復(fù)旦大學(xué)衛(wèi)生統(tǒng)計學(xué)課件19二項分布

1、二項分布1引 子瑪麗琳沃斯薩范特是作為“高智商”者被載入吉尼斯大全的一位女士，她為周日報紙主持“請問瑪麗琳”這樣一個專欄，該專欄致力于智力、技巧方面的游戲。有一次的題目是這樣的：從三扇門里面選擇一扇門，其中一扇門后面是汽車，另兩個后面是山羊?，F(xiàn)在你已經(jīng)選好了一扇門，主持人打開另兩扇中的一個，看到是一只山羊，然后主持人問：想改變選擇嗎？請問：改變選擇是否對你有利（更可能贏得汽車）？2瑪麗琳的回答是的，你應(yīng)當改變選擇，因為當初選擇時只有1/3的機會贏得汽車，而改變的話（由于已經(jīng)去掉了一扇門），會有2/3的機會獲勝。她的回答對嗎？3熱情的讀者來信你就是那只山羊！西部州立大學(xué)你錯了，但要看到積極的一面

2、，要是所有理學(xué)博士都錯了，這個國家將陷于嚴重的麻煩之中。美國軍事研究院我希望對這個問題的爭論會喚起公眾對我國數(shù)學(xué)教育嚴重危機的注意，如果你能承認錯誤，你將為扭轉(zhuǎn)這種尷尬局面做出積極的貢獻。你是否知道有多少被激怒的數(shù)學(xué)家在等著你改變想法？喬治敦大學(xué)4什么是二項分布5基本概念注意：兩分類變量并非一定會服從二項分布Bernoulli試驗 例:袋子里有5只乒乓球，2黃3白。每次摸1球，放回后再摸。摸100次，摸到黃球的次數(shù)為對每一次實驗，出現(xiàn)的結(jié)果只有兩種情況，稱為Bernoulli試驗。如所關(guān)心的事件A發(fā)生，稱為“成功”，否則稱為失敗每次試驗結(jié)果，只能是兩個互斥的結(jié)果之一6基本概念Bernoulli

3、試驗序列在重復(fù)實驗中，如果對每一次實驗，出現(xiàn)的結(jié)果只有兩種情況，即Bernoulli試驗。每次試驗的條件不變。即每次試驗中，結(jié)果A發(fā)生的概率不變（假設(shè)均為 ）。各次試驗獨立。即一次試驗出現(xiàn)什么樣的結(jié)果與前面已出現(xiàn)的結(jié)果無關(guān)。由滿足以上三個條件的n次Bernoulli試驗構(gòu)成的序列被稱為是Bernoulli試驗序列 (n是固定的)。7基本概念二項分布對于Bernoulli試驗序列的n次試驗，結(jié)局A出現(xiàn)的次數(shù)X的概率分布服從二項分布 二項分布指的是概率的分布注意：二項分布是一個離散型分布8二項分布的兩個參數(shù)顯然對于不同的n、不同的有不同的二項分布。它們是二項分布的兩個參數(shù)。若X服從二項分布，則記X

4、B(n, )。9二項分布的基本特征二項分布的名稱由來是因為計算公式中含有二項式的展開項二項分布的均數(shù)和方差=n 方差=n(1- )10二項分布的基本特征當 =0.5時，圖形對稱；當 0.5時，圖形呈偏態(tài)，但隨n的增大，圖形逐漸對稱。 因此，當n較大， 不太極端時，可以采用正態(tài)近似方法計算概率分布規(guī)律（例如計算參考值范圍）11樣本率的抽樣分布對于大量重復(fù)隨機抽樣而言，樣本率p圍繞著總體率附近隨機波動，樣本量n的值越大，這種波動的幅度就越小。當n充分大時，p的分布就近似于均數(shù)為，標準差為sqrt( (1- )/n)的正態(tài)分布。 一般的標準是n和n(1- )均大于5，且n40當樣本情況接近此標準時，

5、往往會進行校正注意：上文所說的樣本率p的標準差，為了區(qū)分陽性數(shù)x的標準差，亦稱樣本率的標準差為標準誤。12二項分布的應(yīng)用13總體率的區(qū)間估計對一個總體參數(shù)都有點估計和區(qū)間估計，點估計直接使用樣本統(tǒng)計量即可區(qū)間估計：直接計算概率在樣本例數(shù)較小，且樣本率接近1或0，即陽性事件發(fā)生率很高或很低時，可按照率的抽樣分布規(guī)律確定總體率的可信區(qū)間，為方便應(yīng)用，統(tǒng)計學(xué)家根據(jù)二項分布原理，編制了總體率95%和99%可信區(qū)間的百分率可信區(qū)間表14總體率的區(qū)間估計區(qū)間估計：正態(tài)近似當n較大， 和1- 均不太小時，樣本率的抽樣分布近似正態(tài)分布，因此可按正態(tài)近似法求總體率的1- 可信區(qū)間。Stata計算沒有這么麻煩，使

6、用cii命令即自動完成例6.1 某療法治療某病28人，6人有效，求該療法有效率的95%可信區(qū)間。例6.2 某療法治療某病10人，7人有效，求該療法有效率的95可信區(qū)間。15樣本率與已知總體率的比較如前所述，當n較大， 和1- 均不太小時，樣本率的抽樣分布近似正態(tài)分布，可利用正態(tài)分布的原理作假設(shè)檢驗。 反之，則可使用二項分布自身的概率分布進行假設(shè)檢驗，這種方法被稱為確切概率法16樣本率與已知總體率的比較例6.4 用常規(guī)療法治療流行性出血熱的病死率為15%，現(xiàn)用某新法治療50名患者，死亡6例，問新法治療流行性出血熱的病死率是否不等于常規(guī)療法。由于樣本量較大，因此可以考慮采用正態(tài)近似法分析17樣本率

7、與已知總體率的比較假設(shè)檢驗(正態(tài)近似法)H0：新法和常規(guī)療法治療流行性出血熱的病死率相等， = 0H1：新法和常規(guī)療法治療流行性出血熱的病死率不相等，即 0 設(shè)=0.05檢驗統(tǒng)計量為當H0成立時，統(tǒng)計量U近似服從標準正態(tài)分布。即：若|U|1.96 ，則拒絕H0。18樣本率與已知總體率的比較本例：|U|1.96，不能拒絕H0，因此沒有足夠的增加證據(jù)可以推斷新療法的病死率與傳統(tǒng)認療法不同。Stata 操作命令為：prtesti 50 6 0.15,count 結(jié)果與上述相同。19樣本率與已知總體率的比較例6.5 已知A藥物治療幽門螺旋桿菌感染的治愈率為60%?，F(xiàn)擬用B藥物治療。現(xiàn)用B藥治療幽門螺旋

8、桿菌感染患者10人，其中9人治愈。問B藥治療幽門螺旋桿菌感染的治愈率是否不同于A藥的治愈率。樣本量較小，需要使用確切概率計算來完成分析顯然，本次檢驗應(yīng)當是雙側(cè)檢驗。20確切概率法的基本思想假設(shè)檢驗可以理解為根據(jù)水平，把統(tǒng)計量可能的取值范圍分為拒絕范圍（亦稱拒絕域)和不拒絕范圍。如果統(tǒng)計量的取值落在拒絕范圍內(nèi)（即：P )，則拒絕H0，反之不拒絕H0。對于確切概率法也是相同的，根據(jù)水平，把可能的樣本點范圍分為拒絕范圍和不拒絕范圍，如果樣本點X落在拒絕范圍內(nèi)，則拒絕H0，反之不拒絕H0。21確切概率法的基本思想拒絕范圍構(gòu)成的(雙側(cè)檢驗)基本原則(以下是H0為真的假設(shè)下的概率)：屬于拒絕范圍內(nèi)的任一可

9、能樣本點的概率小于非拒絕范圍的任一可能樣本點的概率；拒絕范圍內(nèi)所有可能樣本點的累積概率 。定義：記P=小于等于實際樣本點概率的所有可能樣本點概率之和。22確切概率法的基本思想如果實際樣本點在拒絕范圍內(nèi)，根據(jù)P值定義和拒絕范圍構(gòu)成的原則可知，P ，因此不能拒絕H0。綜合上述可知：這樣定義P是可以用于假設(shè)檢驗的。23樣本率與已知總體率的比較建立假設(shè)H0：B藥的幽門螺旋桿菌感染治愈率=60%H1：B藥的幽門螺旋桿菌感染治愈率 60%雙側(cè)檢驗=0.05計算概率值P=小于等于實際樣本點概率的所有可能樣本點概率之和先計算樣本點的概率24樣本率與已知總體率的比較也可以用Stata命令bitesti 10 9

10、 0.6得到相同的結(jié)果。假設(shè)H0為真的情況下，計算治愈人數(shù)的概率分布25樣本率與已知總體率的比較如果研究前已知道B藥療效不低于A藥的信息，則此例研究問題可改為單側(cè)檢驗H0：=0.6 vs H1：0.6 =0.05可首先計算成立時總體中出現(xiàn)現(xiàn)有樣本點X=9的概率計算H1：方向更極端的情況。P=P9+P10=0.0403108+0.0060466=0.0463574拒絕H0。26成組設(shè)計兩樣本率的比較 一般而言，在這種情況下用得比較多的都是大樣本情況下的正態(tài)近似檢驗，本書中的例題也均為這種情況顯然，當樣本量小的時候，可以使用確切概率法加以檢驗，但這一部分的內(nèi)容將在隨后的課程中講述27成組設(shè)計兩樣本率的比較例6.6 為了解含氟牙膏預(yù)防齲齒的效果，共調(diào)查使用含氟牙膏的兒童200名，患齲齒人數(shù)為70人，使用一般牙膏的兒童100人，患齲齒人數(shù)為45人，問使用含氟牙膏與使用一般牙膏兒童的齲患率有無差別。本例符合正態(tài)近似的條件，使用含氟牙膏和一般牙膏兒童的樣本齲患率近似正態(tài)分布，采用u檢驗進行統(tǒng)計推斷。28成組設(shè)計兩樣本率的比較建立