《數(shù)列中的分類討論》

1、數(shù)列中的分類討論青浦區(qū)教師進修學院 倪明教學目標：1.整理和歸納數(shù)列中常見需用分類討論處理的問題，在整理和歸納中積累特殊數(shù)列判斷、求數(shù)列前項和、求數(shù)列極限等方面的運算經(jīng)驗，加深對數(shù)學分類討論思想方法的理解；2.會正確確定分類對象和分類標準，能正確把握住分類原則，從而促進嚴謹科學態(tài)度和創(chuàng)設條件改變現(xiàn)狀的積極進取態(tài)度的形成。教學重點：數(shù)列中常見的分類討論以及如何確定分類對象、分類標準及分類原則。教學難點：確定分類標準及分類原則教學過程：例1 數(shù)列的前項和為，已知，求數(shù)列的通項公式，并判斷是否為等差數(shù)列解：時，時，當時，是等差數(shù)列；當時，不是等差數(shù)列；設計本題的意圖是回憶在數(shù)列問題中由求就要對項數(shù)分

2、與進行討論；對通項公式中含參數(shù)問題，則應從定義出發(fā)討論參數(shù)。例2 已知數(shù)列滿足（為常數(shù)）且（1） 若是等比數(shù)列，試求的前項和；解：由題是以1為首項，為公比（）的等比數(shù)列，時，（為常數(shù)）是以為首項，為公比的等比數(shù)列，設計本題的意圖是解決利用等比數(shù)列求和公式時應注意公比或。（2） 若是等比數(shù)列，試求解：由1知設計本題的意圖是解決形如的數(shù)列極限時要根據(jù)底數(shù)范圍進行分類討論。（3） 若，求的前項和；解：由題，時，時， （4）若是公比大于0的等比數(shù)列時，試判斷是否為等比數(shù)列？解：由題，設的公比為，則，時，數(shù)列為易知當時是等比數(shù)列，當時不是等比數(shù)列。（3）（4）兩小題涉及到的是一個數(shù)列由兩個數(shù)列逐項鑲嵌而

3、成的情況（隔項成等比），求數(shù)列通項公式或前項和時，必須對奇偶項進行分類處理。課堂小結：數(shù)列中常見分類討論說明：1由求就要分與進行討論。2利用等比數(shù)列求和公式注意或。3求數(shù)列極限時要根據(jù)底數(shù)范圍進行分類討論。4若一個數(shù)列由兩個數(shù)列逐項鑲嵌而成的話，求數(shù)列通項公式或前項和時，必須對奇偶項進行分類處理。5若數(shù)列中含參數(shù)，則判斷數(shù)列為什么特殊數(shù)列時，要求對參數(shù)進行分類討論。6會正確確定數(shù)列中出現(xiàn)的分類對象和分類標準，能正確把握住分類原則。作業(yè)布置：1已知其中aR，則a的取值范圍是( )A a0 B a2或a2C 2a2 D a2或a22設首項為1，公比為q（q0）的等比數(shù)列的前n項和為,又設，求 3數(shù)

4、列的前項和為，已知，求數(shù)列的通項公式4已知有窮數(shù)列共有項（整數(shù)），首項2設該數(shù)列的前項和為，且2（），其中常數(shù)1。（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若2，數(shù)列滿足（1，2，2），求數(shù)列的通項公式；（3）若（2）中的數(shù)列滿足不等式|4，求的值。5已知等差數(shù)列滿足：公差，且。對于任意自然數(shù)都有數(shù)列滿足： （其中為非零常數(shù)，且）（1）當時，求數(shù)列的通項公式；（2）若，且為數(shù)列的前項和，試判斷的極限是否存在？若存在，求出它的值；若不存在，試說明理由。教學設計說明： 分類討論是研究問題的一種邏輯方法，也是高中數(shù)學中非常重要的數(shù)學思想，能夠培養(yǎng)學生在處理問題時具體問題具體分析的嚴謹科學的態(tài)度。而數(shù)列中的分

5、類討論相對集中，同時也是學生在處理過程中失誤較多的地方，為了幫助學生進一步鞏固數(shù)列的相關知識，歸納和總結分類討論思想在數(shù)列中的應用，掌握分類討論的對象、標準和原則，能夠準確處理相關問題，準備了本節(jié)課。本節(jié)課內(nèi)容“數(shù)列中的分類討論”是高三專題復習課，復習涵蓋知識與方法兩部分內(nèi)容。我的設想是讓學生通過數(shù)列這樣一個典型的內(nèi)容，以一個比較簡潔的例題為載體，將分類中的關鍵問題即：會正確確定分類對象和分類標準，能正確把握住分類原則落實到位，其次對專題課而言，與之匹配的習題必不可少。整堂課的重點是以一個簡潔又典型的數(shù)列例題設置了四個具有遞進性的問題，由簡單到復雜，教學中逐個由學生自己來解決，使得常見分類的方

6、法一一展示，能暴露學生思維過程。整個過程設計符合學生的認知規(guī)律，以學生活動為主，教師作引導。對一個數(shù)列由兩個數(shù)列逐項鑲嵌而成的情況，對學生來說在分類討論中是一個難點，所以在教學過程中板書設計也是需要關注的環(huán)節(jié)，合理清晰的板書設計對理清問題有事半功倍的效果。在教學過程中采用了學生的獨立完成與小組討論相結合，教師提示與歸納總結相結合的原則，充分體現(xiàn)以學生發(fā)展為本的原則。通過本節(jié)課的學習期望學生能夠樹立分類討論思想，注重理解和掌握分類的對象、標準和原則，選擇方法與技巧，做到確定對象的全體，明確分類的標準，分層別類不重復、不遺漏的分析討論。教后感：本節(jié)課的課題是數(shù)列中的分類討論問題。有關分類討論的數(shù)學

7、問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性。實質上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù)學策略。分類討論是高中數(shù)學中常用的重要思想方法，學生在平時學習時比較多限于零碎的分類討論問題，就如何使用分類討論和使用時注意的問題缺少一些通法通則。在這節(jié)專題復習課上，根據(jù)高三學生的特點，教學中遵照循序漸近、逐步深化的原則并采用靈活多變和有效的教學手段來實施分類討論方法的教學基本上比較成功。在例題的選擇方面，原本的想法是想做到面面俱到，代數(shù)和幾何都有關于分類討論方面的問題，事實上研究后發(fā)現(xiàn)數(shù)列中的分類討論相對集中，同時也是學生在處理過程中失誤較多的地方，為了幫助學生進一步

8、鞏固數(shù)列的相關知識，歸納和總結分類討論思想在數(shù)列中的應用，掌握分類討論的對象、標準和原則，能夠準確處理相關問題，因此準備了本節(jié)課。選擇具有代表性的簡潔的例題，不會使學生有畏難情緒，在分析例題時，關鍵要抓住什么來講也是值得斟酌的，如例2（3）中需要有清晰又詳細的板書，例2（4）中卻不必有詳細的證明，簡潔的說明就能解決問題，嚴格的證明反倒會使學生覺得枯燥乏味。而且所有的環(huán)節(jié)都要緊扣本節(jié)課的主題。本節(jié)課就是按這一原則進行的，學生在自主小結環(huán)節(jié)中對數(shù)列中常見下列分類討論的情況：由求就要分與進行討論；利用等比數(shù)列求和公式注意或；求“指數(shù)型”數(shù)列極限時要根據(jù)底數(shù)范圍進行分類討論等都有提及，“會正確確定數(shù)列中出現(xiàn)的分類對象和分類標準，能做到不重不漏的分類原則”都說明學生在這節(jié)課的學習過程中體會到了這節(jié)課的關鍵，所以目標達成度較高。在習題的選擇方面，遵循作業(yè)是課堂的延伸原則，既保證作業(yè)和課堂內(nèi)容的匹配性，又要把課堂中放不下的部分