剛體的平面運動

1、剛體的平面運動第1頁，共23頁，2022年，5月20日，11點15分，星期一14.1 剛體平面運動的基本概念 什么是剛體的平面運動？ 請先看三個動畫 ：動畫1第2頁，共23頁，2022年，5月20日，11點15分，星期一14.1 剛體平面運動的基本概念 動畫2第3頁，共23頁，2022年，5月20日，11點15分，星期一14.1 剛體平面運動的基本概念 動畫3 沿直線軌道滾動的車輪，曲柄連桿機構(gòu)中連桿的運動以及行星齒輪機構(gòu)中行星輪的運動都是剛體的平面運動。它們的運動都有一個共同的特點： 剛體在運動過程中，剛體內(nèi)任意一點與某一固定平面始終保持相等的距離。剛體的這種運動稱為平面運動。 第4頁，共2

2、3頁，2022年，5月20日，11點15分，星期一14.1 剛體平面運動的基本概念 剛體平面運動力學(xué)模型的簡化 先看動畫 ： 結(jié)論：剛體的平面運動可以簡化為平面圖形S在自身平面內(nèi)的運動。 第5頁，共23頁，2022年，5月20日，11點15分，星期一14.1 剛體平面運動的基本概念 平面運動分解為平動和轉(zhuǎn)動 1.平面運動的分解 運動的合成和分解的概念也可應(yīng)用于剛體的運動。以車輪滾動為例說明。 上述方法可用來研究任何平面圖形的運動。 第6頁，共23頁，2022年，5月20日，11點15分，星期一14.1 剛體平面運動的基本概念 于是，圖形S的絕對運動（對于定系的運動）是所研究的平面運動,它的相對

3、運動 （對于動系的運動）是繞基點A的轉(zhuǎn)動，它的牽連運動（動系對于定系的運動）則是以基點A為代表的平動。因此，剛體的平面運動可分解為隨基點的平動和繞基點的轉(zhuǎn)動。 14.1. 3 平面運動分解為平動和轉(zhuǎn)動 請看動畫。在平面圖形上任取一點A為平動坐標(biāo)系A(chǔ)xy的原點，A點稱為基點。 第7頁，共23頁，2022年，5月20日，11點15分，星期一14.1 剛體平面運動的基本概念 14.1. 3 平面運動分解為平動和轉(zhuǎn)動 2平面運動的分解與基點選擇的關(guān)系 請看動畫。平面圖形S在時間間隔t內(nèi)由位置運動至位置。 這一運動過程，可以這樣認為：平面圖形S首先以A點為基點平動到位置，而后再繞A1點逆時針轉(zhuǎn)至位置；也

4、可以認為是：平面圖形S先以B點為基點平動到B1A1位置，而后再繞B1點逆時針轉(zhuǎn)至位置。上述兩種看法都可表達出平面圖形S某一瞬時的運動情況，得到相同的運動結(jié)果。但是，選取不同的基點，其平動部分在時間間隔t內(nèi)走的位移不相同，當(dāng)然平動速度也就不相同；而在同一時間間隔t內(nèi)，不論基點如何選取，平面運動剛體轉(zhuǎn)過的角位移是相同的，所以平面圖形繞基點轉(zhuǎn)動的角速度都是相同的。即剛體平面運動的平動速度與基點的選取有關(guān)，而剛體平面運動的轉(zhuǎn)動角速度則與基點的選取無關(guān)。第8頁，共23頁，2022年，5月20日，11點15分，星期一14. 2 平面運動剛體內(nèi)各點的速度分析 14.2. 1 基點法 如圖所示，已知某瞬時平面

5、圖形S上A點的速度vA和平面圖形的轉(zhuǎn)動角速度，求圖形S上任一點B的速度。 取點A為基點。由于平面圖形S的運動可看成隨基點A的平動（牽連運動）和繞基點A的轉(zhuǎn)動（相對運動）的合成?？梢杂命c的速度合成定理求解。即 即平面圖形上任一點的速度等于基點的速度與該點繞基點轉(zhuǎn)動速度的矢量和。這就是基點法，或稱平面運動的速度合成法，是求平面運動圖形上任一點速度的基本方法。 (a)因 ，代如（a)式，得：（14.1）第9頁，共23頁，2022年，5月20日，11點15分，星期一14. 2 平面運動剛體內(nèi)各點的速度分析 14.2. 1 基點法 例14.1 發(fā)動機的曲柄連桿機構(gòu)如圖所示。曲柄OA長為r = 200 m

6、m,以勻角速度2 rad/s繞點O轉(zhuǎn)動，連桿AB長為l = 990 mm。試求當(dāng)OAB90時，滑塊B的速度及連桿AB的角速度。 解： （1）選連桿AB為研究對象，連桿AB作平面運動。由于連桿上點A速度已知，所以選點A為基點。(2)B點的運動，可視為隨基點A的平移與繞基點A的轉(zhuǎn)動的合成運動。 式中，vA=r= 2002 = 400 mm/s , 方向垂直O(jiān)A。 vAB垂直AB，指向和大小未知。 B點絕對速度vB沿水平方向。作出速度平行四邊形。 由基點法 ：第10頁，共23頁，2022年，5月20日，11點15分，星期一14. 2 平面運動剛體內(nèi)各點的速度分析 14.2. 1 基點法 方向如圖所示

7、。 由幾何關(guān)系得 ：，其方向為水平方向。 連桿AB的角速度為 ：，其轉(zhuǎn)向為順時針方向。 第11頁，共23頁，2022年，5月20日，11點15分，星期一14. 2 平面運動剛體內(nèi)各點的速度分析 14.2. 2 速度瞬心法 1速度瞬心法 上式表明，在該瞬時平面圖形內(nèi)各點的運動可看成繞點C的轉(zhuǎn)動。這個速度恰好為零的點，稱為平面圖形在該瞬時的速度中心，簡稱速度瞬心或瞬心。 平面圖形在其自身平面內(nèi)運動時，其中任意一點M的速度滿足下式： 式中， 表示基點的速度。由于基點 的選擇是任意的，若在平面圖形（或其延伸部分）能找到這樣一點C，其在該瞬時的速度vc= 0,取該點為基點，則上式具有如下的形式，即 ：第

8、12頁，共23頁，2022年，5月20日，11點15分，星期一14. 2 平面運動剛體內(nèi)各點的速度分析 14.2. 2 速度瞬心法 1速度瞬心法 方向與CM垂直且順著的轉(zhuǎn)向。這種應(yīng)用速度瞬心來求平面圖形內(nèi)各點速度的方法，稱為速度瞬心法。 以車輪為例近一步理解速度瞬心的概念。 那么,某瞬時平面圖形上是否存在速度為零的點呢？如果存在的話，我們?nèi)绾握业剿?？請看推?dǎo) 。 可見，只要找到平面圖形在某一瞬時的瞬心位置，則圖形內(nèi)其它各點在此瞬時的絕對速度就等于它們繞瞬心C轉(zhuǎn)動的速度。以點M為例。若該點到瞬心C的距離為 ,則其速度大小為: 第13頁，共23頁，2022年，5月20日，11點15分，星期一14.

9、 2 平面運動剛體內(nèi)各點的速度分析 14.2. 2 速度瞬心法 1速度瞬心法 顯然，使用瞬心法的關(guān)鍵是確定瞬心的位置。下面分別加以討論：(1) 如圖所示，物體沿固定面作無滑動的滾動（純滾動）。此時，物體與固定面的相互接觸點的速度相同。由于固定面的速度為零，故物體上與固定面相接觸的點C的速度也為零，因此該點即為此瞬時的瞬心。 第14頁，共23頁，2022年，5月20日，11點15分，星期一14. 2 平面運動剛體內(nèi)各點的速度分析 14.2. 2 速度瞬心法 1速度瞬心法 顯然，使用瞬心法的關(guān)鍵是確定瞬心的位置。(2)如圖所示，已知A、B兩點的速度 、 的方向，則通過這兩點分別作速度 、 的垂線，

10、這兩條垂線的交點C,就是此瞬時的瞬心。第15頁，共23頁，2022年，5月20日，11點15分，星期一14. 2 平面運動剛體內(nèi)各點的速度分析 14.2. 2 速度瞬心法 1速度瞬心法 顯然，使用瞬心法的關(guān)鍵是確定瞬心的位置。(3)如圖所示， A、B兩點的速度 、 大小不等、方向互相平行且都垂直于AB連線，則瞬心必在AB連線或AB的延長線上。此時，須知道A、B兩點速度的大小才能確定瞬心的具體位置。如圖所示，瞬心C位于 、 兩矢量終點連線與AB直線的交點處。 第16頁，共23頁，2022年，5月20日，11點15分，星期一(4)如圖所示， 任意兩點A、B的速度 、 相互平行，且 = ，則該瞬時圖

11、形的瞬心C在無窮遠處，此時圖形的角速度為零，圖形上各點的速度都相同。這種情況稱為瞬時平移。 14. 2 平面運動剛體內(nèi)各點的速度分析 14.2. 2 速度瞬心法 1速度瞬心法 顯然，使用瞬心法的關(guān)鍵是確定瞬心的位置。第17頁，共23頁，2022年，5月20日，11點15分，星期一14. 2 平面運動剛體內(nèi)各點的速度分析 14.2. 2 速度瞬心法 當(dāng)剛體作瞬時平移時，雖然此瞬時的角速度為零，各點速度相同，但各點的加速度并不相同，角加速度不等于零，故下一瞬時，各點的速度便不再相同，剛體也不再作瞬時平移。 必須指出，剛體在作平面運動的過程中，作為瞬心的那一點的位置不是固定的，而是隨時間不斷變化的。 例14.2例14.3補充例題1補充例題2第18頁，共23頁，2022年，5月20日，11點15