初二數(shù)學(xué).秋.直升班.教師版.第4講幾何變換之軸對稱

1、第四講幾何變換之軸對稱（二）軸對稱變換一般應(yīng)用于處理整個(gè)圖形是非軸對稱圖形而其中有部分軸對稱圖形（相對于整個(gè)圖形而言，稱為軸對稱子圖形），構(gòu)造往往非常巧妙，往往不容易想到，但是同學(xué)們要掌握構(gòu)造軸對稱的思想。本講主要講解在中考中和直升考試中，常見的一些構(gòu)造軸對稱的模型：倍角模型；等線段、等腰三角形與軸對稱變換；構(gòu)造特殊角形成特殊的三角形。模塊一倍角模型倍角模型與半角模型類似，本質(zhì)都是轉(zhuǎn)化成等角模型；利用軸對稱思想構(gòu)造出角平分線，進(jìn)而得到等腰三角形就是解決問題的一種常見方法。例1如圖所示，在ABC中，ADBC于點(diǎn)D，B2C求證：ABBDCDAAAACDBDCDBCEDB解法一：用倍角模型容易解決如

2、圖作ABC關(guān)于BC的垂直平分線對稱的ACB，設(shè)高線AD關(guān)于BC的垂直平分線對稱為AD，則B2C，ABAAAC，而AADDCDCDCDBD因此ABBDCD解法二：由已知ADBC，B2C，如果我們在CD上截取DEDB，連接AE，就可以構(gòu)造出兩個(gè)等腰三角形ABE和AEC解法三：延長CB至點(diǎn)E，使得BEAB，則容易證明ACE也為等腰三角形【教師備課提示】這道題主要是引出倍角模型例2初二數(shù)學(xué).秋第4講目標(biāo)名校直升班教師版41如圖，AOB是等腰三角形，AOAB，AOB與AOB關(guān)于直線l對稱連接BB和AB，如果ABB2ABB，那么BAO和BAB的數(shù)量關(guān)系是_42初二數(shù)學(xué).秋第4講目標(biāo)名校直升班教師版AlAA

3、lAOOBBBB由“ABB2ABB”聯(lián)想到角平分線，其實(shí)對稱起到了角的轉(zhuǎn)移，AB平分ABB連接AA，AABBAABBBA，又ABBABAAABABA，AAAB，又ABAOAOABAOA是等邊三角形，設(shè)OABy，ABB60yABB1202y，BAB180(60y)(1202y)3y，3BAOBAB例3問題：已知ABC中，BAC2ACB，點(diǎn)D是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且ADCD，BDBA探究DBC與ABC度數(shù)的比值請你完成下列探究過程：B先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進(jìn)行分析并加以證明（1）當(dāng)BAC90時(shí)，依問題中的條件補(bǔ)全圖形觀察圖形，AB與AC的數(shù)量關(guān)系為_；當(dāng)推出DAC15時(shí)，可進(jìn)一步推出D

4、BC的度數(shù)為_；CA可得到DBC與ABC度數(shù)的比值為_（2）當(dāng)BAC90時(shí)，請你畫出圖形，研究DBC與ABC度數(shù)的比值是否與（1）中的結(jié)論相同，寫出你的猜想并加以證明（1）相等；15；1:3（2）猜想：DBC與ABC度數(shù)的比值與中結(jié)論相同證明：如圖2，作KCABAC，過B點(diǎn)作BKAC交CK于點(diǎn)K，連結(jié)DKBAC90，四邊形ABKC是等腰梯形CKABK4B612DCDA，DCADAC5D3KCABAC，KCD3C圖2A初二數(shù)學(xué).秋第4講目標(biāo)名校直升班教師版43KCDBAD24，KDBD44初二數(shù)學(xué).秋第4講目標(biāo)名校直升班教師版KDBDBAKCBKAC，ACB6KCA2ACB，5ACB56KCKB

5、KDBDKBKBD60ACB6601，BAC2ACB120211(601)(1202)12180，221DBC與ABC度數(shù)的比值為1:3【教師備課提示】這道題來源于北京中考，具有濃濃的故事背景模塊二等腰三角形與軸對稱變換對于整個(gè)圖形是軸對稱圖形的平面幾何問題，如果以其對稱軸為對稱軸作軸對稱變換，則整個(gè)圖形毫無變化，因此對解決問題是沒有絲毫幫助的但如果只是一部分圖形是軸對稱圖形，此時(shí)以其對稱軸為對稱軸作軸對稱變換，再找出軸對稱圖形之外的有關(guān)元素的像，則原來的幾何圖形即發(fā)生了變化，從而有可能使問題得到解決等腰三角形問題在平面幾何中占有很大的比例，它是一類典型的軸對稱圖形，因而等腰三角形除了可以考慮

6、用旋轉(zhuǎn)變換處理外，還可以考慮用軸對稱變換處理，對稱軸即等腰三角形的對稱軸例4如圖所示，在ABC中，ABAC，AD是BC邊上的高，點(diǎn)P在ABD內(nèi)部，求證：APBAPCAAPPPBQDCBDC作點(diǎn)P關(guān)于AD的對稱點(diǎn)P，連接AP并延長交PC于點(diǎn)Q，連接PC因?yàn)锳BAC，AD是BC邊上的高，易得APCAPB初二數(shù)學(xué).秋第4講目標(biāo)名校直升班教師版45因?yàn)锳PCPQC，PQCAPC，故APBAPC【教師備課提示】這道題主要讓孩子們感受一下等腰三角形中的“丫”字用軸對稱解決的方法46初二數(shù)學(xué).秋第4講目標(biāo)名校直升班教師版例5已知：ABC是一個(gè)等腰直角三角形，ABBC，ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA，PBCPC

7、B15，求證：ABAPBBPQPACAC如圖所示，構(gòu)造PBC與QBA對稱全等，連接PQ，可得PBCQBA15，QBP90151560，又BPBQ，BPQ為等邊三角形，AQBQPQ，又AQB1801515150，AQP36015060150AQB，可得AQBeqoac(,)AQP，ABAP【教師備課提示】通過這道題，來講解下關(guān)于針對等腰三角形的幾種軸對稱處理手段，”主要有3種，備課的時(shí)候讓唯哥給我們分享！第一種：過B作AC的垂線，延長CP于垂線相交，連接A與其交點(diǎn)即可，俗稱“三線合一法；第二種：以BP為邊向內(nèi)構(gòu)造等邊三角形或以AP為邊向下構(gòu)造等邊三角形或以AC為邊向上構(gòu)造等邊三角形，一般地，如果

8、出現(xiàn)等腰三角形，以底邊構(gòu)造等邊三角形可以解決；第三種就是利用軸對稱方法例6在ABC內(nèi)取一點(diǎn)M，使得MBA30，MAB10，設(shè)ACB80，ACBC，求AMCC如圖所示，ABC的高CH與直線BM交于點(diǎn)E，M則AEBE而EAMEABMAB301020，AB1ACEACB40，2EACCAHEAB(9040)3020，AMEMABMBA103040，CE則AMEACE(SAS)，M因此AMAC，AHB初二數(shù)學(xué).秋第4講目標(biāo)名校直升班教師版471AMCACM(180CAM)702【教師備課提示】通過這道題，讓孩子們自己體會下用哪種方法，總結(jié)是不是所有的這種題三種方法都可以，如果不是，那什么樣的題適合用什

9、么樣的方法？48初二數(shù)學(xué).秋第4講目標(biāo)名校直升班教師版例7如圖所示，在ABC中，BACBCA44，M為ABC內(nèi)一點(diǎn)，使得MCA30，MAC16，求BMC的度數(shù)BBOMMACADC在ABC中，由BACBCA44，可得ABAC，ABC92如圖所示，作BDAC于D點(diǎn)，延長CM交BD于O點(diǎn)，連接OA，則有OACMCA30，BAOBACOAC443014，OAMOACMAC301614，所以BAOMAO又因?yàn)锳OD90OAD903060COD，所以AOM120AOB而AOAO，因此ABOAMO，故OBOM180BOM由于BOM120，則OMBOBM30，2故BMC180OMB150模塊三構(gòu)造特殊角形成特

10、殊的三角形在一些題當(dāng)中，往往出現(xiàn)兩角和或者差為特殊的角度，但是兩個(gè)角度又離的比較遠(yuǎn)或者位置比較特殊，這個(gè)時(shí)候可以考慮三大變換來解決問題，但是構(gòu)造比較巧妙，往往不容易想到，在這里把這樣的一些利用軸對稱構(gòu)造特殊角度形成特殊的三角形如直角三角形，等邊三角形等的題總結(jié)下例8在凸四邊形ABCD中，ADBABC105，CBD75如果ABCD15cm，求四邊形ABCD的面積CCCCCDDDABAABB初二數(shù)學(xué).秋第4講目標(biāo)名校直升班教師版49如圖，將CDB沿BD中垂線翻折至eqoac(,C)BD處ABC105，CBD75；ABD105，CBD75；ABDABCCBD30又ADB105；A180ADBABD4

11、5由翻折可知：CDBeqoac(,C)BDCBCD15，CDBCBD75；ADBCDB180A，D，C三點(diǎn)共線；又ABCD15ABCB15；CA45ABC為等腰直角三角形，SABC1225ABCB22四邊形ABCDSSABDSCBDSABDSCBDS2252ABCABBCCDADC例9已知點(diǎn)M是四邊形ABCD的BC邊的中點(diǎn)，且AMD120，證明：12AAB11DDBMCBMC1顯然，要證題設(shè)的不等式，應(yīng)當(dāng)把AB，BC，CD三條線段首尾連接成一條折線，然2后再與線段AD比較要實(shí)現(xiàn)這一構(gòu)想，折線之首端應(yīng)與A點(diǎn)重合，尾端應(yīng)與D點(diǎn)重合，這可由軸對稱來實(shí)現(xiàn)則BB以AM為對稱軸，作點(diǎn)B關(guān)于AM的對稱點(diǎn)B，

12、連接AB、MB，AA1111，MBMB，1而MBMCBC，所以BMC是等邊三角形，BCBC22即ABMABM，由此BMABMA11再以DM為對稱軸，作點(diǎn)C關(guān)于DM的對稱點(diǎn)C，連接DC、MC，則DCDC，1111MCMC，即DCMDCM，由此CMDCMD111而AMD120，所以BMACMD180AMD18012060注意到BMACMDBMACMD60，11因此BMC120(BMACMD)1206060，111111111111由于兩點(diǎn)之間以直線段為最短，所以ABBCCDAD，111150初二數(shù)學(xué).秋第4講目標(biāo)名校直升班教師版1即ABBCCDAD2初二數(shù)學(xué).秋第4講目標(biāo)名校直升班教師版51例10

13、在ABC中，ABAC，60BAC120，P為ABC內(nèi)部一點(diǎn)，PCAC，PCA120BAC，求CBP的度數(shù)AAPPPBDCBC故CBPBCPBAC3060BAC3011法一：容易求得PACBAC30，BAPBCPBAC3022ABC的對稱軸為AD，作點(diǎn)P關(guān)于AD的對稱點(diǎn)P，則PAP60，故APP為等邊三角形，11則PC平分ACP，PCPPCA60BAC221212法二：在BC上截取CDAP，連接PD，如圖所示假設(shè)A，則PCA120，ABCACBPCAC180A9022PACAPC180PCA3022PCBACBPCAPCBBAP230，BAPBACPACA230PCACBA，CDAPPCDBAP

14、(SAS),PDBP假設(shè)CPDx，則ABPxABCABPPCDDPCP即902x230 xBDC解得：x602PBCPDBCPDPCB60223030【教師備課提示】此題也可以用構(gòu)造等邊的方法來求解52初二數(shù)學(xué).秋第4講目標(biāo)名校直升班教師版初二數(shù)學(xué).秋第4講目標(biāo)名校直升班教師版53復(fù)習(xí)鞏固模塊一倍角模型演練1在等腰直角三角形ABC中，P為內(nèi)部一點(diǎn)，滿足PBPC，APAC求證：BCP15AAAPPBCBC補(bǔ)形成正方形，證明AAP為等邊三角形即可解決問題【教師備課提示】這道題主要是鍛煉下孩子們，看看能不能發(fā)現(xiàn)題中隱含的2倍角，也就是等腰直角三角三角形演練2如圖所示，在ABC中，ACB2ABC，P為

15、三角形內(nèi)一點(diǎn)，APAC，PBPC，求證：BAC3BAPAAAPPBCBMC由已知條件PBPC，考慮作直線PMBC于M，并以PM為對稱軸將APC翻折至APB的位置，連接AA由軸對稱的性質(zhì)有AABC，ABCACB2ABC因?yàn)锳ABABCABA，54初二數(shù)學(xué).秋第4講目標(biāo)名校直升班教師版于是AAABACAPAP，即AAP是正三角形，從而可得ABCAAB60BAP，ACB2ABC1202BAP再由ABC三內(nèi)角之和為180，即(60BAP)(1202BAP)BAC180，整理后得BAC3BAP【教師備課提示】主要說明北京中考題的來源，來源是第24屆澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題，主要就是考察倍角模型模塊二

16、等腰三角形與軸對稱變換演練3如圖，在ABC中，BAC80，ABAC，O為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且OBC10，OCA20，求BAO的度數(shù)eqoac(,?)ABEOBC，得BOBA，BAO(18040)70解法一：如圖，作AEBC于E，延長CO交AE于F，連接BF，則BAFCAF40，F(xiàn)BFC，F(xiàn)BCFCB30，得FBO20FBA，F(xiàn)OB40FAB，又BFBF，得AFBeqoac(,?)OFB，1BOBA，從而BAO(18040)702解法二：如圖，以BC為邊作等邊BEC，連接AE，則BECE，ABAC，AEAE，得ABEACEAEBAEC30，ABAC，BAC80，ABC50，EBA10OBC，又AEBOCB30，BCBE，12初二數(shù)學(xué).秋第4講目標(biāo)名校直升班教師版55模塊三構(gòu)造特殊角形成特殊的三角形演練4如圖所示，在四邊形ABCD中，