橢圓講義(學(xué)生版)

1、。橢圓講義1、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1 ， F 2 的距離之和等于常數(shù)（大于F1 F 2 ）的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距2、橢圓的幾何性質(zhì)：焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在 x 軸上焦點(diǎn)在 y 軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程x2y21 ab0y2x21 ab 0a2b2a2b2范圍ax a 且 b y bb x b 且 a y a1a,0、2a,010,a 、20,a頂點(diǎn)10, b 、20,b1b,0、2b,0軸長短軸的長2b長軸的長2a焦點(diǎn)F1c,0、 F2c,0F10,c、 F20,c焦距F1F22c c2a2b2對稱性關(guān)于 x 軸、 y 軸、原點(diǎn)對稱c1 b2離心率e20e1aa

2、準(zhǔn)線方程xa2ya2cc3、設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)到 F1 對應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d1 ，點(diǎn)到 F2 對應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d2 ，則F1F2e d1d2四、?？碱愋皖愋鸵唬簷E圓的基本量1指出橢圓 9x 24 y236 的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程和離心率.精選資料，歡迎下載。舉一反三：【變式 1】橢圓 x 2y 21上一點(diǎn) P 到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則 P 到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離2516=_【變式2】橢圓 x 2y 21 的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 F1、 F2 ，過 F2 的直線交橢圓于A、B 兩點(diǎn)，則 ABF11625的周長 C ABF =_.1【變式3】已知橢圓的方程為x 2y 2）。161，焦點(diǎn)在 x 軸上，則 m

3、的取值范圍是（m2A 4 m 4 且 m 0B 4 m4 且 m 0C m 4 或 m 4D 0 m 4【變式4】已知橢圓22 6m=0的一個(gè)焦點(diǎn)為（ 0， 2），求 m的值。mx +3y類型二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（ 1）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（4， 0）、（4， 0），橢圓上一點(diǎn)P 到兩焦點(diǎn)距離的和是10；（ 2）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（0， 2）、（ 0， 2），并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)35-， 。22舉一反三：【變式 1】兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為0,4 ，0，- 4 ，且橢圓經(jīng)過點(diǎn) （5,0）。x2y23，【變式 2】已知一橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸且與橢圓1有相同的焦點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)（94

4、2），求此橢圓的方程。精選資料，歡迎下載。3求經(jīng)過點(diǎn)P（ 3， 0）、Q（ 0， 2）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。舉一反三：【變式】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)P（ 2， 0）和點(diǎn) Q(1, 33 ) ，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。24求與橢圓4x2+9y2=36 有相同的焦距，且離心率為5 的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。5【變式 1】在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A x2y 21B y2x21C x 2y21D以上都不對3635363536【變式 2】橢圓過（ 3， 0）點(diǎn)，離心率 e6，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。3【變式 3】長軸長等于20，離心率等于3 ，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。5【變式 4】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P（ 3，0）

5、且 a=3b，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。類型三：求橢圓的離心率或離心率的取值范圍5已知橢圓一條準(zhǔn)線為yx4 ，相應(yīng)焦點(diǎn)為 （1，-1），長軸的一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn)O ，求其離心率的取值。舉一反三：【變式 1】橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)把兩條準(zhǔn)線間距離三等分，則橢圓離心率為( )A.33C.36B.D. 不確定32【變式2】橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則此橢圓的離心率是（）精選資料，歡迎下載?！咀兪?3】橢圓 x2y 21上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為，焦距為，若成等差數(shù)列，a2b2則橢圓的離心率為_。【變式4】以橢圓兩焦點(diǎn)為直徑的圓交橢圓于四個(gè)不同點(diǎn)，順次連結(jié)這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)，恰好圍成一個(gè)正六邊形，則這個(gè)橢圓的

6、離心率等于_。6已知橢圓 x2y 21（ ab 0 ）， F1， F2 是兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使 F1PF22，a2b 23求其離心率的取值范圍。舉一反三：【變式1】 已知橢圓x2y21（ab 0）與x軸的正半軸交于A0是原點(diǎn)，若橢，a2b 2圓上存在一點(diǎn)M，使 MA MO，求橢圓離心率的取值范圍。【變式 2】已知橢圓 x2y 21（ ab 0 ），以，為系數(shù)的關(guān)于的方程無a2b2實(shí)根，求其離心率的取值范圍。類型四：橢圓定義的應(yīng)用 7若一個(gè)動(dòng)點(diǎn) P（ x， y）到兩個(gè)定點(diǎn) A（ 1， 0）、 A（ 1， 0）的距離的和為定值 m（ m0），試求 P 點(diǎn)的軌跡方程。舉一反三：【變式 1

7、】下列說法中正確的是（）A平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓B平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是一條線段C平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓或者是一條直線D平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡存在，則軌跡是一個(gè)橢圓或者是一條線段【變式 2】已知 A（ 0， 1）、B（ 0，1）兩點(diǎn)， ABC的周長為6，則 ABC的頂點(diǎn) C 的軌跡方程是（）精選資料，歡迎下載。ABCD【變式 3】已知圓，圓 A 內(nèi)一定點(diǎn)B（ 2，0），圓 P 過 B 點(diǎn)且與圓A 內(nèi)切，求圓心P 的軌跡方程。類型五：坐標(biāo)法的應(yīng)用9 ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是B（0， 6）和 C（

8、0， 6），另兩邊AB、 AC的斜率的乘積是- 4 ，求頂點(diǎn) A 的軌跡方程。9舉一反三：【變式 1】已知 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0， 5）和（ 0，5），直線 MA與 MB的斜率之積為 - 4，9則 M的軌跡方程是（）A x2y 21B x 2y 2（1 x5）251002510099C x 2y21D x2y 21（ x0 ）2252522525444【變式 2】 ABC兩頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是B（ 6， 0）和 C（ 6，0），另兩邊 AB、 AC的斜率的積是 - ， 9則頂點(diǎn)的軌跡方程是（）ABCD【變式 3】已知 A、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（1，0）、（ 1， 0），直線 AM、 BM

9、相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為 m（m 0），求點(diǎn) M的軌跡方程并判斷軌跡形狀。五、典型例題例 1 已知橢圓 mx23y26m0 的一個(gè)焦點(diǎn)為（0， 2）求 m 的值精選資料，歡迎下載。例 2 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)P 3，0 ， a3b ，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例 3ABC 的底邊 BC16 ， AC 和 AB 兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心G 的軌跡和頂點(diǎn)A 的軌跡例 4 已知 P 點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點(diǎn)P 到兩焦點(diǎn)的距離分別為4 5 和 2 5 ，過 P 點(diǎn)作焦點(diǎn)33所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程例 5x2y21 ab 0 ，長軸端點(diǎn)為 A1 ， A

10、2，焦點(diǎn)為 F1 ， F2 ， P 是橢圓上一點(diǎn)，已知橢圓方程b2a2A1PA2， F1 PF2求：F1PF2 的面積（用 a 、 b 、表示）例 6 已知?jiǎng)訄A P過定點(diǎn) A3，0，且在定圓 B：x 3 2y264 的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心P 的軌跡方程22例 7 以橢圓 xy1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過直線l： xy90 上一點(diǎn) M 作橢圓，要使所作橢圓的長軸123最短，點(diǎn) M 應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程x2y2k 的取值范圍例 8 已知方程31表示橢圓，求k 5k精選資料，歡迎下載。例 9 已知 x2 siny2 cos1 (0) 表示焦點(diǎn)在y 軸上的橢圓，求的取值范圍例 10求中心在原點(diǎn)，

11、對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過A(3 ,2) 和 B( 2 3 , 1) 兩點(diǎn)的橢圓方程例 11知圓 x 2y21 ，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P 向 y 軸作垂線段，求線段中點(diǎn)M 的軌跡例 12橢圓 x2y 21上的點(diǎn) M 到焦點(diǎn) F1 的距離為2， N 為 MF1 的中點(diǎn)，則 ON （ O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）的259值為 A4B2C 8D 32例 13在面積為1 的PMN 中， tan M12 ，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以M 、N為焦點(diǎn)， tanN2且過 P 點(diǎn)的橢圓方程精選資料，歡迎下載。六、課后練習(xí)1橢圓 x2y21的焦點(diǎn)坐標(biāo)為1625（A）(0, 3)（B）( 3, 0)（C）(0, 5)（D）( 4, 0

12、)2在方程x2y21中，下列,ab c 全部正確的一項(xiàng)是64A） a=100, b=64, c=36 （ B） a=10, b=6, c=8 （C） a=10, b=8, c=6 （ D）a=100, c=64, b=363已知 a=4,b=1，焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓方程是（ A） x2y21（ B） x2y21 （C） x2y21 （D） x2y 214416164已知焦點(diǎn)坐標(biāo)為 (0, 4), (0, 4)，且 a=6 的橢圓方程是（ ） x2y21x2y21x2y2x2y21ABC1D20（ ）36（ ）16（ ）36362036165若橢圓 x2y21上一點(diǎn) P 到焦點(diǎn) F1 的距離等于，則點(diǎn) P 到另一個(gè)焦點(diǎn)F2 的距離是636A） 4 （ B） 194 （ C）94 （ D）146已知 1,2 是定點(diǎn)， |12|=8,動(dòng)點(diǎn)滿足 |1|+|2|=8 ，則點(diǎn)的軌跡是FFF FMM FM FM（ ）橢圓（ ）直線（ ）圓（ ）線段ABCD7若 y2 lga x2= 1 a 表示焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓，則a 的取值范圍是.38當(dāng) a+b=10,c=25 時(shí)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.