剛體的角動量第次課

1、剛體的角動量第次課1第1頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一注意：2. 在剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量的表達(dá)式中， 所涉及的三個物理量都是相對于轉(zhuǎn)軸的，所以不用寫成矢量式。3. 對于密度均勻、形狀對稱、且繞幾何對稱軸旋轉(zhuǎn)的剛體。整個剛體對轉(zhuǎn)軸上任意一點(diǎn)的角動量L必定沿轉(zhuǎn)軸并與角速度的方向相同，故可寫成矢量式1. 與質(zhì)點(diǎn)動量表達(dá)式對比2第2頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一二、剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量定理將轉(zhuǎn)動定理 Mz=Ja 寫成下面的形式: 實驗表明, 此式更具普遍性。由上式得到 剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量定理 作定軸轉(zhuǎn)動的剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量的時間變化率，等于剛體相對于

2、同一轉(zhuǎn)軸所受外力的合力矩。3第3頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一角動量定理也可以寫為 Mz d t 稱為沖量矩, 等于力矩與力矩作用于剛體的時間的乘積。 對上式積分得到角動量定理的積分形式 該式表示：角動量的增量等于力矩對定軸轉(zhuǎn)動剛體的時間累積效應(yīng)4第4頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一 剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒定律 當(dāng)定軸轉(zhuǎn)動的剛體所受外力對轉(zhuǎn)軸的合力矩為零時,剛體對同一轉(zhuǎn)軸的角動量不隨時間變化。 剛體組繞同一轉(zhuǎn)軸作定軸轉(zhuǎn)動時 , 系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的角動量保持恒定，有兩種情形：一是系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量和角速度的大小均保持不變；另一種是轉(zhuǎn)動慣量改變 , 角速

3、度的大小也同時改變但兩者的乘積保持不變。恒量 如果 Mz = 0, 則 三、剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒定律 5第5頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一注意：該定律的應(yīng)用條件是: 剛體或剛體組必須滿 足所受外力的合力矩為零；2. 角動量、轉(zhuǎn)動慣量和角速度必須相對同一軸；3. 若將該定律應(yīng)用于剛體組，剛體組中各個剛 體之間可以發(fā)生相對運(yùn)動，但是它們必須是 相對于同一轉(zhuǎn)軸在轉(zhuǎn)動.6第6頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一 剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒是經(jīng)?？梢砸姷降?，如人手持啞鈴的轉(zhuǎn)動 ,芭蕾舞演員和花樣滑冰運(yùn)動員作各種快速旋轉(zhuǎn)動作, 都是利用了對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒

4、定律。 7第7頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一花樣滑冰中常見的例子花 樣 滑 冰收臂大小Iw張臂Jw大小先使自己轉(zhuǎn)動起來收臂大小Jw8第8頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一LwJ萬向支架受合外力矩為零回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對稱分布；軸摩擦及空氣阻力很小。角動量守恒LwJ恒矢量回轉(zhuǎn)儀定向原理wJ其中轉(zhuǎn)動慣量為常量若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向任一方向使其以角速度 高速旋轉(zhuǎn)則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變而不會受基座改向的影響基 座回轉(zhuǎn)體（轉(zhuǎn)動慣量 ）Jw9第9頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一 例1: 一根長為l、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，一端有一固定的光

5、滑水平軸，可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止在水平位置，求由此下擺 角時的角加速度和角速度。 解: 棒下擺為加速過程，外力矩為重力對O的力矩。重力作用在棒的重心 , 當(dāng)棒處在下擺 角時，重力矩為：l/2xO）P10第10頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一棒處于角時的角加速度為：由角加速度的定義 重力對整個棒的合力矩與全部重力集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。因為棒繞軸O的轉(zhuǎn)動慣量為：l/2xO）P11第11頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一作如下變換將上式兩邊積分角速度為12第12頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一例題2 一個

6、質(zhì)量為100kg的圓盤狀平臺，以1.05rad s-1的角速度繞通過中心的豎直軸自由旋轉(zhuǎn)，在平臺的邊緣站著一個質(zhì)量為60kg的人。問當(dāng)人從平臺邊緣走到盤的中心時，平臺的轉(zhuǎn)速是多少？當(dāng)人站在平臺的邊緣時，剛體組的轉(zhuǎn)動慣量為：解：因為帶人的平臺是自由轉(zhuǎn)動的，即不受外力矩的作用。若把人和平臺看成一個系統(tǒng)，應(yīng)滿足角動量守恒定律，則13第13頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一 當(dāng)人站在平臺中心時，剛體組的轉(zhuǎn)動慣量等于平臺本身的轉(zhuǎn)動慣量，即將J1和J2代入角動量守恒定律14第14頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一公式對比質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動或剛體平動 剛體的定軸轉(zhuǎn)動

7、速度角速度加速度角加速度位移角位移vrr1t2r()tr()r1t2()t()qqqwddtwddtqaaddtvddt勻速直線運(yùn)動srvt勻角速定軸轉(zhuǎn)動qwt勻變速直線運(yùn)動勻變角速定軸轉(zhuǎn)動s021+vt2atqw0+t21a2t2vv022asw2w022aqvv0+atww0+at15第15頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一剛體的平動剛體的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動定理轉(zhuǎn)動動能動能牛頓定律功力矩的功動能定理轉(zhuǎn)動動能定理16第16頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一剛體的平動剛體的轉(zhuǎn)動沖量沖量矩Mz d t動量定理角動量定理動量守恒定理角動量守恒定律恒量 機(jī)械能守

8、恒定律機(jī)械能守恒定律17第17頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一 一、固體在外力作用下的一般情形 形變 固體受外力作用所發(fā)生的形狀變化，分為彈性形變和塑性形變。 應(yīng)力 固體橫截面單位面積上內(nèi)力的改變量。應(yīng)力是固體在單位橫截面上產(chǎn)生的彈性力。 應(yīng)變 固體在外力作用下所發(fā)生的相對形變量。 固體受力作用而被拉伸的整個過程如圖所示。 BCEPPEBoo5-4 固體的形變和彈性 18第18頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一 曲線OP為直線，應(yīng)力 與應(yīng)變成正比，點(diǎn)P的應(yīng)力是滿足比例關(guān)系的最大應(yīng)力，稱比例極限（ P）。點(diǎn)E的應(yīng)力E是發(fā)生彈性形變的最大應(yīng)力，稱彈

9、性極限。當(dāng)應(yīng)力 E時，發(fā)生塑性形變。 點(diǎn)C 對應(yīng)的應(yīng)力為 C，若把外力撤除，固體的應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系沿O C變化，留下一定的剩余形變OO。 當(dāng)應(yīng)力達(dá)到點(diǎn) B 對應(yīng)的應(yīng)力 B時，固體就斷裂， B稱強(qiáng)度極限。BCEPPEBoo19第19頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一 有些固體的彈性極限與強(qiáng)度極限十分接近，因而塑性形變很小，稱為脆體；有些固體的彈性極限與強(qiáng)度極限相距較遠(yuǎn)，可以產(chǎn)生很大的塑性形變，稱為可塑體。 實驗發(fā)現(xiàn)，固體發(fā)生塑性形變后的硬度增大了，若再要使它發(fā)生塑性形變，需要的外力比先前要大。稱為加工硬化。 二、固體的彈性形變 (Elastic deformation )

10、 彈性形變有多種，最簡單的是長變和剪切。 長變 固體在外力作用下沿縱向拉伸或壓縮。 20第20頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一設(shè)有一均勻棒，如圖所示。 拉力規(guī)定為正力，形變L也是正的，固體被拉伸，如圖 (a)。 壓力規(guī)定為負(fù)力，形變L也是負(fù)的，固體被壓縮，如圖 (b) 。 在長變的情況下，固體的拉伸應(yīng)變n為 固體受到力Fn發(fā)生長變，在任一橫截面上出現(xiàn)的應(yīng)力 n為LL+ LFnFn(a)L+ LFnFn(b)21第21頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一 根據(jù)胡克定律，在比例極限內(nèi)， n與 n間存在線性關(guān)系 n = Y n 比例系數(shù)Y 稱為材料的長

11、變彈性模量，或楊氏模量，它決定于固體材料自身的性質(zhì)。 剪切 當(dāng)固體受到大小相等、方向相反、相距很近的兩個平行力作用時，在兩力間的固體各橫截面將沿外力方向發(fā)生相對錯動。物體錯動的角度稱為剪切角 ，如圖所示。 FtFt）ABSABCD22第22頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一固體的剪應(yīng)變 t為當(dāng) 很小時，近似有 t = 根據(jù)胡克定律，應(yīng)有 t = G t 比例系數(shù)G稱為固體材料的剪切模量，簡稱剪模量。 若橫截面的面積為S，則剪應(yīng)力 由于外力 與作用面是平行的，故固體橫截面上產(chǎn)生的應(yīng)力都與該截面相切，因而稱為剪應(yīng)力，如圖所示。 ）ttFtFtS23第23頁，共75頁，202

12、2年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一5-1 剛體的運(yùn)動小 結(jié) 剛體:在任何情況下,其大小和形狀都不變化的物體。或者說物體上任意兩點(diǎn)的相對位置保持不變。 平動 在剛體運(yùn)動過程中, 如果剛體上的任意一條直線始終保持平行, 這種運(yùn)動就稱為平動 轉(zhuǎn)動 在剛體運(yùn)動過程中, 如果剛體上所有的點(diǎn)都繞同一條直線作圓周運(yùn)動,那么這種運(yùn)動就稱為轉(zhuǎn)動。這條直線稱為轉(zhuǎn)軸 剛體的一般運(yùn)動質(zhì)心的平動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動+24第24頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一1. 剛體的轉(zhuǎn)動動能其中，2. 剛體的轉(zhuǎn)動慣量 與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)的因素：剛體的質(zhì)量大小和分布、轉(zhuǎn)軸的位置、剛體的形狀。 3. 平行軸定理4. 垂

13、直軸定理 5-2 剛體動力學(xué)25第25頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一5. 轉(zhuǎn)動定理6. 力矩作的功7. 動能定理26第26頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一 剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量 剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量定理27第27頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一 剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒定律 或 恒量 在定軸轉(zhuǎn)動中,如果 Mz = 0, 則 28第28頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一第六章 流體力學(xué)一. 物體六態(tài)： 固體、液體、氣體、等離子體、 玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)、費(fèi)米子凝聚態(tài) 等離子體：由離子、電子、中性粒子

14、等組成的氣體。例如 ：火焰電弧的高溫部分，太陽和其他星體表面氣層。 1995年，美國標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)研究院和美國科羅拉多大學(xué)的科學(xué)家組成的聯(lián)合研究小組，首次創(chuàng)造出物質(zhì)的第五態(tài)，即“玻色愛因斯坦凝聚態(tài)”。為此，2001年度諾貝爾物理學(xué)獎授予了負(fù)責(zé)這項研究的三位科學(xué)家。 29第29頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一 玻色愛因斯坦凝聚:是科學(xué)巨匠愛因斯坦在70年前預(yù)言的一種新物態(tài)。這里的“凝聚”與日常生活中的凝聚不同，它表示原來不同狀態(tài)的原子突然“凝聚”到同一狀態(tài)。玻色愛因斯坦凝聚態(tài)物質(zhì)由成千上萬個具有單一量子態(tài)的超冷粒子的集合，其行為像一個超級大原子，由玻色子構(gòu)成。 費(fèi)米子凝聚態(tài):

15、由于沒有任何兩個費(fèi)米子能擁有相同的量子態(tài)，費(fèi)米子的凝聚一直被認(rèn)為不可能實現(xiàn)。2004年，物理學(xué)家找到了一個克服以上障礙的方法，他們將費(fèi)米子成對轉(zhuǎn)變成玻色子。費(fèi)米子對起到了玻色子的作用，所以可讓氣體突然冷凝至玻色愛因斯坦凝聚態(tài)。 30第30頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一 粒子按其在高密度或低溫度時集體行為的不同可以分成兩大類：一類是費(fèi)米子，得名于意大利物理學(xué)家費(fèi)米，另一類是玻色子，得名于印度物理學(xué)家玻色。區(qū)分這兩類粒子的重要特征是自旋。自旋是粒子的一種與其角動量相聯(lián)系的固有性質(zhì)。量子力學(xué)所揭示的一個重要之處是，自旋是量子化的，這就是說，它只能取普朗克常數(shù)的整數(shù)倍（玻色

16、子，如光子、介子等）或半整數(shù)倍（費(fèi)米子，如電子、質(zhì)子等）。 31第31頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一超導(dǎo)體：在低溫時不存在電阻。如In, Sn, Al, Pb,Nb, 等金屬及其合金。1911年，昂內(nèi)斯發(fā)現(xiàn)Hg在4.2K 時電阻完全消失。超流態(tài)：是某些物質(zhì)的超低溫特性，例如超流體和超導(dǎo)體超流體：不存在粘滯現(xiàn)象，能流過10-5cm的毛細(xì)血管，能在固體表面擴(kuò)展成幾十個原子厚的薄膜（液氦在2.19K時為超流體）32第32頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一二. 流體：可以流動的物質(zhì)（氣體和液體）三. 流體的特性流動性：流體物質(zhì)的各部分之間發(fā)生相對運(yùn)動

17、粘滯性：流體各部分之間發(fā)生相對運(yùn)動時，存在摩擦現(xiàn)象3. 壓縮性：流體體積隨外部壓力而變化的特性33第33頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一6-1 流體的壓強(qiáng) 一 靜止流體內(nèi)一點(diǎn)的壓強(qiáng)1. 壓力： 流體內(nèi)部相互作用力和流體對器壁的作用力稱為壓力壓力的特點(diǎn)：1） 流體內(nèi)任意截面所受的壓力與該截面垂直，否則將有小部分沿截面流動；2） 流體內(nèi)任意截面所受的壓力為零，否則流體不能靜止；34第34頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一單位面積上所承受的沿法線方向的壓力的大小。 或 為壓力，面元 方向與點(diǎn)A的法向 一致。2. 壓強(qiáng) （Pressure）A注意：1.

18、 壓強(qiáng)是標(biāo)量,其值與面元的選取無關(guān)； 2. 壓強(qiáng)是位置的函數(shù)； 35第35頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一 圖中， 和 都通過點(diǎn)A， 的法線為 ， 的法線為 。兩面所受壓力大小和方向各不相同 , 但壓強(qiáng)是相同的, 都是點(diǎn)A的壓強(qiáng)。3. 壓強(qiáng)單位在SI中為Pa (帕斯卡, 簡稱帕) 1 Pa = 1 N m-2 另外還有 atm (標(biāo)準(zhǔn)大氣壓，簡稱大氣壓)、bar (巴) 、Torr (托)和毫米汞柱（mmHg） 1 bar = 105 Pa; 1 atm = 101325 Pa 1mmHg=133.322Pa; 1Torr=133.322PaA36第36頁，共75頁，

19、2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一二 靜止流體內(nèi)的壓強(qiáng)差1. 等高點(diǎn)的壓強(qiáng)相等FAFBA B 由于柱狀物體沿軸向沒有流動，根據(jù)牛頓定律知，它所受合外力為零，即或說明：靜止流體內(nèi)同水平高度的各點(diǎn)的壓強(qiáng)相等37第37頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一2. 兩點(diǎn)高度差h，其壓強(qiáng)差為ghyxdyyy+dyPAmg(P+dP)A體元所受重力： 由于體元是靜止的，所以所受合外力為零，即化簡為此式表明：流體內(nèi)各點(diǎn)的壓強(qiáng)是隨高度變化的。38第38頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一流體內(nèi)任意兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差可通過對上式積分求得：若A、B兩點(diǎn)的高度差為h，則兩

20、點(diǎn)的壓強(qiáng)差為：該式表明：兩點(diǎn)高度差h，其壓強(qiáng)差為gh說明：1）壓強(qiáng)差與密度有關(guān); 2) 對于氣體，密度 ，因此可認(rèn)為壓強(qiáng)處處相等，但對于大氣層，當(dāng)高度相差很大時 和g都是高度的函數(shù)，故39第39頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一3. 兩個原理（1）帕斯卡（Pascal）原理 施加壓強(qiáng)于密閉容器內(nèi)的流體，此壓強(qiáng)無變化地傳遞到流體的各部分及器壁上。（2）阿基米德（Archimedes）原理 當(dāng)一物體全部或部分地侵入流體中時，物體所受的浮力等于它所排開流體的重量。40第40頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一解： 水壩外側(cè)受大氣壓強(qiáng)的作用，而內(nèi)側(cè)也受大氣

21、壓強(qiáng)的作用（帕斯卡原理），故可以不考慮大氣壓強(qiáng)的作用。例題1 圖（a）和（b）分別是水壩的側(cè)視圖和前視圖。設(shè)水深為h，求水作用于大壩的水平合力和該力對過O點(diǎn)軸的力矩。ahOlxydybhyo41第41頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一 水中的壓強(qiáng)隨深度而變化，因此水壩受水的作用力是不均勻的，是深度的函數(shù)。1. 求力F: 取水壩l長的一部分，受水作用的面積為S=lh， 在其坐標(biāo)為y處取dy深的一面積元ds=ldy,則作用在該面元上的力為：所以水作用于lh面積的水壩上的水平作用力為：lxydybhyo42第42頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一作用在

22、單位長度面積上的水平力為2. 求力矩：dF相對于過O點(diǎn)軸的力矩：43第43頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一對上式積分：44第44頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一 一、關(guān)于理想流體的幾個概念 (perfect fluid ) 1. 理想流體 實際液體和氣體除具有共同的流動性外, 還在不同程度上具有兩種性質(zhì)：可壓縮性和黏性。 理想流體 絕對不可壓縮和完全沒有黏性的流體。 2. 定常流動 流體質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)空間任一給定點(diǎn)的速度是確定的，且不隨時間變化，稱為定常流動。例如, 沿著管道或渠道緩慢流動的水流, 在一段不長的時間內(nèi)可以認(rèn)為是定常流動。6-2 理想

23、流體及其連續(xù)性方程 45第45頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一 3. 流線 為了形象地描述流體的運(yùn)動 , 在流體中畫一系列曲線 , 每一點(diǎn)的切線方向與流經(jīng)該點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)的速度方向相同,稱為流線。 定常流動中的流線 不隨時間變化； 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡； 任何兩條流線不相交。 4. 流管 流線圍成的管狀區(qū)域。流管內(nèi)外的流體不能交換流體在流管中的流動狀況就是整個流體流動狀況的縮影46第46頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一二、理想流體的連續(xù)性方程 (the equation of continuity ) 在細(xì)流管中,流體流經(jīng)截面S1和S2的速率為v1和v

24、2 , 在t時間內(nèi)流過這兩個截面的流體體積分別為V1 = S1 v1 t V2 = S2 v2 t v1v2S1S2對于不可壓縮流體 S1 v1= S2 v2 或 S v = 恒量 上式稱為理想流體的連續(xù)性方程。1. 連續(xù)性方程47第47頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一 理想流體作定常流動時, 速率與流管截面積的乘積為恒量, 或者說速率與流管的截面積成反比。注意：選擇流管時，不能過粗，否則橫截面S上各點(diǎn)的流速就不一定相等；該方程適應(yīng)于任何不可壓縮流體；3. 由連續(xù)性方程可以斷定，在流速大的地方，流管狹窄，流線必定密集；在流速小的地方，流管粗大，流線必定疏散。S v =

25、 恒量48第48頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一2. 質(zhì)量守恒定律在連續(xù)性方程兩邊同乘以流體密度, 即 S v = 恒量 對于可壓縮的流體，連續(xù)性方程不一定正確，但質(zhì)量守恒仍然成立，因此上式是一般流體的連續(xù)性方程。 該式說明在同一時間內(nèi)流入某段流管的流體的質(zhì)量與流出的相同。 由于密度是一個隨流動而變化的量，上面根據(jù)流線的疏密反映流速的大小也就不再正確。例如，超音速氣流49第49頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一 如果在某一管道的橫截面上各點(diǎn)的流速都相等, 流量可以表示為 QV = S v 3. 流量（體積流量）單位時間內(nèi)流過某一截面的流體體積。

26、流過截面S1和S2的流量為v1v2S1S250第50頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一如果截面上各點(diǎn)流速不相等,通過面元dS的流量為dQV = v dS 通過整個截面的流量引入平均流速的概念： 上式在處理具體問題時經(jīng)常采用。 51第51頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一6-3 伯努利(Bernoulli)方程 伯努利: 1700年2月8日生于荷蘭格羅寧根；1782年3月17日卒于瑞士巴塞爾數(shù)學(xué)、物理學(xué)、醫(yī)學(xué)家1715年獲得學(xué)士學(xué)位，1716年獲得藝術(shù)碩士學(xué)位 1721年通過論文答辯，獲得醫(yī)學(xué)博士學(xué)位 丹尼爾的學(xué)術(shù)著作非常豐富，他的全部數(shù)學(xué)和力學(xué)著

27、作、論文超過80種1738年他出版了一生中最重要的著作流體動力學(xué).(17251757年的30多年間他曾因天文學(xué)(1734)、地球引力(1728)、潮汐(1740)、磁學(xué)(1743，1746)洋流(1748)、船體航行的穩(wěn)定(1753，1757)和振動理論(1747)等成果，獲得了巴黎科學(xué)院的10次以上的獎賞特別是1734年，他與父親約翰以“行星軌道與太陽赤道不同交角的原因” 的佳作，獲得了巴黎科學(xué)院的雙倍獎金 52第52頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一 丹尼爾獲獎的次數(shù)可以和著名的數(shù)學(xué)家歐拉相比，因而受到了歐洲學(xué)者們的愛戴，1747年他成為柏林科學(xué)院成員，1748年成

28、為巴黎科學(xué)院成員，1750年被選為英國皇家學(xué)會會員. 在科學(xué)史上，父子科學(xué)家、兄弟科學(xué)家并不鮮見，然而，在一個家族跨世紀(jì)的幾代人中，眾多父子兄弟都是科學(xué)家的較為罕見，其中，瑞士的伯努利家族最為突出。伯努利家族3代人中產(chǎn)生了8位科學(xué)家，出類拔萃的至少有3位；而在他們一代又一代的眾多子孫中，至少有一半相繼成為杰出人物。伯努利家族的后裔有不少于120位被人們系統(tǒng)地追溯過，他們在數(shù)學(xué)、科學(xué)、技術(shù)、工程乃至法律、管理、文學(xué)、藝術(shù)等方面享有名望，有的甚至聲名顯赫。最不可思議的是這個家族中有兩代人，他們中的大多數(shù)數(shù)學(xué)家，并非有意選擇數(shù)學(xué)為職業(yè)，然而卻忘情地沉溺于數(shù)學(xué)之中，有人調(diào)侃他們就像酒鬼碰到了烈酒。53

29、第53頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一伯努利(Bernoulli)方程 在重力場中作定常流動的理想流體內(nèi)任取一細(xì)流管, S1和 S2表示兩個橫截面的面積,h1 和 h2是它們相對同一個水平參考面的高度。 由于理想流體是不可壓縮的, 從S1到S1之間的流體質(zhì)量等于從 S2到 S2之間的質(zhì)量m。 整個流體塊從位置S1-S2流到位置 S1-S2的過程中，機(jī)械能的增量E為v1v2S1S2S1S2h2h154第54頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一機(jī)械能增量 如果作用于S1上的壓力為 f1 , 在 t 內(nèi)S1移過距離 v1t 到達(dá)S1，則 f1作的功為

30、A1 = p1 S1v1t v1v2S1S2S1S2h2h155第55頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一對于截面S2 ， f2對流體塊所作的功A2 = p2 S2v2t 根據(jù) S1 v1 = S2v2 , 并且 得 周圍流體的壓力對流體塊作的總功為根據(jù)功能原理 E = A 56第56頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一即 整理可得 去掉角標(biāo), 對于同一條細(xì)流管中的任一截面, 下面的關(guān)系總是成立的恒量 上面兩式都稱為伯努利方程, 它們描述了理想流體作定常流動時的基本規(guī)律。57第57頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一討論：恒量

31、1. 若水平流動， , 則有恒量 說明：水平流動的流管中，壓強(qiáng)大的地方流速?。粔簭?qiáng)小的地方流速大。2. 由連續(xù)方程， 知，管細(xì)的地方流速大，管粗的地方流速小。58第58頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一空吸現(xiàn)象推論：細(xì)管處（流速大）壓強(qiáng)小 粗管處（流速?。簭?qiáng)大3. 當(dāng)兩處流速相同時，即 說明：高度低的地方壓強(qiáng)大，高度高的地方壓強(qiáng)小，這與流體靜力學(xué)中的結(jié)果一致。4. 當(dāng)V0時，流體靜止或者 59第59頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一注意： 理想流體在重力的作用下作定常流動時才成立； 該方程也只適用于對慣性系中的流動的描述，若在非慣性系中，同樣要

32、附加慣性力。如果A、B兩點(diǎn)的高度相等, 則由上式得 pA = pB 這表明, 靜止流體中同高度兩點(diǎn)的壓強(qiáng)相等。 60第60頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一hABQo 它由兩個同軸細(xì)管組成, 內(nèi)管的開口在正前方。外管的開口在管壁上, 如圖中B所示。兩管分別與U型管的兩臂相連, 在U型管中盛有液體(如水銀), 構(gòu)成了一個壓強(qiáng)計, 由U型管兩臂的液面高度差h確定氣體的流速。 例1：皮托管是測定流體流速的儀器, 常用來測定氣體的流速。61第61頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一 解：在A 處氣流速率為零, 在流線OA上運(yùn)用伯努利方程, 得到對于流線QB

33、 點(diǎn)O和點(diǎn)Q非常接近, 可認(rèn)為各量相等。又因皮托管一般都很細(xì), 點(diǎn)A與點(diǎn)B的高度相差很小, hA = hB ?？紤]到這些條件, 得vB 是待測氣流的流速。hABQo62第62頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一如果壓強(qiáng)計中液體的密度為 , 則 比較上面兩式得 所以 這樣，就可以由壓強(qiáng)計兩液面的高度差h, 計算出待測氣流速率。 hABQo63第63頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一例2： 求水從容器 壁小孔中流出時的速率。AB 解： 在液面和小孔處取任意流線AB，在這條流線上運(yùn)用伯努利方程，得：A點(diǎn)： B點(diǎn)：取小孔處的高度為零，則 hA = h64第64頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一 可見, 小孔處水的流速，與物體從h處自由下落到小孔處的速率是相同的。65第65頁，共75頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期一z例題3 一倒立圓錐形容器，高為h，底面半徑為R，裝滿水（理想流體）。錐