人教版九年級數(shù)學(xué)第22章二次函數(shù)222二次函數(shù)與一元二次方程講義

1、人教版九年級數(shù)學(xué)第22章二次函數(shù)22.2二次函數(shù)與一元二次方程講義人教版九年級數(shù)學(xué)第22章二次函數(shù)22.2二次函數(shù)與一元二次方程講義PAGEPAGE10人教版九年級數(shù)學(xué)第22章二次函數(shù)22.2二次函數(shù)與一元二次方程講義PAGE合作研究研究點(diǎn)1高頻考點(diǎn)二次函數(shù)yax2bxc/(a0)與一元二次方程ax2bxc0(a0)的關(guān)系狀況激疑校運(yùn)會上，某運(yùn)發(fā)動(dòng)擲鉛球，鉛球的高y(m)與水平間隔x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式為y0.2x22x1.7，則此運(yùn)發(fā)動(dòng)的成績是多少？知識解說一元二次方程的根的狀況和二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系是互相的，根據(jù)根的狀況能夠判絕交點(diǎn)個(gè)數(shù)，反之也建立，下表是二次函數(shù)圖像

2、與x軸的地點(diǎn)關(guān)系與一元二次方程根的狀況之間的聯(lián)系。拋物線yax2bxc與x軸一元二次方程公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)a0ax2bxc0的根的狀況a0b24ac0有兩個(gè)有兩個(gè)不相當(dāng)實(shí)數(shù)根b24ac=0有一個(gè)有兩個(gè)相當(dāng)數(shù)根b24ac0沒有公共點(diǎn)沒有實(shí)數(shù)根典例解析例1已知拋物線y1x2xc與x軸沒有交點(diǎn)。21求c的取值限制；2試判斷直線ycx1經(jīng)過的象限，并說明原由。解析拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)由b24ac判斷。答案1拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，b24ac，即1-2c，解得c1。0023c10，2直線ycx1經(jīng)過第一、二、三象限。第1頁規(guī)律總結(jié)拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，也就是研究一元二次方程的根的狀況，可由b24ac的符

3、號結(jié)構(gòu)方程或不等式，求解即可。類題打破1二次函數(shù)yx22x1的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是A.0B.1C.2D.3答案B點(diǎn)撥b24ac440，二次函數(shù)yx22x1的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1。類題打破2拋物線yx2axa2與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A.2B.1C.0D.與a相關(guān)答案A點(diǎn)撥b24aca241(a2)a24a8(a2)240，故拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，應(yīng)選A。類題打破3拋物線yax2bxc與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為1,0，3,0，則方程ax2bxc0的解為。答案x11,x23類題打破4已知函數(shù)y(k3)x22x1的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值限制是A.k4B.k4C.k4且k3D.k4且k3答案B點(diǎn)撥當(dāng)k

4、-3=0即k=3時(shí)，此函數(shù)為一次函數(shù)，它的圖象與x軸有交點(diǎn)；當(dāng)k-30即k3時(shí)，此函數(shù)為二次函數(shù)，因?yàn)樗膱D象與x軸有交點(diǎn)；則22-4k310，解得k4。綜上，k的取值限制是k4，故答案為B。研究點(diǎn)2利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根知識解說利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根。第2頁1先畫出函數(shù)yax2bxc(a0)的象；2形式一：通象察求一元二次方程的根；形式二：通取均勻數(shù)的形式不停小根所在的范，求得一元二次方程的近似根。典例解析例2利用二次函數(shù)的象求-x22x100的近似解正確到0.1。解析畫出函數(shù)yx22x10的象，由象與x的交點(diǎn)的地點(diǎn)判斷兩根的取范，再利用算器求得近似解。答案列

5、表：x-3-2-1012345y-52710111072-5描點(diǎn)以下。由象可知方程有兩個(gè)根，一個(gè)根在3與2之一個(gè)根在4與5之。先求3與2之的根，利用算器行研究：x2.42.32.22.1y0.560.110.761.39所以，x=2.3是方程的一個(gè)近似根，另一個(gè)根能夠似地求出：x4.14.24.34.4y1.390.760.110.56所以，x=4.3是方程的另一個(gè)近似根。律形式依據(jù)二次函數(shù)yax2bxc的象與x交點(diǎn)的橫坐即方程ax2bxc0的解，所以能夠利用函數(shù)的象，察象與x的交點(diǎn)，從而求得方程的解，一形式豐饒?bào)w了數(shù)形合的思想，在利用函數(shù)象解一元二次方程，函數(shù)象盡也許地畫正確，由于作和察的差

6、，所以，求出的解都是近似解，使果更正確，能夠通取均勻數(shù)的形式不停小根的取范，多次重復(fù)后，根所在范的兩頭的就越湊近根的近似。打破5畫出函數(shù)yx2x1的象，求方程x2x10的近似解。正確到0.1第3頁答案畫二次函數(shù)yx2x1的圖象，如以以下列圖，由圖象可知方程有兩個(gè)根，一個(gè)在2和1之間，另一個(gè)在0和1之間。先求2和1之間的根，利用計(jì)算器研究以下：x1.11.21.31.41.51.61.7y0.890.760.610.440.25故這個(gè)根在1.6和1.7之間，且湊近于1.6.故x=1.6是方程的一個(gè)近似根.再求在0和1之間的根，研究以下：x0.10.20.30.40.50.60.7y0.890.7

7、60.610.440.250.040.19故其另一個(gè)根是x=0.6.點(diǎn)撥依據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，可得函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是相映的方程的解。類題打破6如以以下列圖，是二次函數(shù)y2x24x1的圖象，那么一元二次方程2x24x10有兩個(gè)根，此中一個(gè)根在和之間，另一個(gè)根在和之間。答案1023要點(diǎn)難點(diǎn)重難點(diǎn)1二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系對于二次函數(shù)yax2bxc(a0)，當(dāng)y0時(shí)，就化為一元二次方程ax2bxc0。所以，當(dāng)拋物線與x軸訂交時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程ax2bxc0的根。當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，一元二次方程ax2bxc0有兩個(gè)不吻合的實(shí)數(shù)根，此時(shí)b24ac0；當(dāng)拋物線與x軸

8、有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，一元二次方程ax2bxc0有兩個(gè)相當(dāng)?shù)膶?shí)數(shù)根，此時(shí)b24ac=0；第4頁當(dāng)拋物線與x軸沒有交點(diǎn)時(shí)，一元二次方程ax2bxc0沒有實(shí)數(shù)根，此時(shí)b24ac0.反之也建立。例1已知二次函數(shù)y3x28x4.1該函數(shù)圖象與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)？2試說明一元二次方程3x28x47的根與二次函數(shù)y3x28x4的圖象之間的關(guān)系；3試問x為什么值時(shí)，函數(shù)y的值為1？解析1可利用一元二次方程求解.2拋物線yax2bxc0與直線yh的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是一元二次方程ax2bxch的實(shí)數(shù)根.3解3x28x41，或利用函數(shù)圖象求解。答案1對于二次函數(shù)y3x28x4，令y0，則有3x28x40.而22，所以該函數(shù)圖

9、象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)。b4ac(8)4341602一元二次方程3x28x47的根，能夠看作二次函數(shù)y3x28x4在y的值為7時(shí)的x的值。3直接解方程3x28x41，解得x15,x21.3形式提示拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可經(jīng)過相映一元二次方程解的個(gè)數(shù)來判斷，也能夠利用b24ac與0的大小關(guān)系來判斷。類題打破1二次函數(shù)yx24xk的部分如以以下列圖，則對于x的一元二次方程x24k0的一個(gè)解是x15，另一個(gè)解x2A.1B.1C.2D.0答案B點(diǎn)撥因?yàn)閽佄锞€的對稱軸是x=2，對于x的一元二次方程x24k0的一個(gè)解是x15，即拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是5,0，依據(jù)拋物線的對稱性，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為

10、1,0，所以方程的另一個(gè)解是x21，故答案為B.第5頁類題打破2拋物線yax2bxc如以以下列圖，則ax2bxc=0的解為，ax2bxc0的解為。答案-2或-6x-2或x6點(diǎn)撥ax2bxc=0的解為圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，ax2bxc0的解為在x軸上方的圖象所對應(yīng)的自變量x的取值限制.例2求拋物線yx23x1與直線yx1的交點(diǎn)坐標(biāo).解析聯(lián)立雙方程，解方程組，求拋物線yax2bxc與直線ykxb的交點(diǎn)就是求解析式構(gòu)成的方程組的解。yx23x1與yx1構(gòu)成方程組yx23x1答案要求交點(diǎn)坐標(biāo)可把yx1，解之x10 x24得y11y25，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為0,1，4,5.類題打破3已知拋物線yax2bxc

11、如以以下列圖，則對于x的方程ax2bxc8=0的根的狀況是有兩個(gè)不相當(dāng)?shù)恼龑?shí)數(shù)根有兩個(gè)異號實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相當(dāng)?shù)膶?shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根答案C點(diǎn)撥拋物線yax2bxc的極點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，將拋物線yax2bxc向下平移8個(gè)單位長度為拋物線yax2bxc8，此時(shí)拋物線yax2bxc8與x軸唯有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)方程有兩個(gè)相當(dāng)?shù)膶?shí)數(shù)根。類題打破4若x1，x2x1x2是方程xaxb=1ab的兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)x1，x2，a，b的大小關(guān)系為A.x1x2abB.x1ax2bC.x1abx2D.ax1bx2第6頁答案C點(diǎn)撥畫出拋物線y(xa)(xb)與直線y1，兩圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程xab)=1的兩個(gè)根，即x1，x2，而

12、a，b是二次函數(shù)y(xa)(xb)的圖(x象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖象知x1abx2.重難點(diǎn)2求一元二次方程的近似解求一元二次方程的近似解有以下幾種常用的形式：1直接畫出函數(shù)yax2bxca0的圖象，則圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的近似解；2先將方程變形為ax2bxc，再辯解畫拋物線yax2bxa0和直線c，則兩圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的近似解；3先將方程變形為ax2bxc，再辯解畫拋物線yax2和直線ybxc，則兩圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的近似解。例3利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程3x26x90的解。解析依據(jù)由函數(shù)圖象求方程的根的步驟求解。答案解法一：畫出函數(shù)y3x26x9的圖象

13、。如圖1所示，觀察圖象知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是-1,0和3,0原方程的解為x1=-1，x2=3.解法二：畫出函數(shù)y3x26x的圖象及直線y9，如圖2所示，觀察兩圖象的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)辯解為-1,3.原方程的解為x1=-1，x2=3.解法三：畫出函數(shù)y3x2和y6x9的圖象，如圖3所示，觀察兩圖象的交點(diǎn)C，D的橫坐標(biāo)辯解為-1,3.原方程的解為x1=-1，x2=3.圖1圖2圖3類題打破5利用圖象法解方程x2x2x6.第7頁答案在同不停角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y2x6和yx2x的圖象，如以以下列圖，觀察圖象的交點(diǎn)可知坐標(biāo)為-3,12和2,2,所以此方程的解為x1=2，x2=-3.點(diǎn)撥函數(shù)y2x6與y

14、x2x的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程x2x2x6的解。易錯(cuò)指導(dǎo)易錯(cuò)點(diǎn)1利用根的判斷式時(shí)考慮不全面例1已知二次函數(shù)ykx27x7的圖象與x軸有交點(diǎn)，求k的取值限制。錯(cuò)解二次函數(shù)ykx27x7的圖象與x軸有交點(diǎn)，b24ac(7)24k(7)4928k0，且k0，7，且k0。4錯(cuò)因解析此題依據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)只獲得b24ac0而忽視了b24ac=0的狀況以致犯錯(cuò)。正解二次函數(shù)ykx27x7的圖象與x軸有交點(diǎn)，b24ac(7)24k(7)4928k0，且k0，k7，且k0。4糾錯(cuò)心得要注意拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)包含兩種狀況：一個(gè)交點(diǎn)和兩個(gè)交點(diǎn)，故需b24ac0.易錯(cuò)點(diǎn)2二次函數(shù)與一元二次方程解的估值問題例2已知二次函數(shù)yax2bxc中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如