決策分析模型

1、決策分析模型第1頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一 方案確定以后，所產(chǎn)生的后果是否唯一確定，有時還領(lǐng)帶于一些決策者無法控制的因素。 在決策中，把行動確定以后，目標(biāo)值所領(lǐng)帶的參數(shù)稱為狀態(tài)，讓為的集合稱 作狀態(tài)空間，記為。 狀態(tài)取值可以是連續(xù)的，也可以是離散的。例如，某企業(yè)經(jīng)營是否盈利可以分為盈利、盈虧平衡、虧損三種離散狀態(tài)。企業(yè)經(jīng)營狀況也可以使用量化指標(biāo)表示成連續(xù)值。 行動在狀態(tài)下產(chǎn)生的后果，可以用收益或損失表示，在決策中，收益函數(shù)、損失函數(shù)均稱為決策函數(shù)，記為F（，a）。決策函數(shù)是決策的依據(jù)，它與行動空間、狀態(tài)空間一直構(gòu)成了決策系統(tǒng)，記為（，A，F(xiàn)）。數(shù)學(xué)模型第2頁，共3

2、6頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一 在不確定而唯一確定。在風(fēng)險決策中，狀態(tài)是隨機變量，它的概率分布已經(jīng)為決策者所掌握。顯然，不確定性決策問題狀態(tài)的概率分布一旦確定，它便成為風(fēng)險決策問題。 當(dāng)狀態(tài)空間中只有一個元素時，這介決策系統(tǒng)是確定型的，即一旦行動確定，行動的結(jié)果使被唯一確定了，如果狀態(tài)空間中至少有兩個元素，該決策系統(tǒng)對應(yīng)的決策便是不確定性決策或風(fēng)險決策。 決策問題的研究目標(biāo)是在行動空間A中找到一個行動a，使決策函數(shù)F在一定狀態(tài)下達到最大或最小，這一行動a稱為最佳行動。數(shù)學(xué)模型第3頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一二、 確定性決策方法 根據(jù)行動的性質(zhì)，確定

3、性決策問題可以劃分為礅散型和連續(xù)型兩種，由于同一問題往往有多種處理方法，因此，這里只能簡單介紹幾種常用方法。1、加權(quán)評分法 在行動方案有限且離散的情況下，加權(quán)評分法是確定性問題的一種簡便決策方法，該方法把方案涉及到的因素用指標(biāo)表示，同時考慮不同指標(biāo)在不同方案下的不同作用（指標(biāo)值）及各指標(biāo)重要性（指標(biāo)權(quán)重）的差異，指標(biāo)權(quán)重和指標(biāo)值經(jīng)算術(shù)合，綜合成一個可比量值，來實現(xiàn)方案選 優(yōu)。這種方法能從主觀和客觀兩方面反映問題，所產(chǎn)生的結(jié)果一般比較符合實際。數(shù)學(xué)模型第4頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一方案指標(biāo) ABCDE外形0.2香氣0.4滋味0.3湯色0.05葉底0.05839287

4、71869088808281858384778485969080748490788672加權(quán)評分法表1某商店要購進一批茶葉，有同一品種五品牌A、B、C、D、E可供選擇，它們的單價茶葉質(zhì)量，它們是：外形、香氣、滋味、湯色、葉底，各指標(biāo)的權(quán)得系數(shù)及其在不同方案下的指標(biāo)值見表1?！締栴}】數(shù)學(xué)模型第5頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一如果設(shè)第I個指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)是i，該指標(biāo)在某方案下的分值是x那么，該方案的最后得分F可表示為：其中，k是指標(biāo)總數(shù)于是，根據(jù)上述公式及表中數(shù)據(jù)，可計算出方案A的總得分：FA=0.283+0.492+0.387+0.0571+0.0586=87.35同理可

5、得：FB=85.35 FC=83.45 FD=90.10 FE=84.10顯然，最佳行動是購買品牌為D的茶葉?！締栴}分析與求解】數(shù)學(xué)模型第6頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一2、微分法 當(dāng)行動是連續(xù)變量，或者行動雖是離散變量，但其取值個數(shù)很多，甚至是無窮多，行動的取什多一個或少一個數(shù)量間接對行動結(jié)局基本沒有影響，可彩微分法求最 佳行動。微分法的理論依據(jù)是極值理論，其決策準(zhǔn)則是；使收益函數(shù)達到最大或使損失函數(shù)達到最小的行動就是最佳行動，因此，求最佳行動就是求函數(shù)的最大值（或最小值）。顯然，當(dāng)行動是連續(xù)變量時，如果在行動窨上取出有限個行動的結(jié)局逐個比較，以擇其優(yōu)。某廠電視機的

6、生產(chǎn)成本由兩部分組成，一中分明不變成本，每天100萬元，不管工廠是否生產(chǎn)，這部分費用不變；另一部分是可變成本，這部分成本又包括兩個內(nèi)空，一是每臺電視機的單位成本1000元，二是與間理成正比的成本，工廠每多生產(chǎn)一臺電視機成本就增加4元。現(xiàn)在該工廠要制定一個最優(yōu)日產(chǎn)量，使每臺電視機的成本最低?！締栴}】數(shù)學(xué)模型第7頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一【模型構(gòu)成與求解】根據(jù)問題，構(gòu)造損失函數(shù)：由于日產(chǎn)量多一臺或少一臺對工廠幾乎沒有什么影響，所以，a可以近似地看作是連續(xù)變量，于是，最佳行動可以通過求損失函數(shù)的最小值得到。對損失函數(shù)求微分可得：令 解得 a=500該工廠的最佳行動是每天

7、生產(chǎn)500臺電視機數(shù)學(xué)模型第8頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一3、數(shù)學(xué)規(guī)劃法 上面介紹的加權(quán)評分法和微分法是確定性決策方法中的兩種古典方法，其出發(fā)點在于求收益函數(shù)的最大值和損失函數(shù)的最小值。這兩種方法通常適用于變量不多的決策問題，隨著變量增加共適用性越來越差。 近幾十年來，隨著運籌學(xué)等數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，以數(shù)學(xué)規(guī)劃理論為基礎(chǔ)的一整套最優(yōu)化方法在決策方面起著越來越重要的作用。例如，處理多變量決策問題的線性規(guī)劃法，處理離散變量決策問題的整數(shù)規(guī)劃法等。由于這些方法所覆蓋的內(nèi)容過于龐大，這里不再作進一步介紹。數(shù)學(xué)模型第9頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一三、

8、不確定型決策方法 在不確定性決策中，每種運行因狀態(tài)不同而結(jié)果各異，而每種狀態(tài)的概率分布又事先未知。因此，決策者選擇的最佳行動與其行動原則密切相關(guān)。1、常用決策方法為討論方便，設(shè)決策行動是有限的離散變量，其收益矩陣為： 除了客觀因素的作用，主觀因素（例如決策者的偏好）也將對行動原則產(chǎn)生很大的影響，對同一問題不同的決策者往往會作出不同的決策，所以，不能離開行動原則去研究不確定性決策問題。其中，; i=1，2，m，m是狀態(tài)的個數(shù)；j=1，2，m，m是可行行動（方案）的個數(shù)； 分別表示某個狀態(tài)，行動。數(shù)學(xué)模型第10頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一表2下面，以表2中的收益矩陣為例

9、說明不同的行動原則及其具體計算方法。1小中取大原則及算法小中取大原則反映了決策者的悲觀情緒，是一種保守的決策方法。例如，企業(yè)承受風(fēng)險的能力較差，或最壞的狀態(tài)很可能發(fā)生時，常采用這種決策原則。數(shù)學(xué)模型第11頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一的行動是最佳行動，由表2及小中取大算法可得最佳行動是a2。在該行動原則下，滿足2大中取大原則及算法與小中取大原則相反，大中取大原則是一種冒險的決策模式，它反映了決策者的樂觀情緒和風(fēng)險意識。這種模式適用于最好狀態(tài)發(fā)生的可能性很大，或研究對象承受風(fēng)險能力強的情況。在大中取大原則下，滿足的行動a*是最佳行動。由表2及大中取大算法可得最佳行動是a

10、1。數(shù)學(xué)模型第12頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一3等概率原則及算法在缺乏準(zhǔn)確信息的情況下，各行動狀態(tài)是未知的。因此，有理由認(rèn)為每一狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相同的，均為1/m，在等概率原則下等價于 所以，滿足的行動a*是最佳行動。由表2及等概率原則可得最佳行動是a4。數(shù)學(xué)模型第13頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一4最小后悔值原則及算法該原則與小中取大原則相似，也帶有保守性質(zhì)，反映了決策者的悲觀情緒。但最小后悔值原則與小中取大原則又有所不同，其一是它從損失的角度考慮問題，其二它又不是過分保守。在該原則下，滿足其中，的行動a*是最佳行動。表3由表2的收益矩陣

11、構(gòu)造損失矩陣，見表3。數(shù)學(xué)模型第14頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一由表3及最小后悔值原則可得最佳運行是a3。5樂觀系數(shù)法小中取大原則顯得過于悲觀保守，而大中取大原則又顯得太冒險，這種情況下可采用樂觀系數(shù)法。這種方法要求決策者首先提出一個系數(shù) （用 表示，0 1）來表示其樂觀程度。決策者越樂觀， 值越接近于1；越悲觀， 值越接近于0。因此，這種方法叫樂觀系數(shù)法。這種方法盡管避免了兩種極端情況，但也沒有利用全部可用信息，而且，樂觀系數(shù) 的恰當(dāng)確定也是一個難點。使用該方法決策，滿足數(shù)學(xué)模型第15頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一其中， 是樂觀系數(shù)， 0

12、1 的行為a*是最佳行動。由表2及樂觀系數(shù)法可得顯然， 樂觀系數(shù)的取值不同， 決策結(jié)果也會不同， 例如， =0.1時， 最佳行動是a2， =0.3時， 最佳行動是a4； =0.9時， 最佳行動是a1。數(shù)學(xué)模型第16頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一表42、結(jié)果分析上面介紹了五種常用的決策原則及算法，并以表2的收益矩陣為例得出了最佳行動，所有結(jié)果如表4所示。數(shù)學(xué)模型第17頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一 很顯然，由于信息的不充分與不確定性，不確定性決策的結(jié)局很大程度上是由決策者所左右的。這樣，對同一問題，不同的決策者可能會作出完全不同甚至是相反的決策

13、，這些不同的決策不可能都符合實際，這種現(xiàn)象只能歸究于不確定性決策問題本身。因為沒有充分、可靠、準(zhǔn)確的信息，期望作出準(zhǔn)確可靠的決策是不科學(xué)的。 由表4可以看出，五種行動原則的前四種對表2收益矩陣進行操作所得到的結(jié)果是完全不同的，而樂觀系數(shù)法又由于的不同取值也導(dǎo)出了三種結(jié)局。 數(shù)學(xué)模型第18頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一 目前，已經(jīng)有一些通過對客觀信息的充分利用以改進不確定性決策的方法。例如，引進PERT技術(shù)中的狀態(tài)估計方法，對未來狀態(tài)作出三種估計，即最樂觀估計、最悲觀估計、最可能估計，綜合這三種估計得到期望值，并擾此進行比選。又如二維決策問題的轉(zhuǎn)折概率法，又知客觀狀態(tài)發(fā)

14、生先后次序時的等級概率法以及重復(fù)型不確定性決策問題的對策解法等等。 近來，對不確定決策又有了新的認(rèn)識，認(rèn)為不確定性決策與風(fēng)險決策之間不應(yīng)存在絕對清晰的邊界。因為，實際上很少有百分之百準(zhǔn)確的概率數(shù)字的風(fēng)險決策，也很少有對客觀狀態(tài)百分之百無知的所謂不確定性。關(guān)鍵問題是通過什么方法來充分利用已知無知的所謂不確定性。關(guān)鍵問題是通過什么方法來充分利用已知的客觀信息，并通過決策者的經(jīng)驗來提高不確定性決策的可靠性。數(shù)學(xué)模型第19頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一四、 風(fēng)險決策方法 在風(fēng)險決策問題中，盡管已知各種行動發(fā)生的概率，其不確定性比完全不確定性決策問題要少些，但由于信息不充分等原

15、因，仍存在一定的風(fēng)險，所以，風(fēng)險決策是介于確定性與不確定性之間的一種決策方式。下面，就介紹幾種風(fēng)險條件下常用的決策方法。 風(fēng)險決策通常也受主客觀兩方面因素的影響，這就要求決策者把概率統(tǒng)計理論與其智慧和經(jīng)驗融合貫通，既尊重客觀規(guī)律，又發(fā)揮人的主觀能動性。 例如，對于重復(fù)性風(fēng)險型決策問題，各種行動的概率容易通過統(tǒng)計得到，因而，用概率統(tǒng)計方法處理比較合理；但對于一次性或者重復(fù)性較少的決策問題，則需要比較多地依靠決策者的經(jīng)驗和智慧，這時，可以用效用理論進行處理。數(shù)學(xué)模型第20頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一1、期望值法 期望值決策方法既克服了各種不確定性決策方法的缺點，同時又保

16、留了這些方法的優(yōu)點，它用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述狀態(tài)的信息，利用參數(shù)的概率分布求出每個行動的收益（或損失）期望值。具有最大收益期望值或最小損失期望值的行動是最佳行動。 在現(xiàn)實生活中，也不難理解期望值決策方法的合理性。例如，根據(jù)大數(shù)定理，當(dāng)某個公司的經(jīng)營次數(shù)趨向充分大時，平均損益的極限就是損益期望值，這就是為什么一個公司的成功，不能急功近利，必須堅持從長期經(jīng)營中獲利的原因。數(shù)學(xué)模型第21頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一有期望值進行決策分析的基本步驟是：（1）明確決策問題；（2）寫出損益矩陣或繪出決策樹；（3）計算各行動的損益期望值Ej；（收益期望值） 或 （損失期望值） j=1

17、，2，n；m、n分別是狀態(tài)和行動的個數(shù)；pi 是 發(fā)生的概率；Fij是行動aj在狀態(tài)下的收益值；Rij是行動aj在狀態(tài)下的損失值；Ej是行動aj的損益期望值。數(shù)學(xué)模型第22頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一（4）選擇最佳行動a*?，F(xiàn)在，就通過一個實例說明期望值決策的具體操作過程。某廠在生產(chǎn)過程中，一關(guān)鍵設(shè)備突破發(fā)生故障，為了保證履行加工合同，必須在7天內(nèi)恢復(fù)正常生產(chǎn)，否則，將被罰以100萬元的違約金。工廠面臨兩種選擇，一是修復(fù)設(shè)備，7天內(nèi)修復(fù)的概率是0.5，費用為20萬元；二是購置新設(shè)備，7天內(nèi)完成的概率是0.8，費用為60萬元。那么，工廠選擇哪一種行動最佳?！締栴}】這是

18、一例風(fēng)險型的期望值決策問題，如果用a1表示修復(fù)行動，a2表示購置新設(shè)備，表示7天內(nèi)恢復(fù)生產(chǎn)之狀態(tài)，表示7天后恢復(fù)生產(chǎn)之狀態(tài)，則有損失矩陣如表5所示表5數(shù)學(xué)模型第23頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一由期望值計算公式可得（萬元） （萬元） 根據(jù)決策準(zhǔn)則，具有最小損失期望值的修復(fù)行動a1是最佳行動?！締栴}求解】在本例中，問題被歸納成一張損益表，實際上，決策樹也可以完成同樣的的功能，而且可以表達得更加形象。決策樹數(shù)學(xué)模型第24頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一決策樹由結(jié)點和樹枝組成。結(jié)點有行動結(jié)點（用“”表示）、狀態(tài)結(jié)點（用“”表示）。從行動結(jié)點長出的樹枝

19、是行動分枝，有多少個不同行動就有多少個運行分枝，每個行動分枝上都要標(biāo)明所代表的行動。從狀態(tài)結(jié)點長出的樹枝是狀態(tài)分枝，狀態(tài)結(jié)點下的分枝數(shù)量等于對應(yīng)行動的狀態(tài)個數(shù)，各狀態(tài)分枝上要注明對應(yīng)行動的相應(yīng)狀態(tài)概率。而每個行動在各種狀態(tài)下的損益值。則標(biāo)注在各對應(yīng)樹梢旁邊。上例中的決策問題可用決策樹表示成上圖1。從行動結(jié)點上又長出兩動分枝a1，a2，它們的終點是狀態(tài)結(jié)點，每個狀態(tài)結(jié)點上又長出兩個狀態(tài)分枝，于是，樹梢總數(shù)就是行動個數(shù)與狀態(tài)的乘積。按照損益期望值計算公式同樣可以計算出各行動的期望值，計算過程和結(jié)果與通過損益表得到的結(jié)論完全一致。數(shù)學(xué)模型第25頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一

20、2、貝葉斯法 在風(fēng)險決策中，可以通過對狀態(tài)參數(shù)的基本認(rèn)識，得到其概率分布，但這種認(rèn)識有時過于粗糙，需挖掘新信息對其作出必要的修正，這樣，就可以獲得更準(zhǔn)確的狀態(tài)參數(shù)的概率分析，提高決策的可靠性，這就是貝葉斯決策方法的基本思想。 貝葉斯法是利用補充信息進行決策的一種方法，補充信息的作用在于對狀態(tài)概率原來的估計值（亦即先驗概率）進行修正，獲得所謂后驗概率，并據(jù)此進行決策分析，以選取最佳行動。在收集到新信息以前的原有信息稱為先驗信息，據(jù)此估計出的狀態(tài)概率稱作先驗概率。數(shù)學(xué)模型第26頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一 依據(jù)歷史資料，某天晴天的概率是0.6，陰天的概率是0.4，這里的

21、概率值指的就是先驗概率，記為（在前面介紹期望值決策方法時，被簡記為pi）。例如 根據(jù)天氣預(yù)報，這一天可能是睛天，也可能是陰天，不妨將這些狀態(tài)參數(shù)記為Xb，那么，又可以有這樣一些概率；實際上是晴天預(yù)報也是晴天的概率，實際上是晴天預(yù)報為陰天的概率，實際上是陰天預(yù)報也是陰天的概率，實際上是陰天預(yù)報為晴天的概率。這些概率分布稱作似然函數(shù)，記為：，即實際發(fā)生的狀態(tài)是預(yù)報成狀態(tài)Xb的概率。第27頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一由先驗概率和似然函數(shù)，通過貝葉斯全概率公式，可以計算出后驗概率。m，s分別是實際的狀態(tài)個數(shù)和預(yù)報的狀態(tài)個數(shù)用后驗概率代表先驗概率，可以計算出在預(yù)報狀態(tài)Xb下，

22、各行動的損益期望值：或那么，在狀態(tài)Xb下，具有最大收益期望值或最小損失期望值的行動，就是最佳行動，可以看出，對應(yīng)每個預(yù)報狀態(tài)Xb，均有一個最佳行動，有s個預(yù)報狀態(tài)，便有s個最佳行動相對應(yīng)。數(shù)學(xué)模型第28頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一某公司的銷售收入受市場銷售情況的影響，存在三種狀態(tài)：暢銷 、一般 、滯銷 ，發(fā)生的概率分別是0.5、0.3、0.2，公司制定三種銷售方案相應(yīng)的收益情況如表6所示?！締栴}】該公司經(jīng)過深入的市場調(diào)查，對市場銷售前景進行了預(yù)報，記預(yù)報為暢銷、一般、滯銷的狀態(tài)分別為X1、X2、X3，似然函數(shù)如表7所示。表7數(shù)學(xué)模型第29頁，共36頁，2022年，5

23、月20日，8點40分，星期一那么，針對這三種預(yù)報狀態(tài)應(yīng)分別采用哪種銷售方案呢？由先驗概率、似然函數(shù)，通過全概率公式可以得后驗概率如表8所示。表8【問題求解】根據(jù)貝葉斯決策的期望值計算公式可得：當(dāng)預(yù)報暢銷時=0.77200+0.0750+0.16(100)=141.5數(shù)學(xué)模型第30頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一=0.77150+0.07100+0.16(50)=114.5=0.77180+0.0750+0.16(10)=140.5最佳行動方案是a1。當(dāng)預(yù)報暢銷時：當(dāng)預(yù)報銷售情況一般時，同理可得：最佳行動方案是a2。當(dāng)預(yù)報滯銷時，同理可得：最佳行動方案是a3。數(shù)學(xué)模型第3

24、1頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一3、效用決策法 效用最決策者對各行動損益值態(tài)度的一種度量，它反映了決策者的個人偏好。決策者越喜愛的行動，其效用值越大；決策者越厭惡的行動，其效用值越小?？梢姡в檬窃诒容^的意義上存在，是一種相對的概念。效用通常用u表示，簡單地，u可以取0u1 效用取值于效用函數(shù)，效用函數(shù)是以損益值為自變量，以效用值為因變量的單調(diào)上升函數(shù)，它反映的決策者的風(fēng)險態(tài)度。 前面介紹的兩種決策方法，以損益期望值作為決策的依據(jù)，決策過程注重客觀數(shù)據(jù)，但在某些決策活動中，決策者的主觀因素往往發(fā)揮了很大作用，所以，一種好的決策方法應(yīng)同時考慮主客觀兩方面因素，效用決策法就具有這種特點，它通過效用函數(shù)將決策者的主觀偏好與客觀的損益值巧妙地結(jié)合在一起，并用效用于以度量，最后以效用期望值作為決策的依據(jù)。數(shù)學(xué)模型第32頁，共36頁，2022年，5月20日，8點40分，星期一效用函數(shù)是效用決策法的關(guān)鍵，根據(jù)