分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理

1、分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理第1頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一 2008年29屆夏季奧運會在北京舉行奧運會足球賽共有個隊參賽它們先分成個小組進行循環(huán)賽，決出強，這個隊按確定的程序進行淘汰賽后，最后決出冠亞軍，此外還決出了第三、第四名問一共安排了多少場比賽？實際問題 要回答這個問題，就要用到排列、組合的知識在運用排列、組合方法時，經(jīng)常要用到分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理第2頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一 用一個大寫的的英文字母或一個阿拉伯數(shù)字給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？問題 1第3頁，共78頁，2022年，5月20日，1

2、1點3分，星期一問題 2. 從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中，火車有4 班, 汽車有2班，輪船有3班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?分析: 從甲地到乙地有3類方法, 第一類方法, 乘火車，有4種方法; 第二類方法, 乘汽車，有2種方法; 第三類方法, 乘輪船, 有3種方法; 所以 從甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 種方法。 第4頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一一、分類計數(shù)原理 完成一件事，有兩類辦法. 在第1類辦法中有m種不同的方法，在第2類方法中有n種不同的方法，則完成這件事共有 2）首先要根據(jù)具體

3、的問題確定一個分類標準，在分類標準下進行分類，然后對每類方法計數(shù).1）各類辦法之間相互獨立,都能獨立的完成這件事，要計算方法種數(shù),只需將各類方法數(shù)相加,因此分類計數(shù)原理又稱加法原理說明N= m+n種不同的方法第5頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一問題3、用前6個大寫英文字母和19九個阿拉伯數(shù)字，以A1，A2，B1，B2，的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？第6頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一字母數(shù)字得到的號碼A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9樹形圖第7頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一第

4、8頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一二、分步計數(shù)原理 完成一件事，需要兩個步驟。做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，則完成這件事共有 2）首先要根據(jù)具體問題的特點確定一個分步的標準，然后對每步方法計數(shù).1）各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了,這件事才算完成,將各個步驟的方法數(shù)相乘得到完成這件事的方法總數(shù),又稱乘法原理說明N= mn種不同的方法第9頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一 加法原理 乘法原理聯(lián)系區(qū)別一完成一件事情共有n類辦法，關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事情,共分n個步驟，關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法都能獨立完成這件事情。每

5、一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能能獨立完成這件事情，缺少任何一步也不能完成這件事情，只有每個步驟完成了，才能完成這件事情。分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理，回答的都是關(guān)于完成一件事情的不同方法的種數(shù)的問題。區(qū)別三各類辦法是互斥的、并列的、獨立的各步之間是相關(guān)聯(lián)的分類計數(shù)與分步計數(shù)原理的區(qū)別和聯(lián)系：第10頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一例1在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到A、B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，具體情況如下：A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)化學(xué)醫(yī)學(xué)物理學(xué)工程學(xué)數(shù)學(xué)會計學(xué)信息技術(shù)學(xué)法學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？解：這名同學(xué)在A大學(xué)中有

6、5種專業(yè)選擇，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇。根據(jù)分類計數(shù)原理：這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有5+49種。第11頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一例2、設(shè)某班有男生30名，女生24名?，F(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？例3、肥城市的部分電話號碼是0538323,后面每個數(shù)字來自09這10個數(shù),問可以產(chǎn)生多少個不同的電話號碼?變式: 若要求最后4個數(shù)字不重復(fù),則又有多少種不同的電話號碼?053832310101010=104分析:分析:=504010987第12頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一例4、 書架上第1層放有4本不同的計

7、算機書,第 2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育雜志.(2)從書架的第1、 2、 3層各取1本書,有多少種 不同取法? N43+29 N4 3224(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?第13頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一解：需先分類再分步.（3）從書架上取2本不同種的書,有多少種不同的取法?根據(jù)兩個基本原理，不同的取法總數(shù)是 N=43+42+32=26第一類：從一、二層各取一本，有43=12種方法；第二類：從一、三層各取一本，有42=8種方法；第三類：從二、三層各取一本，有32=6種方法；答: 從書架上取2本不同種的書,有26種不同的取法.第1

8、4頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一例 要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？32第15頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一4. 要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？第一步：選1人上日班；第二步：選1人上晚班.有3種方法有2種方法N326（種）第16頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一5.從5人中選4人參加數(shù)、理、化學(xué)科競賽，其中數(shù)學(xué)2人，理、化各1人，求共有多少種不同的選法？數(shù)學(xué)2人化學(xué)1人物理1人5種4種3種N54360（種）第17頁，共7

9、8頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一6.三個比賽項目，六人報名參加。）每人參加一項有多少種不同的方法？）每項人，且每人至多參加一項，有多少種不同的方法？）每項人，每人參加的項數(shù)不限，有多少種不同的方法？第18頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一7.現(xiàn)要安排一份5天值班表，每天有一個人值班。共有5個人，每個人都可以值多天班或不值班，但相鄰兩天不能由同一個人值班，問此值班表由多少種不同的排法？解：分5步進行：第一步：先排第一天，可排5人中的任一個，有5種排法；第二步：再排第二天，此時不能排第一天的人，有4種排法;第三步：再排第三天，此時不能排第二天的人，有4種排法;

10、第四步：同前第五步：同前由分步計數(shù)原理可得不同排法有544441280種第19頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一8.個班分別從個風景點中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)是還是？9.乘積（a1+a2+a3 ）（b1+b2+b3+b4 ）（c1+c2+c3+c4+c5）展開后共有多少項？第20頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一 10.如圖,該電路,從A到B共有多少條不同的線路可通電？AB第21頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一解: 從總體上看由A到B的通電線路可分三類, 第一類, m1 = 3 條 第二類, m2 = 1 條 第三類,

11、m3 = 22 = 4, 條 所以, 根據(jù)分類原理, 從A到B共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 條不同的線路可通電。在解題時有時既要分類又要分步。第22頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一1、分類加法計數(shù)原理：完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法,在第2類辦法中有m2種不同的方法在第n類辦法中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有 種不同的方法.2、分步乘法計數(shù)原理：完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共有 種不同的方法.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理

12、的共同點：不同點：分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān)，分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān)?；卮鸬亩际怯嘘P(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題第23頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一分類計數(shù)原理 分步計數(shù)原理完成一件事，共有n類辦法，關(guān)鍵詞“分類”區(qū)別1完成一件事，共分n個步驟，關(guān)鍵詞“分步”區(qū)別2區(qū)別3每類辦法都能獨立地完成這件事情，它是獨立的、一次的、且每次得到的是最后結(jié)果，只須一種方法就可完成這件事。每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事。各類辦法是互相獨立的。各步之間是互相關(guān)聯(lián)的。即：類類獨立，步步關(guān)聯(lián)。第

13、24頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一例1. 五名學(xué)生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數(shù)為多少？又他們爭奪這四項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？ 解：（1）5名學(xué)生中任一名均可報其中的任一項，因此每個學(xué)生都有4種報名方法，5名學(xué)生都報了項目才能算完成這一事件故報名方法種數(shù)為44444= 種 .（2）每個項目只有一個冠軍，每一名學(xué)生都可能獲得其中的一項獲軍，因此每個項目獲冠軍的可能性有5種故有n=5= 種 .第25頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一例2.給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首個字符要求用字母AG或UZ，后兩個要求用

14、數(shù)字19，問最多可以給多少個程序命名？分析：要給一個程序模塊命名，可以分三個步驟：第一步，選首字符；第二步，先中間字符；第三步，選末位字符。解：首字符共有7+613種不同的選法，答：最多可以給1053個程序命名。中間字符和末位字符各有9種不同的選法根據(jù)分步計數(shù)原理，最多可以有13991053種不同的選法第26頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一例3.核糖核酸（RNA）分子是在生物細胞中發(fā)現(xiàn)的化學(xué)成分，一個RNA分子是一個有著數(shù)百個甚至數(shù)千個位置的長鏈，長鏈中每一個位置上都由一種稱為堿基的化學(xué)成分所占據(jù)，總共有個不同的堿基，分別用A，C，G，U表示，在一個RNA分子中，各種堿

15、基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個位置上的堿基與其他位置上的堿基無關(guān)。假設(shè)有一類RNA分子由100個堿基組成，那么能有多少種不同的RNA分子？UUUAAACCCGGG分析:用100個位置表示由100個堿基組成的長鏈，每個位置都可以從A、C、G、U中任選一個來占據(jù)。第1位第2位第3位第100位4種4種4種4種解：100個堿基組成的長鏈共有100個位置，在每個位置中，從A、C、G、U中任選一個來填入，每個位置有4種填充方法。根據(jù)分步計數(shù)原理，共有種不同的RNA分子.第27頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一例4.電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與底等兩種狀態(tài)，而這也是

16、最容易控制的兩種狀態(tài)。因此計算機內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的計數(shù)法，即二進制，為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用一個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由個二進制位構(gòu)成，問（1）一個字節(jié)（8位）最多可以表示多少個不同的字符？（2）計算機漢字國標碼（GB碼）包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？第1位第2位第3位第8位2種2種2種2種如00000000，10000000，11111111.第28頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一開始子模塊118條執(zhí)行

17、路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A例5.計算機編程人員在編寫好程序以后要對程序進行測試。程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路（即程序從開始到結(jié)束的線），以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù)。一般的，一個程序模塊又許多子模塊組成，它的一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊。問：這個程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？另外為了減少測試時間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù)，你能幫助程序員設(shè)計一個測試方式，以減少測試次數(shù)嗎？第29頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)

18、行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A分析：整個模塊的任意一條路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點；第2步是從A點執(zhí)行到結(jié)束。而第步可由子模塊1或子模塊2或子模塊3來完成；第二步可由子模塊4或子模塊5來完成。因此，分析一條指令在整個模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個計數(shù)原理。第30頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，需要測試的次數(shù)為：3*2=6。如果每個子模塊都正常工作，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模塊就

19、正常。這樣，測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)?172+6=178（次）2）在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊。這樣，他可以先分別單獨測試5個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常?？偣残枰臏y試次數(shù)為：18+45+28+38+43=172。第31頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一例6.隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需要擴容。交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個汽車牌照都必須有個不重復(fù)的英文字母和個不重復(fù)的阿拉伯數(shù)字，并且個字母必須合成一組出現(xiàn)，個數(shù)字也必須合成一組出

20、現(xiàn)，那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照?第32頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一課堂練習1、乘積 展開后共有幾項？2、某商場有6個門，如果某人從其中的任意一個門進入商場，并且要求從其他的門出去，共有多少種不同的進出商場的方式？第33頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一 3.如圖,該電路,從A到B共有多少條不同的線路可通電？AB課堂練習第34頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一第35頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一第36頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一第37頁，共78頁，2022年，5月

21、20日，11點3分，星期一第38頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一第39頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一第40頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一第41頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一第42頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一第43頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一第44頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一第45頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一第46頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一第47頁，共78

22、頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一第48頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一第49頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一第50頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一第51頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一第52頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一所以, 根據(jù)分類原理, 從A到B共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 條不同的線路可通電。在解題有時既要分類又要分步。解: 從總體上看由A到B的通電線路可分三類,第一類, m1 = 3 條第二類, m2 = 1 條第三類, m3 = 22

23、= 4, 條第53頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一 4、如圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有3條路；從甲地到丙地有4條路可以走，從丙地到丁地有2條路。從甲地到丁地共有多少種不同地走法？甲丙丁乙第54頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一 變式1:要把3個球放入2兩個不同的口袋,有幾種不同的放法? 變式2: 要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？ 變式3: 要把1,2,3,4四個數(shù)放入下面三個格子里,數(shù)字不可重復(fù),有多少種不同的放法？第55頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一 變式4:體育彩票中的

24、排列5中獎號碼有5位數(shù)碼，每位數(shù)若是0-9這十個數(shù)字中任一個，則產(chǎn)生中獎號碼所有可能的種數(shù)是多少？10=10510101010變式5：0-9這十個數(shù)一共可以組成多少5位數(shù)字？9=9 10410101010第56頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一注意：分步乘法計數(shù)關(guān)鍵要算好每一步的方法數(shù) 變式6：0-9這十個數(shù)一共可以組成多少個數(shù)字不重復(fù)的5位數(shù)字？9=272169876第57頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一 變式7:如圖,要給下面A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上5種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案

25、有多少種？N = 5 4 34 = 240注意：分步乘法計數(shù)關(guān)鍵要算好每一步的方法數(shù)第58頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一 變式8：五名學(xué)生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數(shù)為多少？N=44444注意：分步乘法計數(shù)關(guān)鍵要算好每一步的方法數(shù)第59頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一 2、某商場有6個門，如果某人從其中的任意一個門進入商場，并且要求從其他的門出去，共有多少種不同的進出商場的方式？課堂練習： 1、一個商店銷售某種型號的電視機，其中本地的產(chǎn)品有4種，外地的產(chǎn)品有7種，要買1臺這種型號的電視機，有多少種不同的選法？ 3、如圖,要

26、給下面四個區(qū)域分別涂上5種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？第60頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一 例1 一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共10個數(shù)字，這4個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)字號碼？N1010101010000（種）典例講評第61頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一 例2 要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？第一步：選1人上日班；第二步：選1人上晚班.有3種方法有2種方法N326（種）典例講評第62頁，共78頁，2022年，5月20

27、日，11點3分，星期一 例3 某班有5人會唱歌，另有4人會跳舞，還有2人能歌善舞，從中任選1人表演一個節(jié)目，共可表演多少個節(jié)目？N542213（種）第1類：從會唱歌者中選1人唱歌；第2類：從會跳舞者中選1人跳舞；第3類：從能歌善舞者中選1人唱歌 或跳舞；第63頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一 例4 有架樓梯共6級，每次只允許上一級或兩級，求上完這架樓梯共有多少種不同的走法？第1類：走3步第2類：走4步第3類：走5步第4類：走6步1種走法6種走法5種走法1種走法N165113（種）第64頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一 例5 由數(shù)字0，1，2，3，

28、4，5可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？百位 十位 個位5種4種5種N554100（種）典例講評第65頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一 例6 從5人中選4人參加數(shù)、理、化學(xué)科競賽，其中數(shù)學(xué)2人，理、化各1人，求共有多少種不同的選法？數(shù)學(xué)2人化學(xué)1人物理1人5種4種3種N54360（種）典例講評第66頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一 例7 在1，2，3，200這些自然數(shù)中，各個數(shù)位上都不含數(shù)字8的自然數(shù)共有多少個？不含8的一位數(shù)不含8的二位數(shù)不含8的三位數(shù)8個89=72個99+1=82個N87282162（個）第67頁，共78頁，2022年，5月2

29、0日，11點3分，星期一 例8 用5種不同顏色給圖中A，B，C，D四個區(qū)域涂色，每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域的顏色不同，求共有多少種不同的涂色方法？ADCBN5433180（種）5433第68頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一 例9 將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端點顏色不同，如果只有5種顏色可供使用，求共有多少種不同的染色方法？SDCBA涂S點 涂A點 涂D點 涂B、C點5437N5437420（種）第69頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一 例10 從3，2，1，0，1，2，3中任取三個不同的數(shù)作為拋物線y=ax2+bx+

30、c(a0)的系數(shù)，如果拋物線過原點，且頂點在第一象限，問這樣的拋物線共有多少條？c取值a取值b取值1種3種3種N3319（種）c1 a0 b0第70頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一 例11 某4名田徑運動員報名參加100m，200m和400m三項短跑比賽.（1）每人限報1個項目，共有多少種不 同的報名方法？（2）每個項目限報1人，共有多少種不同的報名方法？（1）3481種； （2）4364種. 第71頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一 例12 630的正約數(shù)（包括1和630）共有多少個？63023257正約數(shù):2a3b5c7d 232224（個） 典例講評第72頁，共78頁，2022年，5月20日，11點3分，星期一 例13 將20個大小相同的小球放入編號為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒子內(nèi)的球數(shù)不小于該盒子的編號數(shù)，求共有多少種不同的放法？1514211