基于潮流計(jì)算的稀疏技術(shù)研究(初稿)

1、 武漢輕工大學(xué) 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì)（論 文）設(shè)計(jì)(論文)題目：基于潮流計(jì)算的稀疏技術(shù)研究 姓 名 曹 樂(lè) 學(xué) 號(hào) 100408521 院 （系） 電氣與電子工程學(xué)院 專 業(yè) 電氣工程及其自動(dòng)化 指導(dǎo)老師 仰 彩 霞 2014 年 05 月 15 日目 錄TOC o 1-3 f h u HYPERLINK l _Toc10252 摘要 I摘要潮流計(jì)算是電力分析最基礎(chǔ)的電氣運(yùn)算之一，其效率一直是研究人員關(guān)心的問(wèn)題。目前，稀疏技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于工程計(jì)算、科學(xué)分析等諸多領(lǐng)域。因此結(jié)合潮流計(jì)算方法的特點(diǎn)進(jìn)一步提高稀疏技術(shù)的應(yīng)用效率，對(duì)電力系統(tǒng)各種分析計(jì)算都具有一定意義。創(chuàng)建一種特殊的二層鏈表數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)

2、可以實(shí)現(xiàn)導(dǎo)納矩陣與節(jié)點(diǎn)分塊雅可比矩陣的同結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)，以及導(dǎo)納矩陣各元素到雅可比矩陣的定位、查詢功能，提高了雅可比矩陣的形成與修正效率。由于導(dǎo)納矩陣和雅克比矩陣具有對(duì)稱性，可進(jìn)一步將二層鏈表存儲(chǔ)單元數(shù)量減半，形成下三角二層鏈表結(jié)構(gòu)，能更好的利用存儲(chǔ)空間；同時(shí)，減少了待修正雅可比矩陣與功率不平衡中共同元素的運(yùn)算量，提高潮流計(jì)算效率。關(guān)鍵詞：潮流計(jì)算，稀疏技術(shù)，二層鏈表ABSTRCTPower flow calculation is one of most basic eletrical operation applied in the electrical system analysis,its e

3、fficiency has been a matter of concern to researchers.Currently,the sparse technique has been widely used in the areas of engineering calculations,scientific analysis.Therefore,to improve the efficiency of the sparse technique by combing the power flow calculation features could enhance the efficien

4、cy of the electrical operations.We proposed a special kind of two-layer linked list to make the bus admittance matrix and the bus block jacobian matrix stored,and the function of location searching between the two matrix implemented under the same structure.And the efficiency of the foemation and mo

5、dification of jacobian matrix has benn largely improved.The research then used the symmetry of the symmetric matrix during the factorization,halved the amount of the layer two linked list storage cell,and formed the lower triangular and two-layer linked list.So the storage space could be better used

6、.At the mean time,through exacting the elements from the being revised jacobian matrix and the unbalanced power to reduce the operation so as to enhance the efficiency.Keywords:Power Flow Calculation,Sparse Technique,Linked List 1 緒論1.1 課題研究目的和意義潮流計(jì)算是電力系統(tǒng)分析中最根本的電氣運(yùn)算。潮流計(jì)算主要是用來(lái)研究電力系統(tǒng)規(guī)劃和運(yùn)行中提出的各種問(wèn)題。對(duì)規(guī)劃中

7、的電力系統(tǒng)，通過(guò)潮流計(jì)算可以檢驗(yàn)所提出的規(guī)劃方案是否能滿足運(yùn)行的要求；對(duì)運(yùn)行中的電力系統(tǒng)，通過(guò)潮流計(jì)算可以確定各個(gè)負(fù)荷的變化和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的改變對(duì)電力系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行的影響，系統(tǒng)中所有母線的電壓是否在允許的范圍以內(nèi)，系統(tǒng)中各種元件(線路、變壓器等)是否會(huì)出現(xiàn)過(guò)負(fù)荷，以及可能出現(xiàn)過(guò)負(fù)荷時(shí)應(yīng)事先采取哪些預(yù)防措施。稀疏數(shù)據(jù)是一類零元素所占比例很大，非零元素所占比例較小的數(shù)據(jù)。一般而言，數(shù)據(jù)之間的有效運(yùn)算是非零元素之間的運(yùn)算，但稀疏數(shù)據(jù)中大量的零元素將帶來(lái)大量的冗余計(jì)算，降低計(jì)算機(jī)算法的速度和效率。在電力系統(tǒng)分析與計(jì)算中存在大量具有稀疏性質(zhì)的數(shù)據(jù)，如潮流計(jì)算的雅可比矩陣以及無(wú)功優(yōu)化的海森矩陣，狀態(tài)估計(jì)中的信息

8、矩陣等。因此，充分利用電力系統(tǒng)數(shù)據(jù)的稀疏性，運(yùn)用稀疏算法，可以有效的提高電力系統(tǒng)潮流計(jì)算的速度和效率。1.2 稀疏技術(shù)在電力系統(tǒng)潮流計(jì)算中的研究稀疏技術(shù)被廣泛的應(yīng)用于電力系統(tǒng)潮流計(jì)算中，受到了廣大電力專家、學(xué)者的重視并且取得了大量的研究成果。文獻(xiàn)1介紹了一種基于二維鏈表的稀疏矩陣存儲(chǔ)方法，并將該方法應(yīng)用到潮流計(jì)算中。通過(guò)改進(jìn)二維鏈表的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)、在稀疏矩陣中預(yù)先增加冗余元素、針對(duì)LU 分解的特點(diǎn)優(yōu)化潮流方程的結(jié)構(gòu)等技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了稀疏技術(shù)對(duì)潮流方程的優(yōu)化，從而進(jìn)一步提高了潮流計(jì)算的效率。為提高電力網(wǎng)絡(luò)潮流計(jì)算效率，同時(shí)便于在運(yùn)行方式變化及故障等情況下對(duì)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行修改，文獻(xiàn)2從稀疏技術(shù)的存儲(chǔ)方式出發(fā)

9、，提出了一種十字鏈表動(dòng)態(tài)生成方式，同時(shí)存儲(chǔ)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)信息和參數(shù)信息，以期達(dá)到目的。文獻(xiàn)3研究了數(shù)組存儲(chǔ)和鏈表存儲(chǔ)在牛頓法潮流計(jì)算中的效率問(wèn)題，分析了它們?cè)趦?nèi)存開(kāi)銷上的差別，實(shí)驗(yàn)結(jié)論是鏈表存儲(chǔ)在空間消耗，計(jì)算效率上都有明顯的優(yōu)勢(shì)。文獻(xiàn)4介紹了一種靜態(tài)存儲(chǔ)方法VEPD，該方法適用于存儲(chǔ)具有稀疏性且?guī)捿^小的矩陣。文章指出，采用該方法存儲(chǔ)矩陣所用的內(nèi)存空間較小，且元素的查找、修改、刪除等操作簡(jiǎn)單快速。另外，文章介紹用于壓縮矩陣帶寬的CM排序方法。為提高牛頓-拉夫遜潮流計(jì)算效率，文獻(xiàn)5引入了基于消去樹(shù)理論中的符號(hào)因子分解技術(shù)以及改進(jìn)的LU數(shù)值分解算法。在符號(hào)分解中引入消去樹(shù)理論是對(duì)LU分解可能出現(xiàn)

10、的填充元位置進(jìn)行定位，避免后續(xù)數(shù)值計(jì)算時(shí)頻繁的插入非零元的操作。另外，稀疏技術(shù)對(duì)于促進(jìn)配電網(wǎng)潮流計(jì)算效率的提高也有一定的學(xué)術(shù)價(jià)值。為降低大型配電網(wǎng)潮流計(jì)算復(fù)雜度，文獻(xiàn)6在充分分析配網(wǎng)拓?fù)涮攸c(diǎn)的基礎(chǔ)上，提出了利用樹(shù)狀鏈表和遞歸搜索方法得到反映配電網(wǎng)樹(shù)狀鏈表關(guān)系的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。文章指出該結(jié)構(gòu)具有存儲(chǔ)過(guò)程不依賴輸入數(shù)據(jù)、直觀反映網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、可避免大規(guī)模矩陣存取等優(yōu)點(diǎn)，從而有效降低配網(wǎng)潮流計(jì)算時(shí)間。文獻(xiàn) 7提出了一種保證輻射網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣消去分解過(guò)程中不產(chǎn)生注入元的節(jié)點(diǎn)優(yōu)化編號(hào)方法：逆流編號(hào)法。其原理是：任意節(jié)點(diǎn)的編號(hào)必須大于其順流節(jié)點(diǎn)的編號(hào)或任意節(jié)點(diǎn)的編號(hào)必須小于其逆流節(jié)點(diǎn)的編號(hào)。文章指出：該方法有效

11、降低了輻射電網(wǎng)導(dǎo)納矩陣的運(yùn)算量，節(jié)約了計(jì)算機(jī)內(nèi)存。文獻(xiàn)8通過(guò)理論推導(dǎo)，得出了基于逆流編號(hào)法的配電網(wǎng)牛頓法潮流過(guò)程與等值遞推法相一致的結(jié)論，為實(shí)現(xiàn)配網(wǎng)潮流計(jì)算方法多樣性提供了理論依據(jù)。文獻(xiàn)9系統(tǒng)地分析和比較了現(xiàn)有的各種配電系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)編號(hào)方案，對(duì)采用不同潮流計(jì)算方法（節(jié)點(diǎn)法、支路法）所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)方案進(jìn)行了概括、分類和仿真分析，此研究成果在計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)配網(wǎng)潮流計(jì)算中具有很好的指導(dǎo)意義。1.3 本文完成的主要工作和章節(jié)安排本文是以潮流計(jì)算中的導(dǎo)納矩陣與節(jié)點(diǎn)分塊雅可比矩陣作為研究對(duì)象，利用稀疏存儲(chǔ)技術(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)上述兩個(gè)矩陣同結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)。本文的理論部分，詳細(xì)地介紹潮流計(jì)算的數(shù)學(xué)模型、計(jì)算方法以及稀疏存儲(chǔ)

12、技術(shù)；在潮流計(jì)算程序部分，作者將以牛頓-拉夫遜潮流計(jì)算法編寫(xiě)程序，并進(jìn)行Matlab程序仿真。本文的章節(jié)具體安排如下：第一章 緒論第二章 電力系統(tǒng)潮流計(jì)算第三章 稀疏稀疏第四章 用于牛頓-拉夫遜潮流計(jì)算的稀疏技術(shù)第五章 結(jié)論2 電力系統(tǒng)潮流計(jì)算所謂電力系統(tǒng)潮流計(jì)算，就是已知電網(wǎng)的接線方式、參數(shù)及運(yùn)行條件，計(jì)算電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)各母線電壓、各支路電流與功率及網(wǎng)損。2.1 電力系統(tǒng)潮流計(jì)算的數(shù)學(xué)模型電力網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型是由網(wǎng)絡(luò)的有關(guān)參數(shù)和變量所組成的可反映網(wǎng)絡(luò)性能的數(shù)學(xué)方程式組，如節(jié)點(diǎn)電壓方程和回路電流方程。潮流計(jì)算中多使用節(jié)點(diǎn)電壓方程，原因是節(jié)點(diǎn)電壓方程所描述的運(yùn)行狀態(tài)直觀、易于處理運(yùn)行條件的變化

13、，且方程個(gè)數(shù)少于回路電流方程。2.1.1 節(jié)點(diǎn)電壓方程由電路原理可知，對(duì)于具有n個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的電力系統(tǒng)，可寫(xiě)出n個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓的矩陣方程為 (2.1)簡(jiǎn)記為(2.2)式中 節(jié)點(diǎn)注入電流的轉(zhuǎn)置列向量，其階數(shù)為； 節(jié)點(diǎn)電壓的轉(zhuǎn)置列向量，其階數(shù)為；節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣，其階數(shù)為。2.1.2 功率方程電力網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型即節(jié)點(diǎn)電壓方程就是潮流分布計(jì)算時(shí)的數(shù)學(xué)模型。如果已知各節(jié)點(diǎn)的電流，直接求解線性的節(jié)點(diǎn)電壓方程即可。但是，工程中已知的條件既不是節(jié)點(diǎn)電壓，也不是節(jié)點(diǎn)電流，而是各節(jié)點(diǎn)的注入功率。將代入上述節(jié)點(diǎn)電壓方程，并寫(xiě)成其展開(kāi)形式為 (2.3)式（2.3）為一非線性方程組，通常稱為功率方程。、分別為節(jié)點(diǎn)向網(wǎng)絡(luò)注入的有

14、功功率和無(wú)功功率。功率方程隨著節(jié)點(diǎn)電壓向量表示形式不同有不同的形式。直角坐標(biāo)形式的功率方程若節(jié)點(diǎn)電壓向量以直角坐標(biāo)形式即表示，導(dǎo)納用形式表示，則將這兩個(gè)關(guān)系代入式（2.3）后展開(kāi)，并將功率的實(shí)部和虛部分別列寫(xiě)，即可得到分離的有功、無(wú)功功率方程為(2,4)極坐標(biāo)形式的功率方程若節(jié)點(diǎn)電壓以極坐標(biāo)形式即或表示，并將其導(dǎo)納的復(fù)數(shù)表示式一起代入（2.3）的功率方程，經(jīng)整理后也可分別寫(xiě)成有功、無(wú)功的方程式為(2.5)式中 節(jié)點(diǎn)電壓與節(jié)點(diǎn)電壓的相角差。2.2 電力系統(tǒng)潮流計(jì)算的方法潮流計(jì)算的功率方程是一組非線性代數(shù)方程，電力系統(tǒng)潮流計(jì)算就是求解這組非線性方程組。求解非線性方程組數(shù)學(xué)上現(xiàn)有兩種途徑，即采用迭代

15、法直接求解非線性方程組或?qū)⒎蔷€性方程組線性化后迭代求解。直接求解非線性方程組有雅可比迭代法、高斯-賽德?tīng)柗ǖ?；將非線性方程組線性化后迭代求解的方法主要有牛頓-拉夫遜法等。早期，潮流計(jì)算以高斯-賽德?tīng)柕ㄝ^為普遍。高斯-賽德?tīng)柕ㄊ菙?shù)學(xué)上求解線性或非線性方程組的一種常用的迭代方法。在潮流計(jì)算中，高斯-賽德?tīng)柕煞謱?dǎo)納矩陣迭代法和阻抗矩陣迭代法兩種，前者是以節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣為基礎(chǔ)建立的賽德?tīng)柕袷?后者是以節(jié)點(diǎn)阻擾矩陣為基礎(chǔ)建立的賽德?tīng)柕袷健Ｄ壳?，牛頓-拉夫遜法和快速解耦法是兩種應(yīng)用最為普遍的方法，也是其他潮流計(jì)算方法的基礎(chǔ)。牛頓-拉夫遜法的原理是將非線性方程組轉(zhuǎn)化為線性方程組，通過(guò)迭代

16、求解線性方程組得到解向量，牛頓法具有較好的收斂性?？焖俳怦罘ㄊ怯膳ｎD-拉夫遜法極坐標(biāo)形式簡(jiǎn)化而來(lái)的，它以有功功率偏差作為修正電壓相角的依據(jù)，以無(wú)功功率偏差作為修正電壓幅值的依據(jù)，有功功率和無(wú)功功率迭代是分開(kāi)進(jìn)行的?？焖俳怦罘ǖ男拚匠滔禂?shù)矩陣的維數(shù)較低且為常數(shù)，因而計(jì)算速度較快，占用的內(nèi)存更少，被廣泛使用。潮流計(jì)算的研究廣泛而活躍，為改進(jìn)牛頓-拉夫遜法的某些不足，采用了包括泰勒級(jí)數(shù)高階項(xiàng)的更精確模型保留非線性潮流計(jì)算，提高潮流計(jì)算的收斂性能。另外，專家、學(xué)者以及研究人員針對(duì)一些特殊的潮流計(jì)算開(kāi)發(fā)了對(duì)應(yīng)的方法，例如隨機(jī)潮流算法、直流潮流算法、三相潮流算法、諧波潮流算法以及用于交直流混聯(lián)的潮流算法

17、。隨著人工智能理論的發(fā)展，遺傳算法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊算法等也逐漸被引用到潮流計(jì)算中。但是目前為止，無(wú)論新的或是改進(jìn)的算法，仍不能取代牛頓-拉夫遜法和快速解耦法的地位。2.2.1 高斯-賽德?tīng)柍绷饔?jì)算用高斯-賽德?tīng)柗ㄓ?jì)算電力系統(tǒng)潮流，首先需將功率方程式（）改寫(xiě)成（）的形式，然后經(jīng)行迭代計(jì)算。假設(shè)待計(jì)算的系統(tǒng)有個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)，其中1個(gè)平衡節(jié)點(diǎn)，個(gè)PQ節(jié)點(diǎn)，個(gè)PV節(jié)點(diǎn)，則由功率方程式（）可解得為(2.6)再將式（）按式（）改寫(xiě)為高斯-賽德?tīng)柕ǖ母袷?，?2.7)則可對(duì)上式迭代進(jìn)行潮流計(jì)算。若有一網(wǎng)絡(luò)，其節(jié)點(diǎn)1為平衡節(jié)點(diǎn)，其余個(gè)節(jié)點(diǎn)都為PQ節(jié)點(diǎn)。由于平衡節(jié)點(diǎn)不參與迭代，則用高斯-賽德?tīng)柕ǔ绷饔?jì)算

18、的公式為式中平衡節(jié)點(diǎn)1的電壓；迭代次數(shù)。對(duì)于PQ節(jié)點(diǎn)，由于其功率是給定的，故只要給出節(jié)點(diǎn)電壓的初始值，即可按式（）進(jìn)行迭代計(jì)算。對(duì)于PV節(jié)點(diǎn)，因其無(wú)功功率是未知量，只能在迭代開(kāi)始時(shí)給定初值，此后的迭代值必須在逐次的迭代過(guò)程中計(jì)算得出。因此，對(duì)PV節(jié)點(diǎn)進(jìn)行每一次迭代計(jì)算，必須要完成一下幾步計(jì)算：修正節(jié)點(diǎn)電壓。按式（2.7）計(jì)算所得到的電壓并不一定剛好等于PV節(jié)點(diǎn)所要求的電壓幅值。為滿足此條件，可只保留節(jié)點(diǎn)電壓的相位角，而將其幅值用給定值代替進(jìn)行修正，即(2.9)計(jì)算節(jié)點(diǎn)的無(wú)功功率。第次迭代的節(jié)點(diǎn)無(wú)功功率計(jì)算式為(2.10)用式（2.10）計(jì)算所得的無(wú)功功率，應(yīng)該滿足下面的約束條件，即如果則應(yīng)令；

19、如果，則應(yīng)令。上述情況表明無(wú)功功率已達(dá)到極限值，不能再用調(diào)節(jié)無(wú)功功率來(lái)保持PV節(jié)點(diǎn)的電壓值。此時(shí)由于無(wú)功功率已限定為極限值，因而PV節(jié)點(diǎn)就轉(zhuǎn)變?yōu)镻Q節(jié)點(diǎn)，故計(jì)算應(yīng)按PQ節(jié)點(diǎn)進(jìn)行。完成上述三步計(jì)算后，才可應(yīng)用式（2.7）計(jì)算節(jié)點(diǎn)電壓的新值。對(duì)于平衡節(jié)點(diǎn)，由于電壓的幅值和相位角為給定值，故無(wú)需迭代計(jì)算。每次迭代完成后，應(yīng)根據(jù)給定的任意小數(shù)，用下面的迭代收斂判據(jù)檢驗(yàn)，即該式滿足時(shí)，停止迭代計(jì)算，或即為所求得的節(jié)點(diǎn)電壓。求出節(jié)點(diǎn)電壓后，即可計(jì)算各條線路的潮流、平衡節(jié)點(diǎn)功率以及各支路的功率損耗。由圖2.1可推出線路中的功率計(jì)算公式如下：(2.11)由于式（2.8）中的為平衡節(jié)點(diǎn)，故平衡節(jié)點(diǎn)的功率可以代入

20、式（2.8）求出。即(2.12)各線路上損耗的功率為(2.13)高斯-賽德?tīng)柕ǖ挠?jì)算流程原理框圖如圖2.2所示。2.2.2 牛頓-拉夫遜潮流計(jì)算牛頓-拉夫遜潮流計(jì)算的核心問(wèn)題是雅可比修正方程的建立和求解。為說(shuō)明這一修正方程式的建立過(guò)程，首先對(duì)網(wǎng)絡(luò)中各類節(jié)點(diǎn)的編號(hào)作如下的約定：網(wǎng)絡(luò)中共有個(gè)節(jié)點(diǎn)，編號(hào)為，其中1個(gè)平衡節(jié)點(diǎn)，編號(hào)為。（2）網(wǎng)絡(luò)中有個(gè)PQ節(jié)點(diǎn)，編號(hào)為，其中包括編號(hào)為的平衡節(jié)點(diǎn)。（3）網(wǎng)絡(luò)中有個(gè)PV節(jié)點(diǎn)，編號(hào)為。直角坐標(biāo)形式的牛頓-拉夫遜潮流計(jì)算式2.1-2.3給出了節(jié)點(diǎn)的注入有功功率、無(wú)功功率與電壓幅值方程。式中，、與分別為節(jié)點(diǎn)i的注入有功功率、無(wú)功功率與電壓幅值；與分別為節(jié)點(diǎn)i電

21、壓的實(shí)部與虛部，并且；與分別為支路的電導(dǎo)與電納，與為節(jié)點(diǎn)i的自電導(dǎo)與自電納。(2.13)對(duì)于PQ節(jié)點(diǎn)，其功率誤差方程可表示為(2.14)式中、節(jié)點(diǎn)i的給定有功功率、無(wú)功功率。對(duì)于PV節(jié)點(diǎn)，其有功功率、電壓誤差方程可表示為(2.15)由于平衡節(jié)點(diǎn)只有一個(gè)，電壓不參加迭代，其電壓為(2.16)上述的功率誤差方程和電壓誤差方程構(gòu)成的方程組即為牛頓-拉夫遜法潮流計(jì)算所要求解的非線性方程組。非線性方程組中的待求量為各節(jié)點(diǎn)的電壓的實(shí)部和虛部。除了一個(gè)平衡節(jié)點(diǎn)的電壓已知外，共有個(gè)未知數(shù)待求。在具有個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的電力系統(tǒng)中，PQ節(jié)點(diǎn)有個(gè)，PV節(jié)點(diǎn)有個(gè)，則有功功率誤差方程共有個(gè)，無(wú)功功率誤差方程共有個(gè)，電壓誤差方

22、程共有個(gè)所以上述非線性方程組中共有方程個(gè)，與方程中的未知個(gè)數(shù)相同，方程組有唯一的非零解。把個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓變量用初始值與修正值的形式表示為將此關(guān)系式帶到式（2.14）、式（2.15）中，在初值、附近的、范圍內(nèi)將其展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，略去含有、的二次以上各項(xiàng)就可得到修正方程。省略掉迭代次數(shù)的符號(hào)，可寫(xiě)出其矩陣形式為(2.17)式中雅可比矩陣的各個(gè)元素分別為：非對(duì)角線元素時(shí)：(2.18)對(duì)角元素時(shí)：(2.19)分析上述表達(dá)式可以看到，雅可比矩陣具有以下特點(diǎn)：各元素是節(jié)點(diǎn)電壓的函數(shù)，每迭代一次各節(jié)點(diǎn)電壓都要發(fā)生改變，因而各元素也隨之發(fā)生變化；非對(duì)稱矩陣；互導(dǎo)納時(shí)，與之對(duì)應(yīng)的非對(duì)角線元素亦為零，此外因非對(duì)角線

23、元素，故雅可比矩陣是稀疏矩陣。牛頓-拉夫遜潮流計(jì)算的主要流程可簡(jiǎn)述如下：A.形成導(dǎo)納矩陣；B.設(shè)置各節(jié)點(diǎn)電壓初始值、C.將初始值代入式（2.14）、（2.15），計(jì)算各節(jié)點(diǎn)功率及電壓的偏移量、；D.運(yùn)用式（2.18）、式（2.19）計(jì)算雅可比矩陣中的各個(gè)元素；E.解修正方程式（2.17），求出各個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓的修正量、F.求新的電壓初始值，其公式為 G.用新的初始值代入式（2.14）、式（2.15），計(jì)算新的各個(gè)節(jié)點(diǎn)功率及電壓偏移、和；H.檢查計(jì)算是否已經(jīng)收斂，由式（2.14）可知，如電壓趨近與真實(shí)解時(shí)，其功率偏移量趨向零。因而其收斂判據(jù)為其中為預(yù)先給定的小數(shù)。若不收斂返回到第（3）步重新迭代，若

24、收斂進(jìn)行下一步。I.計(jì)算各線路中的功率分布及平衡節(jié)點(diǎn)功率，最后打印出來(lái)計(jì)算的結(jié)果。各線路中的功率平衡節(jié)點(diǎn)功率可安式（2.12）及式（2.13）計(jì)算。牛頓-拉夫遜潮流計(jì)算直角坐標(biāo)式的流程圖如圖2.3所示。開(kāi)始形成節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣輸入原始數(shù)據(jù)設(shè)節(jié)點(diǎn)電壓，i=1,2,n,is置迭代次數(shù)置節(jié)點(diǎn)號(hào)i=1按式（3-3），（3-4）計(jì)算雅克比矩陣元素按式（3-2）計(jì)算節(jié)點(diǎn)的，節(jié)點(diǎn)的，求解修正方程式，得，雅克比矩陣是否已全部形成？計(jì)算平衡節(jié)點(diǎn)及PV節(jié)點(diǎn)功率求，迭代次數(shù) k=k+1i=i+1？潮流計(jì)算完成計(jì)算各節(jié)點(diǎn)電壓的新值：圖2.3 牛頓-拉夫遜潮流計(jì)算直角坐標(biāo)式的流程圖極坐標(biāo)形式的牛頓-拉夫遜潮流計(jì)算節(jié)點(diǎn)電壓不

25、僅可以用直角坐標(biāo)表示，還可以用極坐標(biāo)表示。因此，牛頓-拉夫遜潮流計(jì)算時(shí)的修正方程還有另一種形式。為建立極坐標(biāo)形式的修正方程式，可仍令，但令（為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓相角，為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)與第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓相角之差：）。由此，可以將式（2.14）改寫(xiě)為(2.20)對(duì)于具有個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)，其中有個(gè)PV節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)，式（）組成的方程中共有個(gè)方程式。采用極坐標(biāo)表示時(shí)，方程組個(gè)數(shù)較采用直角坐標(biāo)表示少個(gè)。因?qū)V節(jié)點(diǎn)，采用極坐標(biāo)表示時(shí)，待求的只有電壓的相角和注入無(wú)功功率，而采用直角坐標(biāo)表示時(shí)，待求的有電壓的實(shí)數(shù)部分、虛數(shù)部分和注入無(wú)功功率。所以極坐標(biāo)形式的牛頓-拉夫遜潮流計(jì)算的未知變量少了個(gè)，方程數(shù)也相應(yīng)少了個(gè)。這樣可建

26、立修正方程式的矩陣形式為：(2.21)式中 是階方陣；是階矩陣；是階矩陣；是階方陣。各矩陣的元素分別為：(2.22)將式（）代入（）求偏導(dǎo)數(shù)可得雅可比矩陣中各元素的表達(dá)式如下：非對(duì)角線元素：(2.23)對(duì)角線元素：(2.24)計(jì)算步驟與直角坐標(biāo)形式相似，其程序框圖如圖2.4所示3 稀疏存儲(chǔ)技術(shù)在科學(xué)計(jì)算與工程分析中，常常需要處理一類稀疏性的數(shù)據(jù)，這類數(shù)據(jù)所包含的零元素比例較大，而非零元素所占比例小，我們將此類數(shù)據(jù)稱之為稀疏數(shù)據(jù)。所謂稀疏技術(shù)，是指通過(guò)設(shè)計(jì)算法和編制程序，盡可能避免儲(chǔ)存稀疏數(shù)據(jù)中的零元素以及對(duì)這些元素進(jìn)行計(jì)算。稀疏存儲(chǔ)技術(shù)的核心內(nèi)容是只存儲(chǔ)與非零元素相關(guān)的信息，從而節(jié)省儲(chǔ)存空間并

27、提高計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度。具體的操作方式有很多，如果按照存儲(chǔ)原理可以分為兩大類：一是靜態(tài)數(shù)組結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)方法，二是動(dòng)態(tài)鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)存儲(chǔ)方法。3.1 靜態(tài)數(shù)組結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)方法此類方法采用靜態(tài)數(shù)組存儲(chǔ)稀疏矩陣非零元素的數(shù)值和位置信息，常用的方法有散居格式、按行（列）存儲(chǔ)格式、三角檢索存儲(chǔ)格式等。3.1.1 散居格式在散居格式中，對(duì)階稀疏矩陣A，其非零元素共有個(gè)，令是A中第i行第j列非零元素。可以定義三個(gè)數(shù)組，按下面的存儲(chǔ)格式存儲(chǔ)矩陣A中非零元素的信息：存儲(chǔ)中非零元素的值，共個(gè)存儲(chǔ)中非零元素的行指標(biāo)i，共個(gè) 存儲(chǔ)中非零元素的列指標(biāo)j，共個(gè) 因此，散居格式存儲(chǔ)稀疏矩陣時(shí)，共需要3個(gè)存儲(chǔ)單元。在散居格式中，矩陣A中非零

28、元在數(shù)組中的位置可任意排列，修改靈活。但是，其存儲(chǔ)順序無(wú)一定規(guī)律，檢索起來(lái)不方便，最差的情況下可能性要在整個(gè)數(shù)組中查找一遍。3.1.2 按行（列）存儲(chǔ)格式按行（列）存儲(chǔ)格式的原理是按行(列)順序依次存儲(chǔ)A中的非零元，同一行(列)元素依次排在一起。以按行為例，其存儲(chǔ)格式是：按行存儲(chǔ)矩陣A中非零元的值，共個(gè)；按行存儲(chǔ)矩陣A中非零元的列號(hào)，共個(gè)；記錄A中每行第一個(gè)非零元素在VA中的位置，共個(gè)。由按行（列）存儲(chǔ)格式的特點(diǎn)，要查找第i行的非零元素,在中取出從到共個(gè)非零元就是A中第i行的全部非零元,非零元的值是，列號(hào)為。要查找第i行第j列的元素在中的位置，則對(duì)k從到，判斷列號(hào)是否等于j，如果相等，那么就是

29、要查找的非零元3.1.3 三角檢索存儲(chǔ)格式用三角檢索存儲(chǔ)格式來(lái)存儲(chǔ)非零元素的方法，特別適用于稀疏矩陣的三角分解。以按列存儲(chǔ)A的下三角部分非零元素為例來(lái)說(shuō)明三角檢索存儲(chǔ)格式的原理。其存儲(chǔ)格式是：U存A的上三角部分的非零元的值，按行依次存儲(chǔ)JU存A的上三角部分的非零元的列號(hào)IU存A中上三角部分每行第一個(gè)非零元在U中的位置(首地址)L按列存儲(chǔ)A中下三角非零元素的值IL按列存儲(chǔ)A中下三角非零元素的行號(hào)JL存儲(chǔ)A的下三角部分每列第一個(gè)非零元在L中的位置(首地址)D存儲(chǔ)A的對(duì)角元素的值，其檢索下標(biāo)不需要存儲(chǔ)三角檢索存儲(chǔ)格式示例：則矩陣A的存儲(chǔ)可表示為：IU（3）為4，表明A矩陣上三角部分第3行的第1個(gè)非零

30、元如果有的話應(yīng)在U的第4個(gè)位置，而U表中第4個(gè)位置沒(méi)有非零元素，為了檢索方便，IU(3)仍應(yīng)賦值4。有了IU表即可知道A的上三角部分第i行的非零元的數(shù)目。如果要查找A的上三角第i行所有非零元素，只要掃描A從IU(i)到IU(i+1)1即可，JU(k)指出了該元素的列號(hào)，U(k)是該非零元素的值。對(duì)于按列存儲(chǔ)的格式進(jìn)行查找的情況類同。三角檢索存儲(chǔ)格式在矩陣A的稀疏結(jié)構(gòu)已確定的情況下使用是十分方便的。但在計(jì)算過(guò)程中，如果A的稀疏結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化，即其中的非零元素的分布位置發(fā)生變化，相應(yīng)的檢索信息也要隨著變化，很不方便。3.2動(dòng)態(tài)數(shù)組結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)方法靜態(tài)數(shù)組結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)稀疏矩陣通常采用鏈表存儲(chǔ)，常用的方法有帶

31、行指針數(shù)組的單鏈表表示法、十字鏈表表示法以及二叉單元鏈表數(shù)組等。3.2.1 帶行指針數(shù)組的單鏈表表示法在這種存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)中，需要把具有相同行號(hào)的三元組節(jié)點(diǎn)按照列號(hào)從小到大順序鏈接成一個(gè)單鏈表。稀疏矩陣中的每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)單鏈表，每一個(gè)單鏈表都有一個(gè)表頭指針，為了把它們保存起來(lái)，便于訪問(wèn)每一個(gè)單鏈表，需要使用一個(gè)行指針向量（即一維數(shù)組），該向量中的第各分量（即對(duì)應(yīng)數(shù)組下標(biāo)為的元素）用來(lái)存儲(chǔ)稀疏矩陣中第行所對(duì)應(yīng)的單鏈表的表頭指針。帶行指針數(shù)組的單鏈表結(jié)構(gòu)如圖3.1所示3.2.2 十字鏈表表示法十字鏈表存儲(chǔ)就是既帶行指針向量又帶列指針向量的鏈接存儲(chǔ)。在這種鏈接存儲(chǔ)中，每個(gè)三元組結(jié)點(diǎn)既處于同一行的單鏈表中，

32、又處于同一列的單鏈表中，即處于所在的行單鏈表和列單鏈表的交點(diǎn)處。十字鏈表實(shí)質(zhì)上是動(dòng)態(tài)鏈表，主要用于存儲(chǔ)稀疏矩陣。十字鏈表包括5個(gè)域：行號(hào)(row)、列號(hào)(col)、值(val)、向下指針(down)、向右指針(right)，如圖3.2所示。向下指針用來(lái)指向同列下一個(gè)節(jié)點(diǎn)中的非零元素，向右指針用來(lái)指向同行下一個(gè)節(jié)點(diǎn)中的非零元素，若不存在下一個(gè)節(jié)點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)的指針域?yàn)榭罩?。在稀疏矩陣的十字鏈表存?chǔ)中，需要使用兩個(gè)指針向量，一個(gè)是行指針向量，用來(lái)存儲(chǔ)行單鏈表的表頭指針，另一個(gè)是列指針向量，用來(lái)存儲(chǔ)列單鏈表的表頭指針。如圖3.3給出的稀疏矩陣，對(duì)應(yīng)的十字鏈表示意圖如圖3.4所示圖3.2十字鏈表單元圖3.

33、34階矩陣圖3.4十字鏈表結(jié)構(gòu)3.2.3 二叉單元鏈表數(shù)組普通一維稀疏數(shù)組可以采用單鏈表存儲(chǔ)。在單鏈表中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含非零元素的元素值、編號(hào)等信息以及與該節(jié)點(diǎn)相連的下一個(gè)非零元素地址(next)，另外，還需要有一個(gè)指針 (head) 指向第一個(gè)非零元素存儲(chǔ)單元，如圖3.5所示，3.5(a)是一個(gè)一維稀疏數(shù)組示例，3.5(b)是對(duì)應(yīng)的一維鏈表結(jié)構(gòu)。本文在鏈表的每個(gè)節(jié)點(diǎn)中增加了一個(gè)指針(next2)指向一個(gè)新的存儲(chǔ)單元，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)形成標(biāo)準(zhǔn)的二叉節(jié)點(diǎn)，新開(kāi)辟的存儲(chǔ)單元用于存儲(chǔ)與對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)相關(guān)的信息，由此形成一維二叉單元鏈表。如圖3.5(c)所示，新開(kāi)辟的存儲(chǔ)單元用于放置對(duì)應(yīng)元素是否大于10 的信息fl

34、ag：若大于10，flag 置1，若小于10，置0。圖2.4 一維向量與二叉單元鏈表結(jié)構(gòu)一維二叉單元鏈表用于存儲(chǔ)一維稀疏數(shù)組及其相關(guān)信息。對(duì)于NN 的二維稀疏數(shù)組，若將每一行看作一維稀疏數(shù)組，則該數(shù)組可以看成由N 個(gè)一維稀疏數(shù)組所構(gòu)成。若每一稀疏數(shù)組均采用一維二叉鏈表存儲(chǔ)，另外生成一個(gè)輔助指針數(shù)組用于存儲(chǔ)N 個(gè)一維二叉鏈表的頭地址，則得到本文提出的二叉單元鏈表數(shù)組。圖3.3所示矩陣的二叉單元鏈表數(shù)組如圖3.6。在此，新開(kāi)辟的存儲(chǔ)單元同樣用于放置對(duì)應(yīng)元素是否大于10 的信息flag，或大于10，flag 置1，若小于10，置0。圖3.6二叉單元鏈表數(shù)組4 用于牛頓-拉夫遜潮流計(jì)算的稀疏技術(shù)4.1

35、 節(jié)點(diǎn)分塊雅可比矩陣在電力系統(tǒng)潮流計(jì)算中，雅可比矩陣的形成、方程組求解都是以雅可比矩陣為處理對(duì)象的。因此，研究雅可比矩陣的特點(diǎn)對(duì)提高潮流計(jì)算具有重要的意義。傳統(tǒng)的雅可比矩陣將有功功率、無(wú)功功率和電壓幅值對(duì)電壓實(shí)部或虛部的偏導(dǎo)數(shù)、和按類別分區(qū)后排列，形成、和子陣，然后再構(gòu)成形如的傳統(tǒng)雅可比矩陣。如將傳統(tǒng)的雅可比矩陣分塊，將每一個(gè)節(jié)點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間的鏈接看成一個(gè)整體單元，即可形成以階子陣、構(gòu)成的分塊雅可比矩陣。直角坐標(biāo)形式的分塊雅可比矩陣對(duì)于子陣：非對(duì)角線元素為對(duì)角線元素為對(duì)于子陣：非對(duì)角線元素為對(duì)角線元素為對(duì)于子陣：非對(duì)角線元素為對(duì)角線元素為對(duì)于子陣：非對(duì)角線元素為對(duì)角線元素為對(duì)于子陣：非對(duì)角

36、線元素為對(duì)角線元素為對(duì)于子陣：非對(duì)角線元素為對(duì)角線元素為4.2 二層鏈表的應(yīng)用利用分塊雅可比矩陣和節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣同結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，結(jié)合十字鏈表、二叉單元鏈表以及表頭指針，創(chuàng)建二層鏈表。二層鏈表的上層為十字鏈表，用來(lái)存儲(chǔ)節(jié)點(diǎn)分塊雅可比矩陣(Jac)；二層鏈表的下層為二叉單元鏈表，用來(lái)存儲(chǔ)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣。由于雅可比矩陣與節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的結(jié)構(gòu)相同，則二叉單元鏈表中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的指針項(xiàng)可以指向十字鏈表中的對(duì)應(yīng)單元。因此，二層鏈表將上下兩層的非零單元有機(jī)結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了導(dǎo)納矩陣非零元素定位查詢分塊雅可比子陣的功能。二層鏈表結(jié)構(gòu)示意圖如圖4.1所示圖4.1二層鏈表4.3 二層鏈表的改進(jìn)用于牛頓-拉夫遜潮流計(jì)算的二層鏈表中，

37、節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣與節(jié)點(diǎn)分塊雅可比矩陣中的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)單元均對(duì)應(yīng)了一個(gè)鏈表單元。但是，節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣具有完全對(duì)稱的結(jié)構(gòu)，因此可以采用半三角存儲(chǔ)，即僅存儲(chǔ)矩陣上半三角或下半三角的元素。同時(shí)，節(jié)點(diǎn)分塊雅可比矩陣具有結(jié)構(gòu)對(duì)稱性，由上述分析可知，結(jié)構(gòu)對(duì)稱矩陣在高斯消元過(guò)程中仍然具有結(jié)構(gòu)對(duì)稱性。因此，本文將同構(gòu)存儲(chǔ)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣與節(jié)點(diǎn)分塊雅可比矩陣的二層鏈表折半，形成下三角二層鏈表結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)可以完全滿足節(jié)點(diǎn)分塊雅可比系數(shù)矩陣高斯分解。本文將上下三角位置對(duì)稱的兩個(gè)雅可比分塊子陣和均存儲(chǔ)到下三角的存儲(chǔ)單元內(nèi)。這樣，下三角十字鏈表層中，每個(gè)非對(duì)角節(jié)點(diǎn)就負(fù)責(zé)存儲(chǔ)兩個(gè)子陣八個(gè)元素的值。下層為二叉單元鏈表層，只存儲(chǔ)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩

38、陣下三角非零元素。由于與具有相同的結(jié)構(gòu)，因此，二叉單元鏈表數(shù)組中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的定位指針項(xiàng)同樣可以將上下兩層的非零單元有機(jī)結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)從導(dǎo)納矩陣非零元素定位查詢分塊雅克比子陣的功能。另外，下三角二層鏈表結(jié)構(gòu)中的輔助指針數(shù)組如圖4.1所示的二層鏈表結(jié)構(gòu)。圖4.2為改進(jìn)的下三角二層鏈表結(jié)構(gòu)。圖4.2改進(jìn)的下三角二層鏈表結(jié)構(gòu)總 結(jié)致 謝 本學(xué)位論文是在仰彩霞老師悉心指導(dǎo)下完成的。論文寫(xiě)作中由于對(duì)潮流計(jì)算掌握不全面，論文的進(jìn)展長(zhǎng)期停滯。是仰老師的耐心指導(dǎo)使我可以克服論文寫(xiě)作過(guò)程中的困難和難題。能夠在這樣一位優(yōu)秀、友善的老師知道下完成畢業(yè)論文，我感到非常幸運(yùn)。論文寫(xiě)作期間，閱讀了大量的文獻(xiàn)資料，在此過(guò)程中我

39、了解到許多專業(yè)知識(shí)。至此論文完成之際，謹(jǐn)向我的指導(dǎo)老師表示衷心的感謝和崇高的敬意。 同時(shí)，我也要感謝在武漢輕工大學(xué)學(xué)習(xí)生活中教授和幫助過(guò)我的各位老師，他們使我在學(xué)業(yè)上、思想上得到了很大程度的提升，并提高了我的綜合素質(zhì)和人文修養(yǎng)，這必將對(duì)我以后的學(xué)習(xí)和工作產(chǎn)生積極的影響。 再者我要感謝我的家人多年來(lái)對(duì)我的關(guān)懷和支持。感謝他們從物資上給我?guī)椭?，在精神上給我慰藉。這是我安心學(xué)習(xí)，順利完成學(xué)業(yè)的保障。最后我再次感謝武漢輕工大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院的培養(yǎng)，感謝老師們對(duì)我的教導(dǎo)、栽培和關(guān)心，并祝你們身體健康，工作順利，永遠(yuǎn)快樂(lè)!參考文獻(xiàn)1 朱凌志, 安寧. 基于二維鏈表的稀疏矩陣在潮流計(jì)算中的應(yīng)用J. 電網(wǎng)

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