幾何結(jié)晶學(xué)基礎(chǔ)

1、幾何結(jié)晶學(xué)基礎(chǔ)第1頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一 了解材料的結(jié)構(gòu)是材料科學(xué)研究的重要基礎(chǔ)。 晶體材料是固體材料中的重要組成部分。 認(rèn)識(shí)結(jié)晶形態(tài)及內(nèi)部構(gòu)造的規(guī)律是晶體學(xué)理 論的范疇，有如下主要分支： 晶體生長學(xué) 幾何結(jié)晶學(xué) 晶體結(jié)構(gòu)學(xué) 晶體化學(xué) 晶體物理學(xué)第2頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一2.1 晶體及其基本性質(zhì)2.1.1 晶體 對(duì)晶體的認(rèn)識(shí)始于外部形態(tài)的觀察。 晶體的傳統(tǒng)定義：外形具有規(guī)則幾何多面體 形狀的固體。 傳統(tǒng)定義沒有揭示晶體的本質(zhì)特點(diǎn)。 對(duì)晶體本質(zhì)的揭示始于1912年應(yīng)用X射線對(duì)晶 體構(gòu)造進(jìn)行研究。 嚴(yán)格的晶體定義：晶體是內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)在

2、三維空間 呈周期性重復(fù)排列的固體，或說是具有格子構(gòu) 造的固體。第3頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一2.1.2 等同點(diǎn)及空間格子 等同點(diǎn)：結(jié)構(gòu)中種類、化學(xué)性質(zhì)及周圍的環(huán)境、方位 完全相同的空間位置。 對(duì)NaCl晶體結(jié)構(gòu)，所有Na點(diǎn)屬于一類等同點(diǎn)，所有Cl 點(diǎn)屬于另一類等同點(diǎn)。等同點(diǎn)位置不限于質(zhì)點(diǎn)中心，任 何位置能引出一類等同點(diǎn)且構(gòu)成上圖的c圖形。a5.6282.8148bc NaCl結(jié)構(gòu)（a、b）及等同點(diǎn)分布（c）第4頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一 空間格子：等同點(diǎn)在三維空間呈格子狀排列 稱空間格子。 空間格子是表示晶體構(gòu)造規(guī)律的幾何圖形，是 無

3、限圖形。 空間格子第5頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一空間格子有下列幾種要素存在： 結(jié)點(diǎn)：空間格子中的等同點(diǎn)。 行列：結(jié)點(diǎn)在直線上的排列。 行列中相鄰結(jié)點(diǎn)間的距離稱結(jié)點(diǎn)間距。同行列方向上結(jié) 點(diǎn)間距相等；不同方向的行列，結(jié)點(diǎn)間距一般不等。 面網(wǎng)：結(jié)點(diǎn)在平面上的分布。 單位面積內(nèi)結(jié)點(diǎn)的數(shù)目稱面網(wǎng)密度；相鄰面網(wǎng)間的垂直 距離稱面網(wǎng)間距。 相互平行的面網(wǎng)間面網(wǎng)密度和面網(wǎng)間距相等；否則一般 不等且面網(wǎng)密度大的其面網(wǎng)間距亦大。 平行六面體：空間格子中的最小單位。 第6頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一 面網(wǎng) 平行六面體第7頁，共78頁，2022年，5月20日，

4、9點(diǎn)12分，星期一2.1.3 布拉維法則和面角守恒定律 布拉維法則：晶體通常被面網(wǎng)密度大的晶面所包圍。 晶面的生長速度與其面網(wǎng)密度一般呈反比關(guān)系。 生長速度大的BC晶面逐漸變小，甚至消失；生長速度小 的AB、CD晶面將逐漸擴(kuò)展，最后保留下來。 面網(wǎng)密度與晶面生長過程的關(guān)系第8頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一面角守恒定律-實(shí)際晶體在生長過程中受過程因素的影 響，使晶體的外形呈現(xiàn)各種形狀。-丹麥礦物學(xué)家斯丹諾發(fā)現(xiàn)，同種晶體雖 然它們的形狀和大小各不相同，但各相 對(duì)應(yīng)的晶面夾角是相等的。由此提出了面角守恒定律：在相同的溫度、壓力條件下，成分和構(gòu)造相同的所有晶體，其對(duì)應(yīng)晶面間的

5、夾角恒等。-面角守恒定律對(duì)結(jié)晶學(xué)的發(fā)展起了深遠(yuǎn)的影響，使人們 能從晶體千變?nèi)f化的形態(tài)中，找到它們外形上所固有的 客觀規(guī)律，得以根據(jù)面角關(guān)系恢復(fù)晶體的理想形態(tài)，從 而奠定了幾何結(jié)晶學(xué)的基礎(chǔ)。圖2-8 石英晶體第9頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一2.1.4 晶體的基本性質(zhì)（所有晶體具有的共性） 自限性(自范性)：晶體在一定條件下能自發(fā)形成幾何 多面體的形狀。 結(jié)晶一致性：同一晶體的不同部分具有相同的性質(zhì)。 各向異性：晶體性質(zhì)隨方位不同而有差異的特性。 對(duì)稱性：晶體中的晶面、晶棱、角頂、結(jié)點(diǎn)及物理化 學(xué)性質(zhì)等在不同方向作有規(guī)律地重復(fù)。 最小內(nèi)能性：在相同熱力學(xué)條件下，與同種成

6、分的非 晶體、液體、氣體相比，其內(nèi)能最小。第10頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一2.2 晶體的宏觀對(duì)稱2.2.1 晶體對(duì)稱 對(duì)稱：物體相等部分有規(guī)律的重復(fù)。 觀察對(duì)稱性： 在物體上可以找到相同的部分； 相同的部分重復(fù)出現(xiàn)有規(guī)律。晶體的對(duì)稱由格子構(gòu)造所決定，有以下特點(diǎn)： 符合格子構(gòu)造規(guī)律的對(duì)稱才能在晶體上出現(xiàn)，即晶體 的對(duì)稱遵循“晶體對(duì)稱定律”。 晶體的對(duì)稱不僅表現(xiàn)在外形上，也表現(xiàn)在物理化學(xué)性 質(zhì)上。第11頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一2.2.2 晶體的對(duì)稱操作和對(duì)稱要素 對(duì)稱操作：使物體相等部分重復(fù)出現(xiàn)的操作， 如反映、旋轉(zhuǎn)、反伸及其聯(lián)合動(dòng)作等

7、。 對(duì)稱要素：進(jìn)行對(duì)稱操作時(shí)借助的幾何要素 （點(diǎn)、線、面）。 晶體的宏觀對(duì)稱要素：對(duì)稱面、對(duì)稱軸、對(duì)稱 中心、 旋轉(zhuǎn)反伸軸（倒轉(zhuǎn)軸）、旋轉(zhuǎn)反映軸 （映轉(zhuǎn)軸）第12頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一對(duì)稱面P 概念：一個(gè)通過晶體中心的假想平面，能將晶體平分 為互為鏡象的兩個(gè)相等部分，以符號(hào)P 表示。 對(duì)稱面的對(duì)稱操作是對(duì)此平面的反映。 晶體上可沒有對(duì)稱面，也可有一個(gè)或幾個(gè)P，最多有9 個(gè)，寫作9P。P1、P2為對(duì)稱面，AD不是 立方體的九個(gè)對(duì)稱面 a b 第13頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一對(duì)稱軸Ln 概念：通過晶體中心的一假想直線，晶體繞此直線旋轉(zhuǎn)

8、 一定角度，可使相等部分重復(fù)出現(xiàn)，記為Ln 。 旋轉(zhuǎn)一周重復(fù)的次數(shù)稱為軸次n， 重復(fù)所旋轉(zhuǎn)的最小角度稱為基轉(zhuǎn)角，有關(guān)系：n = 360。 軸次高于2的L3、L4、L6 稱高次軸。 晶體中可沒有對(duì)稱軸，也可有一種或幾種對(duì)稱軸同時(shí)存 在。書寫時(shí)，三個(gè)四次軸記為3L4。 對(duì)稱軸及其垂直該軸切面的示意圖第14頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一關(guān)于晶體的對(duì)稱規(guī)律：實(shí)際晶體中可以存在的對(duì)稱軸僅有L1、L2、L3、L4、L6。一次軸L1沒有意義；五次軸L5和高于六次的對(duì)稱軸（L7、L8 ）均不允許存在。 垂直對(duì)稱軸的面網(wǎng)示意圖a、b、c、e：分別表示L2、L3、L4、L6的面網(wǎng)d、f、

9、g： 分別表示L5、L7和L8的面網(wǎng)第15頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一對(duì)稱中心C 概念：晶體中心的一個(gè)假想定點(diǎn)，過此點(diǎn)任意直線的等 距離兩端，可找到晶體的相同部分，用C 表示。對(duì)稱操作是以此點(diǎn)為中心的反伸(倒反)。晶體中可沒有對(duì)稱中心，或僅有一個(gè)對(duì)稱中心。晶體中如果有C ，晶體上的晶面必然是兩兩平行且相等。 對(duì)稱中心C 的圖形第16頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一旋轉(zhuǎn)反伸軸Lin（倒轉(zhuǎn)軸） 概念：過晶體中心一假想直線，晶體繞此直線旋轉(zhuǎn)一定 角度，再對(duì)對(duì)稱中心反伸，可使相等部分重復(fù)出 現(xiàn)，以Lin表示。 對(duì)稱操作是旋轉(zhuǎn)反伸的復(fù)合操作。 軸次只有

10、Li1、Li2、Li3、Li4、Li6。 旋轉(zhuǎn)反伸軸的圖解第17頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一旋轉(zhuǎn)反映軸Lsn（映轉(zhuǎn)軸） 概念：過晶體中心的一假想直線，晶體繞此直線旋轉(zhuǎn) 一定角度，再對(duì)過中心且垂直此直線的平面反 映，可使晶體相等部分重復(fù)，以Lsn 表示。 對(duì)稱操作為旋轉(zhuǎn)反映的復(fù)合操作。 軸次也只有Ls1、Ls2、Ls3、Ls4、Ls6。 沒有獨(dú)立的對(duì)稱要素，均可用其它要素表示：Ls1=P =Li2, Ls2=C =Li1, Ls3=L3 +P =Li6, Ls4 =Li4, Ls6 =L3+C =Li3。（a） （b） （c） （d） （e）旋轉(zhuǎn)反映軸的圖解第18頁，

11、共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一2.2.5 對(duì)稱要素的組合在晶體對(duì)稱中，對(duì)稱要素間的組合服從“對(duì)稱要素組合定理” 定理一：如有一偶次對(duì)稱軸Ln與對(duì)稱中心共存，則過C 且 垂直于此Ln 的平面，必為一對(duì)稱面。 簡式：Ln（偶）C = Ln（偶）PC（Ln（偶）P）逆定理1：若有一偶次對(duì)稱軸Ln 垂直于對(duì)稱面P，二者的 交點(diǎn)必為對(duì)稱中心C 。 簡式：Ln（偶）P = Ln（偶）PC（Ln（偶）P）逆定理2：若有一對(duì)稱面P 和對(duì)稱中心組合，必存在一個(gè) 垂直于對(duì)稱面的偶次對(duì)稱軸。 簡式：PC = Ln（偶）PC（Ln（偶）P）第19頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，

12、星期一 Ln與C共存導(dǎo)出P 的圖解 Ln與L2的組合 定理二：如有一個(gè)二次對(duì)稱軸L2 垂直Ln，則必有n個(gè)L2 垂直 Ln，且任意兩相鄰L2間的夾角=3602n。 簡式：LnL2 = LnnL2（LnL2）逆定理：如有兩個(gè)L2 以角相交，則過兩者交點(diǎn)之公共垂線 必為一n 次對(duì)稱軸且n =3602。第20頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一 定理三：若有一對(duì)稱面P 包含Ln，則必有n個(gè)P 包含Ln， 且任意兩相鄰對(duì)稱面間的夾角=3602n 。 簡式：LnPLnnP（LnP）逆定理：如有兩個(gè)P 以角相交，則兩者交線必為一個(gè)n 次對(duì)稱軸且軸次n =3602 。 定理四：如有一對(duì)稱

13、面P 包含Lin (或一L2垂直Lin )，當(dāng) n為偶數(shù)，則有n2個(gè)PLin和n2個(gè)L2 Lin； n為奇數(shù)，則有n個(gè)P Lin和n個(gè)L2 Lin；且P 的法線與L2 間的夾角均為3602n 。 簡式：LinP/ =LinL2=Linn2L2n2P/（n為偶數(shù)） LinP/ =LinL2=LinnL2nP/（n為奇數(shù)）逆定理: 如有一L2 與一P 斜交，P 的法線與L2 的交角為 ，則L2且P 的直線為Lin ，n = 3602。第21頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一 Ln包含nP Lin 2L2 2 P/第22頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一

14、定理五: 若Ln與Lm 以角斜交，則圍繞Ln 必有共點(diǎn)且對(duì)稱 分布的n個(gè)Lm ，圍繞Lm 必有共點(diǎn)且對(duì)稱分布的m 個(gè)Ln，且任意兩相鄰的Ln 與Lm 間交角均為。 簡式：LnLm = nLmmLn（Ln與Lm斜交） 3L4 與4L3 的組合第23頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一2.2.6 對(duì)稱型（點(diǎn)群） 進(jìn)行對(duì)稱要素組合分析，得到晶體的全部組合形式，稱 為對(duì)稱型，共32種。由于在結(jié)晶多面體中對(duì)稱要素組合 相交于一點(diǎn)，對(duì)稱型又稱點(diǎn)群。 對(duì)稱型中使用的對(duì)稱要素： L1、L2、L3、L4、L6； P（P = Li2）； C（C = Li1）； Li1 = C、Li2 = P、

15、Li3 = L3十C、Li4、Li6 對(duì)稱型推導(dǎo)將組合形式分成兩類：A類(27種)為高次軸 不多于一個(gè)的組合；B類(5種)為高次軸多于一個(gè)的組合。第24頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一晶族和晶系在晶體的對(duì)稱型中，根據(jù)有無高次軸和高次軸多少，把32個(gè)對(duì)稱型劃分出三個(gè)晶族；又根據(jù)對(duì)稱特點(diǎn)劃分為7個(gè)晶系。晶體高級(jí)晶族（高次軸多于一個(gè)）中級(jí)晶族（高次軸只有一個(gè)）六方晶系 (有一個(gè)L6或Li6)四方晶系（有一個(gè)L4或Li4）三方晶系 (有唯一的高次軸L3)低級(jí)晶族（無高次軸）斜方晶系 (L2或P多于一個(gè))單斜晶系 (L2或P不多于一個(gè))三斜晶系 (無L2，無P)立方晶系第25頁，

16、共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一2.3 晶體的理想形態(tài)（單形和聚形） 同一對(duì)稱型的晶體，可以有不同的形態(tài)，如下圖所示 的立方體和八面體，對(duì)稱型均為3L44L36L29PC 。 因此需要進(jìn)一步研究晶體的形態(tài)。 借助于晶體的面角守恒原理，引出晶體的理想形態(tài)：單形和聚形 （a）立方體和（b）八面體 a b第26頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一2.3.1 單形概念：由對(duì)稱要素聯(lián)系起來的一組晶面的構(gòu)形。單形的得出：是由一初始晶面經(jīng)對(duì)稱型中對(duì)稱要素的操作 而重復(fù)出的一組晶面。因此同一單形的晶面 同形等大。 如上圖中的立方體和八面體，它們的一組晶面分別是同形等大的

17、6個(gè)正方形和8個(gè)等邊三角形。說明：在同一對(duì)稱型中，初始晶面與對(duì)稱要素的相對(duì)位置 不同，可以導(dǎo)出不同的單形。對(duì)32種對(duì)稱型逐一進(jìn) 行推導(dǎo)可以得到晶體應(yīng)有的全部單形。第27頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一單形推導(dǎo)（以L22P 對(duì)稱型為例）： L22P 的空間分布 對(duì)稱型L22P 的單形推導(dǎo)第28頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一關(guān)于單形的幾點(diǎn)說明 同一對(duì)稱型，最多能導(dǎo)出七種單形（初始晶面與對(duì)稱要 素相對(duì)位置最多有7種）。 47種幾何單形：對(duì)32種對(duì)稱型逐個(gè)進(jìn)行推導(dǎo)，去掉形態(tài)重 復(fù)的單形而得。 146種結(jié)晶單形：幾何形態(tài)與對(duì)稱性同時(shí)考慮而得。即在 146

18、種結(jié)晶單形中，有些單形同屬于一種幾何單形，但其 對(duì)稱性不同。 一般形和特殊形：單形晶面處于特殊位置（如垂直或平 行），稱特殊形；晶面處于一般位置稱一般形。 開形和閉形：單形的晶面不能構(gòu)成封閉狀的稱開形；構(gòu) 成封閉狀的稱閉形。 左形和右形：組成晶面具有手性特征的兩類圖形。如偏 方面體、五角三四面體和五角三八面體。第29頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一2.3.2 聚形 概念：兩個(gè)或兩個(gè)以上單形的聚合稱聚形。 （如圖：四方柱和四方雙錐合成的聚形） 說明：-單形的聚合必須是屬于同一對(duì)稱型的單形才能進(jìn)行。-有幾個(gè)單形相聚，就有幾種不同形狀的晶面。 四方柱和四方雙錐的聚形第30頁，

19、共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一2.4晶體定向和結(jié)晶符號(hào) 在晶體的對(duì)稱型、單形和聚形確定后，仍不能獲得晶體形態(tài)的完整描述，如圖所示的兩個(gè)晶體同屬于L44L25PC 對(duì)稱型和四方柱和四方雙錐組成的聚形。 對(duì)此需要確切地表示晶面在空間的相對(duì)位置來進(jìn)一步描述晶體。 在晶體學(xué)中，確定晶面在空間的位置是按晶體的對(duì)稱特征選擇坐標(biāo)系，將晶體按對(duì)稱特征放置于該坐標(biāo)系中(晶體定向)，以一定的符號(hào)表示法表示出晶面在空間的位置。 具有相同對(duì)稱型和單形的兩種聚形第31頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一2.4.1 晶體定向(坐標(biāo)系統(tǒng)) 晶體定向：選擇坐標(biāo)軸(晶軸)和確定軸單位。

20、晶軸選擇 反映晶體的對(duì)稱性，優(yōu)先順序依次為：對(duì)稱軸倒轉(zhuǎn)軸 對(duì)稱面法線晶棱。 三軸定向：五個(gè)晶系（立方、四方、斜方、單斜、三斜） 四軸定向：三方、六方晶系。 三軸定向四軸定向的3個(gè)水平軸第32頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一軸單位（晶軸上的單位長） 晶軸的軸單位就是該晶軸行列的結(jié)點(diǎn)間距。按a、b、c軸 分別記為ao、bo、co，也可直接用a、b、c表示。 對(duì)晶體外形研究，不能定出軸單位的實(shí)長（結(jié)點(diǎn)間距）， 但通過晶體測量能標(biāo)出其比率a：b：c，此比率稱為軸率 (或軸單位比)。 軸率a：b：c和軸角、合稱為晶體幾何常數(shù)。 各晶系的晶體定向及晶體常數(shù)特征列于教材中的表2-5

21、。 第33頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一2.4.2 晶體的整數(shù)定律（有理指數(shù)定律）整數(shù)定律：晶體中任一晶面在晶軸上的截距系數(shù)之 比為一簡單整數(shù)比。解釋： 晶面是外層面網(wǎng)，晶面與晶軸（軸單位為結(jié)點(diǎn)間距）必相交于 結(jié)點(diǎn)上，故截距系數(shù)比為整數(shù)。 根據(jù)布拉維法則，晶體由面 網(wǎng)密度大的晶面所包圍。如 圖所示，a1b1面的面網(wǎng)密度 大，相應(yīng)截距系數(shù)之比簡單。 b1 b2 b3 b4 bn Y Xa1a2Z 網(wǎng)面密度與截距系數(shù)比的關(guān)系第34頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一2.4.3 結(jié)晶符號(hào)及面間距結(jié)晶符號(hào)：晶面符號(hào)、晶棱符號(hào)、單形符號(hào)，晶帶符號(hào)。晶面符號(hào):

22、表示晶面在空間位置的符號(hào)。晶面符號(hào)有幾種，最常采用米氏符號(hào)，又稱米勒指數(shù)(英國WHMiller 1839)。確定步驟： 按晶體定向原則進(jìn)行晶體定向； 求待標(biāo)晶面在X、Y、Z軸上的截距pa、qb、rc，得截距 系數(shù)p、q、r ； 取截距系數(shù)的倒數(shù)比1/p：1/q：1/r = h：k：l（為最小整 數(shù)比）； 去掉比號(hào)、以小括號(hào)括起來，寫為(h k l)。 第35頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一舉例：如圖晶面HKL，在X、Y、Z軸上的截距分別為2a、3b、6c ，截距系數(shù)為2、3、6 ，其倒數(shù)比1/2：1/3：1/6 ，化整得3：2：1 ，去掉比號(hào)并以小括號(hào)括起來，(321)

23、即為所求米勒指數(shù) 晶面符號(hào)圖解第36頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一補(bǔ)充說明： 若晶面平行于某晶軸，則該晶軸上的截距系數(shù)為，其 倒數(shù)1/為0，即晶面在該晶軸上的指數(shù)為0。 如果晶面與晶軸相交于負(fù)端，則在指數(shù)上部標(biāo)一“-”號(hào)， 如（00 ）。 互相平行的晶面可用同一晶面指數(shù)表示，即(h k l)可代 表相互平行的一組晶面。 對(duì)四軸定向的三方、六方晶系，晶面指數(shù)按XYUZ軸順序 排列，晶面指數(shù)的一般式寫作(h k i l)，其中i 對(duì)應(yīng)U軸 ，其它h、k、l 和三軸定向相同。數(shù)學(xué)上可以證明晶面指 數(shù)間有h + k + i = 0 的關(guān)系，即h、k、i 中只有兩個(gè)是獨(dú) 立的，

24、故一般式又可寫作(h k l)。第37頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一晶向指數(shù) (晶棱符號(hào)) 表示晶向（晶棱）在空間位置的符號(hào)。晶向符號(hào)只規(guī)定晶向而不涉及它具體的位置，因而任何晶向（棱）都可平移到坐標(biāo)0點(diǎn)，故確定的步驟為： 選定晶軸X、Y、Z和a、b、c為軸單位； 平移晶向（棱）直線過原點(diǎn)； 在該直線上任取一結(jié)點(diǎn)M，將其投影至X、Y、Z軸得截距 OX0、OY0、OZ0； 作OX0/a：OY0/b：OZ0/c = u：v：w（最小整數(shù)比）； 去掉比號(hào)，加中括號(hào)，u v w即為晶向符號(hào)。 晶向指數(shù)的圖示第38頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一補(bǔ)充說明：

25、 沒有求倒數(shù)的步驟。 有正負(fù)，負(fù)值表示方法和晶面符號(hào)相同，如00 。但 對(duì)晶向符號(hào)，對(duì)應(yīng)指數(shù)的絕對(duì)值相等而符號(hào)相反的兩個(gè) 晶向是同一晶向方向，如001和00 是同一晶向方向。 對(duì)于三方、六方晶系的四軸定向，相應(yīng)晶向符號(hào)的一般 式寫作u v t w或u v w，其中uvt = 0 。 對(duì)于晶向指數(shù)，三軸定向與四軸定向間可用變換公式變 換，若三軸定向的晶向指數(shù)為U V W，四軸定向的晶向 指數(shù)為u v t w，變換關(guān)系為： u = 1/3(2UV) v = 1/3(2VU) t = 1/3(UV) w = W第39頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一單形符號(hào)單形符號(hào)：代表單形一

26、組晶面在空間位置的符號(hào)。表示法：在單形中選擇一個(gè)代表晶面，把該晶面符號(hào)改用 大括號(hào)表示。單形的特點(diǎn)：同一單形各晶面的指數(shù)絕對(duì)值不變，只有順序和正負(fù)號(hào)的變化。如立方體的六個(gè)晶面，其晶面符號(hào)分別為(100)、( 00)、(010)、(0 0)、(001)，(00 )，這是選擇代表晶面表示單形的基礎(chǔ)。代表晶面選擇原則： 選擇正指數(shù)最多的晶面 （三方、六方晶系不考慮i）； 有負(fù)號(hào)時(shí)優(yōu)先為正的順序： l h k； 指數(shù)絕對(duì)值遞減的順序： |h|k|l|。根據(jù)這一原則，上述立方體的單形符號(hào)應(yīng)為100。 立方體的晶面符號(hào)第40頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一晶帶符號(hào)和晶帶定律晶帶：晶

27、體上彼此間交棱且相互平行的一組晶面的集合。晶帶軸：每個(gè)晶帶的交棱方向稱晶帶軸。晶帶符號(hào)：用晶帶軸方向的晶向指數(shù)表示晶帶在空間的位 置，一般式仍用u v w或u v w表示。晶帶定律：任何兩個(gè)晶帶相交處的平面，必定是晶體上的 一個(gè)可能晶面。晶帶軸與晶面的關(guān)系：晶帶軸的指數(shù)為u v w，晶帶中任一晶面指數(shù)為（h k l），有數(shù)學(xué)關(guān)系式：hukvlw = 0，這是判斷一個(gè)晶面和一個(gè)晶向平行的條件。第41頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一晶帶定律的應(yīng)用：由晶面（h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）求晶帶符號(hào) 根據(jù)晶帶定律建立方程組： h1uk1vl1w = 0 h2uk2vl

28、2w = 0 解出： 由晶向u1 v1 w1和u2 v2 w2求晶面符號(hào) 建立方程組： hu1kv1lw1 = 0 hu2kv2lw2 = 0 得： 由同一晶帶的兩個(gè)晶面（h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）求此晶帶上另一晶面 指數(shù)，由： h1uk1vl1w = 0 h2uk2vl2w = 0 有： （h1h2）u（k1k2）v（l1l2）w = 0 即：（h1h2）、（k1k2）、（l1l2）為此晶帶上一晶面的晶面指數(shù)。第42頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一晶面間距一組平行晶面的晶面間距d hkl與晶面指數(shù)和晶格常數(shù)a、b、c有下列關(guān)系：斜方晶系 四方晶系 立方晶

29、系 六方晶系 上述公式僅適用于簡單晶胞，對(duì)于復(fù)雜晶胞，要考慮附加原子面的影響。第43頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一2.5 晶體構(gòu)造的幾何理論 前幾節(jié)介紹的是晶體外形上的幾何規(guī)律。 本節(jié)將開始介紹晶體內(nèi)部構(gòu)造的幾何規(guī)律。 實(shí)際上，晶體外形上的幾何規(guī)律是由晶體內(nèi)部的格子構(gòu) 造規(guī)律所決定。 介紹的主要內(nèi)容： 空間格子的劃分； 晶胞的概念； 微觀對(duì)稱及其組合導(dǎo)出的空間群概念； 對(duì)稱型和空間群的國際符號(hào)； 等效點(diǎn)系的基本概念。第44頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一2.5.1 十四種空間格子單位平行六面體的劃分晶體構(gòu)造是單位平行六面體在三維空間作無間隙地堆

30、疊或穿插組合。如何從格子構(gòu)造中劃分出基本的單位平行六面體？其中所遵循的原則： 能反映整個(gè)結(jié)點(diǎn)分布所具有的對(duì)稱性； 棱與棱之間的直角盡可能最多； 體積最小。說明： 如圖L44P 格子中6種選擇方式： 3、4、5、6與L44P 的對(duì)稱不符， 1、2方式中1的體積最小，故1 是應(yīng)選單位平行六面體。 單位平行六面體的棱長a、b、c及夾角、稱晶格常數(shù)。 單位平行六面體的選擇第45頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一七個(gè)晶系的單位平行六面體及格子類型按照單位平行六面體的劃分原則，對(duì)7個(gè)晶系的晶體進(jìn)行劃分，得到的晶格常數(shù)特征： 立方格子： a = b = c, = 90； 四方格子： a

31、 = b c, = 90； 六方格子： a = b c, = 90, =120； 三方格子： a = b = c, =90； 斜方格子： a b c, = 90； 單斜格子： a b c, = 90, 90； 三斜格子： a b c, 90；顯然，單位平行六面體晶格常數(shù)與晶體外形研究中給出的晶體常數(shù)是一致的。第46頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一對(duì)單位平行六面體進(jìn)行附加結(jié)點(diǎn)的分析，按分布方式又劃分出格子基本類型：原始格子P：結(jié)點(diǎn)分布于角頂，三方菱面體格子用R 表示；底心格子C：結(jié)點(diǎn)分布于角頂和一對(duì)面的面心。對(duì)(100)或 (010)面中心的結(jié)點(diǎn)，用A 和B 表示，稱側(cè)面

32、 心格子，或稱A 格子，B 格子； 體心格子I：結(jié)點(diǎn)分布于角頂和體中心；面心格子F：結(jié)點(diǎn)分布于角頂和各面的中心。圖2-47 單位平行六面體中結(jié)點(diǎn)的分布a-原始格子 b-底心格子 c-體心格子 d-面心格子 a b c d 第47頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一十四種空間格子（布拉維格子）綜合考慮單位平行六面體的劃分和附加結(jié)點(diǎn)的類型，七個(gè)晶系空間格子的基本類型共有十四種。由布拉維導(dǎo)出，稱為十四種布拉維格子。 三斜晶系：三斜原始格子； 單斜晶系：單斜原始格子，單斜底心格子； 斜方晶系：斜方原始格子，斜方底心格子， 斜方體心格子，斜方面心格子； 四方晶系：四方原始格子，四方體

33、心格子； 三方晶系：三方原始格子(三方菱面體格子)； 六方晶系：六方原始格子； 等軸晶系：立方原始格子，立方體心格子， 立方面心格子。第48頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一補(bǔ)充說明：按單位平行六面體的7種劃分和四種結(jié)點(diǎn)分布類型，空間格子應(yīng)有74=28種，實(shí)際給出14種。這是因?yàn)椋?某些類型的格子彼此重復(fù)， 一些格子不符合該晶系的對(duì)稱。例如四方底心格子(虛線)可轉(zhuǎn)化為體積更小的四方原始格 子（實(shí)線）。 三方菱面體面心格子(虛線) 可以轉(zhuǎn)化為體積更小的 三方菱面體原始格子。第49頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一2.5.2 晶胞的概念 晶胞：能夠反映整

34、個(gè)晶體結(jié)構(gòu)特征的最小結(jié)構(gòu)單元。 晶胞與單位平行六面體的關(guān)聯(lián)： -幾何形狀、大小與對(duì)應(yīng)的單位平行六面體一致，可由 同一組晶格常數(shù)來表示。 -但單位平行六面體是由幾何點(diǎn)構(gòu)成，而晶胞是具體的 有一定物理化學(xué)屬性的質(zhì)點(diǎn)組成。 晶胞是描述晶體結(jié)構(gòu)的基本組成單位。第50頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一2.5.3 晶體的微觀對(duì)稱要素 宏觀對(duì)稱的主要特征： -有限圖形的對(duì)稱。 -對(duì)稱要素的組合在空間相交于一點(diǎn)（沒有平移操作）。 微觀對(duì)稱的主要特征： -格子構(gòu)造為無限圖形的對(duì)稱。 -對(duì)稱要素的組合在空間呈分布（有平移操作）。 晶體內(nèi)部構(gòu)造中除其外形上可能出現(xiàn)的對(duì)稱要素外，還 出現(xiàn)特有的、

35、與平移有關(guān)的微觀對(duì)稱要素： 平移軸 滑移面(象移面) 螺旋軸 第51頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一平移軸：為一直線方向，圖形沿此直線移動(dòng)一定距離，可 使相同部分重復(fù)。使圖形復(fù)原的最小平移距離， 稱平移軸的移距。 說明：- 晶體構(gòu)造中，任一行列方向都是一個(gè)平移軸，行列的結(jié) 點(diǎn)間距即為平移軸的移距，因此任何一個(gè)空間格子均有 無窮多的平移軸。- 平移軸的集合組成了平移群，空間格子共有十四種，晶 體的平移群也有十四種，稱為十四種移動(dòng)格子。第52頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一滑移面(象移面)：一假想的平面，當(dāng)圖形對(duì)此平面反映后，在平行此平面的某一方向上

36、移動(dòng)一定距離，可使圖形的相同部分重復(fù)（先平移后反映，效果相同）。 說明： -如圖為NaCl構(gòu)造在（001）面上的投影。a-a面、b-b面即為 滑移面。 -若滑移面的移距t= 0，就蛻變?yōu)閷?duì)稱面。晶體宏觀的對(duì) 稱面在晶體內(nèi)部可能為對(duì)稱面，也可能為滑移面。 NaCl在（001）面上的投影a aa abbbb第53頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一滑移面按滑移方向和移距分出的a、b、c、n和d五種類型 第54頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一螺旋軸：為一假想直線，質(zhì)點(diǎn)繞此直線旋轉(zhuǎn)一定角度，再沿此 直線方向平移一定距離，可使圖形相同部分重復(fù)（先 平移后旋轉(zhuǎn)等

37、效）。 說明：- 螺旋軸按旋轉(zhuǎn)方向分為左旋、右旋，中性三種（如圖）。- 螺旋軸按基轉(zhuǎn)角也分為二次、三次、四次和六次。每 一種軸次又按其移距與結(jié)點(diǎn)間距T的變化分為一種或幾種。- 按國際符號(hào)表示法： 11種螺旋軸：21、31、32、41、 42、43、61、62、63、64、65- 如同滑移面，對(duì)稱軸可視 為移距t= 0的螺旋軸。（a）左旋 （b）右旋第55頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一二次螺旋軸21 ：旋轉(zhuǎn)180后平移1/2移距。三次螺旋軸31和32 ：31 表示右向旋轉(zhuǎn)，移距t=13T； 32 表示左向旋轉(zhuǎn)，移距13T。（a）對(duì)稱軸，（b）螺旋軸 （a）對(duì)稱軸3， （

38、b）右旋31 （c）左旋32第56頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一四次螺旋軸：41 (右旋)、42 (中性)和43（左旋）41、42 和43按右旋方向的移距分別為14T、24T和34T。42為雙軌旋轉(zhuǎn)，在兩個(gè)晶胞(2T)的周期內(nèi)復(fù)原。43按左旋方向的移距為14T。 （a）對(duì)稱軸（b）右旋41（c）中性42（d）左旋43第57頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一六次螺旋軸：61、62、63、64、65按右旋方向的移距分別為16T、26T，36T，46T和56T，其中62 和64 為雙軌螺旋。63 為三軌螺旋，需平移三個(gè)晶胞才能完成復(fù)原。 （a）對(duì)稱軸（

39、b，c）右旋61、62 （d）中性63 （e，f）左旋64、65第58頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一總結(jié)格子構(gòu)造中存在的對(duì)稱要素： 對(duì)稱軸：L1、L2、L3、L4、L6 倒轉(zhuǎn)軸：Li1（=C）、Li2（=m）、Li3、Li4、Li6 螺旋軸：1（=平移軸）21、31、32、41、42、43、 61、62、63、64、65 滑移面：a、b、c、n、d 平移軸：十四種移動(dòng)格子，P(R)、C(A、B)、I 和F第59頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一2.5.4 空間群 概念：晶體構(gòu)造中一切對(duì)稱要素的組合形式稱為空間 群，晶體共有 230種組合形式，稱2

40、30種空間群。 空間群與點(diǎn)群的關(guān)系： 230種空間群分屬于32種點(diǎn)群中。 如果把空間群中的平移因素去掉，230種空間群就蛻變成 32種點(diǎn)群。 空間群的基本幾何形象： （NaCl結(jié)構(gòu)垂直（001） 面上的對(duì)稱要素）第60頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一2.5.5 點(diǎn)群和空間群的符號(hào)（見附錄）點(diǎn)群的國際符號(hào) 使用的符號(hào)（三類對(duì)稱要素）： 對(duì)稱面：以 m 表示； 對(duì)稱軸：以軸次數(shù)表示，1、2、3、4、6 ； 倒轉(zhuǎn)軸：在軸次數(shù)上加“-”，如（C）、m（ ）、 、 、 。 表示方式：由規(guī)定方向（不超過三個(gè)）上存在的對(duì)稱要 素構(gòu)成，按規(guī)定方向的順序依次排列表達(dá)。第61頁，共78頁，

41、2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一各晶系點(diǎn)群國際符號(hào)中的三個(gè)窺視方向 第62頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一各晶系點(diǎn)群國際符號(hào)窺視方向的空間方位第63頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一實(shí)例說明：-由點(diǎn)群L44L25PC 導(dǎo)出國際符號(hào)： L44L25PC 屬四方晶系，國際符號(hào)規(guī)定的窺視方向： co、ao、(ao + bo)。 co方向(Z軸)上存在的對(duì)稱要素有一個(gè)L4 和垂直此L4 的對(duì) 稱面P，第一位寫做4/m； ao方向(X軸)上存在的對(duì)稱要素有一個(gè)L2 和垂直此L2 的對(duì) 稱面P，第二位寫做2/m； (ao+bo)方向(X與Y軸平分線)

42、上的對(duì)稱要素有一個(gè)L2 和垂 直此L2 的對(duì)稱面P，第三位寫作2/m； 排列起來應(yīng)寫為： ，最后簡化為 mm 。-L2PC 的國際符號(hào)： L2PC 屬單斜晶系，窺視方向是b0 。 b0方向上的對(duì)稱要素有一個(gè)L2 和垂直L2 的對(duì)稱面P，相應(yīng) 國際符號(hào)寫做2/m 。第64頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一-由國際符號(hào) mm 導(dǎo)出點(diǎn)群： 首位6表示六方晶系，其國際符號(hào)的三個(gè)窺視方向?yàn)?c0、a0、(2a0+ b0)。 c0方向有一個(gè)L6 和垂直L6 的P，有L6P L6PC； a0方向有一個(gè)平行L6 的P，有L6P/ L66P/； 包含L6的P與垂直L6的P 的交線必為垂直于

43、L6 的L2 （如圖）， 于是有 L6L2 L66L2 ； 最后將所有對(duì)稱要素組合得到 點(diǎn)群L66L27PC 。 第65頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一空間群的國際符號(hào)空間群的國際符號(hào)由兩部分組成： 符號(hào)首位字母(P、C、I、F 或R )表示布拉維格子類型。 后繼以對(duì)稱型的國際符號(hào)，但將其中的對(duì)稱要素符號(hào)換上 相應(yīng)內(nèi)部構(gòu)造的對(duì)稱要素符號(hào)。實(shí)例說明： I41amd 空間群 從首位符號(hào)知，屬于體心格子； 從后面的符號(hào)知，屬于四方晶系4mmm 對(duì)稱型； 由對(duì)稱要素知，平行Z軸方向?yàn)槁菪S41 ，垂直Z軸有滑移 面a，垂直X軸為對(duì)稱面m，垂直X軸與Y軸的角平分線為滑 移面d 。

44、 第66頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一2.5.6 等效點(diǎn)系 概念：由一原始點(diǎn)出發(fā)，通過空間群對(duì)稱要素的操作而相互 聯(lián)系起來的一系列點(diǎn)的總和形式，稱為等效點(diǎn)系。說明： 屬于同一等效點(diǎn)系的所有點(diǎn)彼此等效。等效點(diǎn)系中的點(diǎn)稱 為等效點(diǎn)。 一個(gè)等效點(diǎn)系，通常只考慮在一個(gè)單位晶胞范圍內(nèi)的點(diǎn)。 等效點(diǎn)系與空間群的關(guān)系相當(dāng)于單形與點(diǎn)群的關(guān)系：-在等效點(diǎn)系中，原始點(diǎn)與空間群對(duì)稱要素的相對(duì)位置不同， 同一空間群也可以導(dǎo)出不同的等效點(diǎn)系。-等效點(diǎn)系也有一般等效點(diǎn)系和特殊等效點(diǎn)系。-等效點(diǎn)系在單位晶胞內(nèi)所占有的等效點(diǎn)數(shù)是一定的。-如同聚形中的單形，在晶體結(jié)構(gòu)中，可以同時(shí)存在幾個(gè)等 效點(diǎn)系。且

45、同時(shí)屬于同一空間群的對(duì)稱特點(diǎn)。第67頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一第68頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一2.6 晶體的堆積方式 原子和離子都占有一定的空間，在某種程度上近似可將 其視為具有一定大小的球體。 原子或離子之間的相互結(jié)合，從幾何的角度，在形式上 可視為球體間的堆積。 晶體具有最小的內(nèi)能性，原子和離子相互結(jié)合時(shí)，相互 間的引力和斥力處于平衡狀態(tài)，這就相當(dāng)于球體間作緊 密堆積。第69頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一2.6.1 原子半徑和離子半徑 原子半徑或離子半徑的概念根據(jù)波動(dòng)力學(xué)的觀點(diǎn)，原子或離子圍繞核運(yùn)動(dòng)的電子

46、在空間形成一個(gè)電磁場，其作用范圍可視為球形。這個(gè)球形的大小可視為原子或離子的體積，球的半徑即為原子半徑或離子半徑。 原子或離子有效半徑的概念離子或原子在晶體結(jié)構(gòu)中處于相接觸時(shí)的半徑。在這種狀態(tài)下，離子或原子間的靜電吸引和排斥作用達(dá)到平衡。 有效半徑的確定 金屬晶體 兩個(gè)相鄰原子中心距的一半。 離子晶體 一對(duì)相鄰接觸的陰、陽離子的中心距為離子半 徑之和。 共價(jià)晶體 兩個(gè)相鄰鍵合離子的中心距為兩離子的共價(jià)半 徑之和。第70頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一原子或離子半徑是晶體學(xué)中的重要參數(shù) 原子或離子半徑大小對(duì)結(jié)構(gòu)中質(zhì)點(diǎn)排列方式的影響很大。 Shannon 于1976年給出了各種元素與氧或氟結(jié)合時(shí)，在不 同價(jià)態(tài)、不同配位數(shù)下的有效離子半徑值（見附錄3 ）。 原子或離子半徑的概念并不十分嚴(yán)格。一種原子在不同 的晶體中，與不同的元素相結(jié)合，其半徑可能發(fā)生變化。 離子晶體中存在極化，常是電子云向正離子方向移動(dòng)，導(dǎo) 致正離子的作用范圍變大，而負(fù)離子作用范圍要變小些。 共價(jià)鍵的增強(qiáng)和配位數(shù)的減少都可使原子或離子間距離縮 短，從而相應(yīng)使半徑減少。第71頁，共78頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)12分，星期一2.6.2 球體緊密堆積原理球體最緊密堆積的基本類型 單一質(zhì)點(diǎn)的等大球體最緊密堆積，如純金屬晶體。 幾種質(zhì)點(diǎn)的不等大