河北省保定市六校聯(lián)盟2023-2024學年高一下學期期中聯(lián)考 數(shù)學試題

六校聯(lián)盟2024年4月期中聯(lián)考高一數(shù)學試題考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚。3．考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量和的夾角為60°，，，則（）A．15 B．12 C．6 D．33．在中，，，，則角B的大小為（）A．90° B．60° C．45° D．30°4．平面上三個力，，作用于一點且處于平衡狀態(tài)，，，與的夾角為45°，則的大小為（）A． B．5N C． D．5．靈運塔，位于九江市都昌縣東湖南山濱水區(qū)，踞南山之巔，南望鄱湖，當代新建仿古塔．某校開展數(shù)學建?；顒?，有建模課題組的學生選擇測量靈運塔的高度，為此，他們設(shè)計了測量方案．如圖，靈運塔垂直于水平面，他們選擇了與靈運塔底部D在同一水平面上的A，B兩點，測得米，在A，B兩點觀察塔頂C點，仰角分別為45°和30°，，則靈運塔的高度CD是（）A．45米 B．50米 C．55米 D．60米6．如圖，在正三棱柱中，M為棱的中點，N為棱上靠近點C的一個三等分點，若記正三棱柱的體積為V，則四棱錐的體積為（）A． B． C． D．7．古希臘數(shù)學家海倫在他的著作《測地術(shù)》中最早記錄了“海倫公式”：，其中，a，b，c別為的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，S是的面積，該公式具有輪換對稱的特點．在中，，且的面積為，則BC邊上的中線長度為（）A． B．4 C． D．8．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則的最小值為（）A．－1 B． C． D．二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．下列說法正確的是（）A．，B．若（a，），則C．若，，則的最小值為1D．若是關(guān)于x的方程（p，）的根，則10．已知向量，，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．的最大值為6C．若，則 D．若，則11．化學中經(jīng)常碰到正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體是每個面都是正三角形的八面體），如六氟化硫（化學式）、金剛石等的分子結(jié)構(gòu)．將正方體六個面的中心連線可得到一個正八面體（如圖1），已知正八面體（如圖2）的棱長為2，則下列說法正確的是（）A．正八面體內(nèi)切球的表面積為B．正八面體外接球的體積為C．若點P為棱EB上的動點，則的最小值為D．若點Q為棱EB上的動點，MN為正八面體的內(nèi)切球的直徑，則的取值范圍為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12．若復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為______．13．已知向量在向量上的投影向量，，則______．14．已知a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C的對邊，且BC邊上的高為a，則的取值范圍為______．四、解答題：本大題共5小題，共77分。需寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。15．（本小題滿分13分）如圖所示，為四邊形OABC的直觀圖，其中，，，．（1）畫出四邊形OABC的平面圖并標出邊長，并求平面四邊形OABC的面積；（2）若該四邊形OABC以O(shè)A為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積．16．（本小題滿分15分）如圖，在四邊形ABCD中，，，，，．（1）求及AD的長度；（2）求BC的長度．17．（本小題滿分15分）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中，．（1）求角A的大??；（2）已知直線AM為的平分線，且與BC交于點M，若，求的周長．18．（本小題滿分17分）如圖，在直角梯形OABC中，，，，M為AB上靠近點B的一個三等分點，P為線段BC上的一個動點．（1）用和表示；（2）設(shè)，求的取值范圍．19．（本小題滿分17分）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，．（1）求角A與a；（2）若點O為的所在平面內(nèi)一點，且滿足，求的值；（3）若點M為的重心，且，求的面積．六校聯(lián)盟2024年4月期中聯(lián)考·高一數(shù)學參考答案、提示及評分細則1．C 2．B 3．A 4．C5．B 6．B 7．D 8．D9．ACD 10．ABD 11．ACD12．2 13．10 14．15．解：（1）在直觀圖中，，，，則在平面圖形中，，，，，于是，所以平面四邊形OABC的平面圖形如下圖所示：由上圖可知，平面四邊形OABC為直角梯形，所以面積為．（2）直角梯形OABC以O(shè)A為軸，旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體可以看成圓柱加上一個同底的圓錐，由（1）可知幾何體底面圓半徑為，圓柱母線長和高都為1，即；圓錐的高為，母線長為，所以體積；所以表面積．16．解：（1）因為，，，，所以，，由于，則，又，所以，，所以．在中，由正弦定理，所以，所以．（2）在中，由正弦定理得，可得，解得，由于，，在中，由余弦定理可得．17．解：（1）根據(jù)題意可得，由正弦定理得，又，故，又，所以，則，因為，所以．（2）因為，所以，又AM平分，所以，所以，則，即．由余弦定理得，即，所以，解得（負值舍去），故的周長為．18．解：（1）依題意，，∴，∴．（2）由已知，因P是線段BC上動點，設(shè)，，又，不共線，根據(jù)平面向量基本定理，則有，在上遞增，所以，，，，故的取值范圍是．19．解：（1）因為，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得．又因為，所以．又因為，所以由正弦定