(guān)系嗎？【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形法則以及平行四邊形法則即可。（2）利用（1）的結(jié)果找出的關(guān)系即可得出，的關(guān)系【詳解】解：（1），，．（2）由（1）知，，，∴，即．【點睛】本題主要考查了三角形法則以及平行四邊形法則，屬于基礎(chǔ)題。3.如圖，在中，，點E，F(xiàn)分別是，的中點．設(shè)，．（1）用表，．（2）如果，，，有什么關(guān)系？用向量方法證明你的結(jié)論．【答案】（1），；（2），證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的三角形法則以及中位線定理即可表示出，（2）設(shè)，則，．計算即可?！驹斀狻拷猓海?）；．（2），證明如下：設(shè)，則，．．∴，∴．【點睛】本題主要考查了向量的三角形法則以及利用向量的數(shù)量積判斷直線的關(guān)系，屬于中等題。變式練習(xí)題4.在?ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝__________.【答案】【解析】【分析】利用平面向量的基本定理可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可證得結(jié)論成立.【詳解】解：如下圖所示，由平面向量的加法法則可得，，，因為，所以，，解得，因此，.故答案為：.5.若向量不共線，且（其中），求證：共線．【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件和向量的運算法則，化簡得到，結(jié)合向量與有公共點，即可證得三點共線．【詳解】由題意，向量不共線，且（其中），可得，所以，即，所以，由向量與有公共點，所以三點共線．6.如圖,在△ABC中,點M是BC的中點,點N在邊AC上,且AN=2NC,AM與BN相交于點P,求AP∶PM.【答案】4∶1.【解析】【詳解】設(shè)=e1,=e2,則=+=-3e2-e1,=2e1+e2.∵A,P,M和B,P,N分別共線,∴存在λ,μ∈R,使=λ=-λe1-3λe2,=μ=2μe1+μe2.故=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2,而=+=2e1+3e2,∴∴∴=,∴=,即AP∶PM=4.7.如圖所示，在△ABO中，，，AD與BC相交于點M，設(shè)＝a，＝b.試用a和b表示向量.【答案】＝a＋b.【解析】【詳解】設(shè)＝ma＋nb，則＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb，＝－＝－＝－a＋b.又∵A，M，D三點共線，∴與共線．∴存在實數(shù)t，使得＝t，即(m－1)a＋nb＝t.∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb.∴消去t得m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb，＝－＝b－a＝－a＋b.又∵C，M，B三點共線，∴與共線．∴存在實數(shù)t1，使得＝t1，∴a＋nb＝t1，∴消去t1得4m＋n＝1.②由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b.8..如圖，在△OAB中，，AD與BC交于點M，設(shè)在線段AC上取一點E，在線段BD上取一點F，使EF過M點，設(shè)＝p，＝q，求證：＋＝1.【答案】證明見解析【解析】【分析】由三點共線計算可得，由三點共線，計算可得，即可求得，由三點共線，計算可得，消去,即可證得結(jié)果.【詳解】因為三點共線，所以存在實數(shù)，使得，又三點共線，所以存在實數(shù)，使得,由于不共線，所以,解得.故.因為三點共線，所以存在實數(shù)，使得,消去,得＋＝平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示例3如圖6.3-10，分別用基底表示向量，，，，并求出它們的坐標(biāo).解：由圖6.3-10可知，，所以.同理，，，.6.3.3平面向量加、減運算的坐標(biāo)表示例4已知，，求，的坐標(biāo).解：，.例5如圖6.3-13，已知的三個頂點A，B，C的坐標(biāo)分別是，，，求頂點D的坐標(biāo).解法1：如圖6.3-13，設(shè)頂點D的坐標(biāo)為.因為，，又，所以.即解得，所以頂點D的坐標(biāo)為.解法2：如圖6.3-14，由向量加法的平行四邊形法則可知，而.所以頂點D的坐標(biāo)為.練習(xí)1.在下列各小題中，已知向量，的坐標(biāo)，分別求的坐標(biāo)：（1），；（2），；（3），；（4），．【答案】（1）；．（2）；．（3）；．（4）；．【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算法則計算可得.【詳解】解：（1）；．（2）；．（3）；．（4）；．【點睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題．2.在下列各小題中，已知A，B兩點的坐標(biāo)，分別求，的坐標(biāo)：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；．（2），．（3）；．（4）；．【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)求法，向量的坐標(biāo)等于終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo).【詳解】解：（1）,；．（2），；．（3），；．（4），；．【點睛】本題考查向量的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題.3.若點，，，，則與有什么位置關(guān)系？證明你的猜想．【答案】平行，證明見解析【解析】【分析】求出，的坐標(biāo)，即可判斷，的關(guān)系，得到與的位置關(guān)系.【詳解】解：．證明如下：因為，，所以．又因為與不共線，所以．【點睛】本題考查向量的坐標(biāo)運算，向量共線的判定，屬于基礎(chǔ)題.6.3.4平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示例6已知，，求的坐標(biāo).解：.例7已知，，且，求.解：因為，所以.解得.例8已知，，，判斷A，B，C三點之間的位置關(guān)系.解：在平面直角坐標(biāo)系中作出A，B，C三點（圖6.3-15）.觀察圖形，我們猜想A，B，C三點共線.下面來證明.因為，，又，所以.又直線，直線有公共點A，所以A，B，C三點共線.例9設(shè)P是線段上的一點，點，的坐標(biāo)分別是，.（1）當(dāng)P是線段的中點時，求點P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)P是線段的一個三等分點時，求點P的坐標(biāo).解：（1）如圖6.3-16，由向量的線性運算可知.所以，點P的坐標(biāo)是.（2）如圖6.3-17，當(dāng)點P是線段的一個三等分點時，有兩種情況，即或.如果（圖6.3-17（1）），那么，即點P的坐標(biāo)是.同理，如果（圖6.3-17（2）），那么點P的坐標(biāo)是.練習(xí)4.已知，，求，的坐標(biāo)．【答案】（-6，-8），（12,5）【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算法則計算即可．【詳解】解：，；．【點睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題．5.當(dāng)為何值時，與共線？【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量共線的充要條件得到關(guān)于的方程，解得.【詳解】解：，，，解得時，時，與共線．【點睛】本題考查共線向量基本定理的應(yīng)用；如果共線，那么存在唯一的，使成立或，屬于基礎(chǔ)題．6.若點，，，，則與是否共線？【答案】共線【解析】【分析】首先求出與的坐標(biāo)，再根據(jù)平面向量共線定理判斷即可.【詳解】解：，，，，．∵，∴與共線．【點睛】本題考查平面向量共線定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7.求線段的中點坐標(biāo)：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】根據(jù)中點坐標(biāo)公式，若、，則的中點坐標(biāo)為，計算可得【詳解】解：（1），，∴的中點坐標(biāo)為；（2），，∴的中點坐標(biāo)為；（3），，∴的中點坐標(biāo)為．【點睛】本題考查中點坐標(biāo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8.已知點，向量，，點P是線段的三等分點，求點P的坐標(biāo)．【答案】或【解析】【分析】．由于點是線段的三等分點，可得，或者．即可得出．【詳解】解：，．點是線段的三等分點，，或者．，或．或．∴P點的坐標(biāo)為或．【點睛】本題考查了向量的線性運算、線段的三等分點，屬于基礎(chǔ)題．6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示例10若點，，，則是什么形狀？證明你的猜想.解：如圖6.3-19，在平面直角坐標(biāo)系中畫出點A，B，C，我們發(fā)現(xiàn)是直角三角形.證明如下：因為，，所以..于是.因此，是直角三角形.例11設(shè)，，求及，的夾角（精確到1°）.解：.因為，，所以用計算器計算可得.利用計算器中的“”鍵，得.例12用向量方法證明兩角差的余弦公式.證明：如圖6.3-20，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作單位圓O，以x軸的非負半軸為始邊作角，，它們的終邊與單位圓O的交點分別為A，B.則，.由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有.設(shè)與的夾角為，則.所以.另一方面，由圖6.3-20（1）可知，；由圖6.3-20（2）可知，.于是，.所以.于是.練習(xí)9.已知，，求，，．【答案】，，【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運算求解即可.【詳解】解：,,．【點睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運算公式,屬于基礎(chǔ)題型.10.已知．求．【答案】，【解析】【分析】根據(jù)向量的運算法則以及向量坐標(biāo)的運算求解即可.【詳解】解：,,,【點睛】本題主要考查了向量的運算法則以及向量坐標(biāo)的運算,屬于基礎(chǔ)題型.11.已知，利用計算工具，求與的夾角（精確到1°）．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求解即可.【詳解】解：∵,∴．又∵,∴．【點睛】本題主要考查了向量的夾角運算,屬于基礎(chǔ)題型.變式練習(xí)題12.已知點A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量與平行嗎？直線AB平行于直線CD嗎？【答案】向量與平行，直線AB與CD平行【解析】【分析】求出的坐標(biāo)，利用共線向量的坐標(biāo)表示即可判斷，然后計算坐標(biāo)，判斷點A，B，C是否共線得解.【詳解】因點A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，則=(2，4)，=(1，2)，顯然有2×2-1×4=0，于是得∥，因=(2，6)，而=(2，4)，即有2×4-2×6≠0，則與不平行，即點A，B，C不共線，因此，AB與CD不重合，所以直線AB與CD平行.13.已知，，，．（1）t為何值時，點P在x軸上？t為何值時，點P在y軸上？（2）四邊形OABP能否構(gòu)成一個平行四邊形？若能，求t的值；若不能，請說明理由．【答案】（1）；（2）不能，理由見解析【解析】【分析】（1）求出點坐標(biāo)，根據(jù)的位置列方程或不等式得出答案；（2）令列方程組，根據(jù)方程組是否有解得出結(jié)論．【小問1詳解】解：因為，，，所以，所以,，若在軸上，則，即；若在軸上，則，即；【小問2詳解】解：假設(shè)四邊形為平行四邊形，則，，，不等式組無解，四邊形是不可能為平行四邊形．14.設(shè)k為實數(shù)，若向量，，，當(dāng)k為何值時，A，B，C三點共線？【答案】k＝11或k＝－2.【解析】【分析】由題設(shè)得＝(k－4,7)、＝(6,k－5)，利用向量共線的坐標(biāo)表示有(k－4)(k－5)－6×7＝0，求解即可.【詳解】由題設(shè)，＝－＝(k－4,7)，＝－＝(6,k－5)，令∥，得(k－4)(k－5)－6×7＝0，即k2－9k－22＝0，k＝11或－2.故當(dāng)k＝11或－2時，A，B，C三點共線.15.已知向量，．當(dāng)k為何值時，與的夾角是鈍角？【答案】且【解析】【分析】由條件可得且不共線，然后可建立不等式求解.【詳解】因為與的夾角是鈍角，所以且不共線，即所以且.16.設(shè)P是線段P1P2上的一點，點P1，P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)．（1）當(dāng)P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標(biāo)．【答案】（1）.（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)即可求出點P的坐標(biāo)；（2）通過分類討論，點P滿足兩種情況或，然后利用向量加法的三角形法則即可求出答案.【小問1詳解】（1）如圖，由向量的線性運算可知,所以點P的坐標(biāo)是.【小問2詳解】當(dāng)點P是線段P1P2的一個三等分點時，有兩種情況，或，若，如圖(1)，那么，即點P的坐標(biāo)是.同理，如果，如圖(2)，那么點P的坐標(biāo)是.6.4平面向量的應(yīng)用6.4.1平面幾何中的向量方法例1如圖6.4-1，是的中位線，用向量方法證明：，.分析：我們在初中證明過這個結(jié)論，證明中要加輔助線，有一定難度.如果用向量方法證明這個結(jié)論，可以取為基底，用，表示，，證明即可.證明：如圖6.4-2，因為是的中位線，所以，.從而.又，所以，于是，.例2如圖6.4-3，已知平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)對角線和的長度與兩條鄰邊和的長度之間的關(guān)系嗎？分析：平行四邊形中與兩條對角線對應(yīng)的向量恰是與兩條鄰邊對應(yīng)的兩個向量的和與差，我們可以通過向量運算來探索它們的模之間的關(guān)系.解：第一步，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題：如圖6.4-4，取為基底，設(shè)，，則，.第二步，通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系：，.上面兩式相加，得.第三步，把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系：.練習(xí)1.證明：等腰三角形的兩個底角相等.2.如下圖，正方形ABCD的邊長為a，E是AB的中點，F(xiàn)是BC邊上靠近點B的三等分點，AF與DE交于點M，求的余弦值.3.如下圖，在中，點O是BC中點，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N.設(shè)，，求的值.6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例例3在日常生活中，我們有這樣的經(jīng)驗：兩個人共提一個旅行包，兩個拉力夾角越大越費力；在單杠上做引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力.你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？分析：不妨以兩人共提旅行包為例，只要研究清楚兩個拉力的合力、旅行包所受的重力以及兩個拉力的夾角三者之間的關(guān)系，就可以獲得問題的數(shù)學(xué)解釋.解：先來看共提旅行包的情況.如圖6.4-5，設(shè)作用在旅行包上的兩個拉力分別為，，為方便起見，我們不妨設(shè).另設(shè)，的夾角為，旅行包所受的重力為.由向量的平行四邊形法則、力的平衡以及直角三角形的知識，可以知道.這里，為定值.分析上面的式子，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)由0逐漸變大到時，由0逐漸變大到，的值由大逐漸變小，此時由小逐漸變大；反之，當(dāng)由逐漸變小到0時，由逐漸變小到0，的值由小逐漸變大，此時由大逐漸變小.這就是說，，之間的夾角越大越費力，夾角越小越省力.同理，在單杠上做引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力.事實上，要使最小，只需最大，此時，可得.于是的最小值為，若要使，只需，此時，即.例4如圖6.4-6，一條河兩岸平行，河的寬度，一艘船從河岸邊的A地出發(fā)，向河對岸航行.已知船的速度的大小為，水流速度的大小為，那么當(dāng)航程最短時，這艘船行駛完全程需要多長時間（精確到0.1min）？分析：如果水是靜止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行駛，就能使航程最短，此時所用時間也是最短的.考慮到水的流速，要使航程最短，船的速度與水流速度的合速度必須垂直于河岸.解：設(shè)點B是河對岸一點，與河岸垂直，那么當(dāng)這艘船實際沿著方向行駛時，船的航程最短.如圖6.4-7，設(shè)，則.此時，船的航行時間.所以，當(dāng)航程最短時，這艘船行