2021-2022學(xué)年高二物理競(jìng)賽課件：能帶的計(jì)算方法

1、能帶的計(jì)算方法能帶的計(jì)算方法對(duì)于三維的周期場(chǎng)中的單電子問(wèn)題，通常采用各種近似方法求解。首先，選取某個(gè)具有布洛赫函數(shù)形式的完全集，把晶體電子態(tài)的波函數(shù)用此函數(shù)集展開(kāi)，然后代人薜定諤方程，確定展開(kāi)式的系數(shù)所必須滿足的久期方程，據(jù)此可求得能量本征值，再依照逐個(gè)本征值確定波函數(shù)展開(kāi)的系數(shù)。選擇不同的函數(shù)集合，有不同的計(jì)算方法。借助快速大容量的電子計(jì)算機(jī)，使實(shí)際的計(jì)算更快捷。能帶的計(jì)算方法一、平面波方法平面波方法：以波矢相差一個(gè)倒格子矢量的一組平面波作為基函數(shù)。勢(shì)能是具有晶格周期性的函數(shù)，可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)：其中，Gm是倒格子矢量，Gm=m1b1+m2b2+m3b3b1,b2,b3是晶體的倒格子基矢，

2、m1,m2,m3是整數(shù)。傅里葉展開(kāi)系數(shù)：原胞能帶的計(jì)算方法一、平面波方法展開(kāi)后代入：得到本征能量值En(k)平面波方法概念簡(jiǎn)單，結(jié)果物理意義清晰。缺點(diǎn)是需要大量平面波的組合來(lái)表示Bloch函數(shù)，計(jì)算量大，收斂速度很慢。能帶的計(jì)算方法二、正交化平面波方法平面波方法計(jì)算固體能帶的優(yōu)點(diǎn)是概念簡(jiǎn)單明了，缺點(diǎn)是收斂很慢，即使借助現(xiàn)代高速大容量的計(jì)算機(jī)作計(jì)算也不現(xiàn)實(shí)，于是CHerring提出了正交化平面波方法。其基本思想是展開(kāi)波函數(shù)的基不但含有動(dòng)量k+K較小的平面波成分，還有原子核附近具有大動(dòng)量的孤立原子波函數(shù)的成分，并且與孤立原子芯態(tài)波函數(shù)組成布洛赫正交，這種基函數(shù)稱為正交化平面波。二、正交化平面波方法

3、1940年 Herring提出了OPW 方法，取波函數(shù)為平面波和緊束縛波函數(shù)的線性組合，并要求與離子實(shí)不同殼層緊束縛波函數(shù)正交，從而自然地兼顧了波函數(shù)在離子實(shí)附近以及在離子之間應(yīng)有的特征，求解時(shí)，往往只需要取幾個(gè)正交平面波，結(jié)果就很好了。其中： 是一個(gè)平面波， 是一個(gè)原子波函數(shù)，對(duì) 求和要遍及所有被電子占據(jù)的原子殼層，例如 Na 要對(duì) 1s,2s,2p殼層求和，系數(shù) 的選擇要使代表3s 的 與芯函數(shù) 正交。能帶的計(jì)算方法能帶的計(jì)算方法二、正交化平面波方法能帶的計(jì)算方法二、正交化平面波方法使用OPW方法很方便的求出了 Li 的價(jià)帶，求出了半導(dǎo)體 Si 和 Ge的能帶。從上圖可以看出：（a）是平面

4、波，（b) 是離子實(shí)波，（c）是正交化平面波。后者本身包括了電子在離子實(shí)區(qū)的多次振蕩特征，已經(jīng)十分接近真實(shí)波函數(shù)了。因此正交平面波法是描述價(jià)帶和導(dǎo)帶電子波函數(shù)（即外層電子）的好表象，是定量計(jì)算能帶的重要方法。能帶的計(jì)算方法三、贗勢(shì)方法贗勢(shì)方法：在求解固體的單電子波動(dòng)方程時(shí)，用假想的勢(shì)能代替離子實(shí)內(nèi)部的真實(shí)勢(shì)能，若不改變電子的能量本征值及其在離子實(shí)之間區(qū)域的波函數(shù)，則這個(gè)假想的勢(shì)能叫贗勢(shì)。 OPW 方法中，函數(shù) 具有我們所要求的特點(diǎn)，在遠(yuǎn)離離子實(shí)時(shí)， 可以忽略不計(jì)， 是一個(gè)平面波。在離子實(shí)處，原子波函數(shù)是顯著的，引起快速振蕩的作用。如下圖 a 所示。如果將 代入薛定諤方程并整理各項(xiàng)，則有：能帶的

5、計(jì)算方法三、贗勢(shì)方法式中：正交化項(xiàng)起著抵消勢(shì)能的作用，給出一個(gè)弱得多的有效勢(shì)。上述結(jié)果很有趣，有效勢(shì)場(chǎng)不是 U，而是 U，通常 UU ，起作用的是一個(gè)很弱的勢(shì)U，被稱作贗（假的、偽造的）勢(shì)給出的波函數(shù)叫贗波函數(shù)。能帶的計(jì)算方法三、贗勢(shì)方法能帶的計(jì)算方法三、贗勢(shì)方法能帶的計(jì)算方法三、贗勢(shì)方法綜上所述，我們可以找出一個(gè)贗波動(dòng)方程，它與嚴(yán)格的Bloch函數(shù)的能量本征值相同，因此計(jì)算能帶時(shí)可以不必先求Bloch函數(shù)，而是先求解贗勢(shì)，然后用贗波動(dòng)方程求解出平滑函數(shù)所對(duì)應(yīng)的能量 Ek 值。這就是建立在OPW基礎(chǔ)上的贗勢(shì)方法。能帶的計(jì)算方法四、綴加平面波方法 1937年Slater 從原胞法結(jié)果中發(fā)現(xiàn)晶體離子之間的廣大區(qū)域里，晶體勢(shì)幾乎沒(méi)有變化，因此采用了一種特殊的勢(shì)重新求解?！癿uffin-tin” （糕模勢(shì)）在離子實(shí)處就是自由離子勢(shì)，在離子實(shí)外面嚴(yán)格是一個(gè)常數(shù)（見(jiàn)下頁(yè)圖）。因此波函數(shù)為在 時(shí)是平面波：而在 時(shí)，為原子波函數(shù)。r0 是離子