高考數(shù)學(xué)題解法思想指引

1、 高考數(shù)學(xué)題解法思想指引 數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過高度提煉概括后產(chǎn)生的本質(zhì)熟悉，是數(shù)學(xué)學(xué)問和（方法）產(chǎn)生的根本源泉，是解決數(shù)學(xué)問題過程中的指路明燈. 一道好的試題，不在于華麗的“包裝”，而在于本身所蘊(yùn)涵的思想方法.下面就是我給大家?guī)淼母呖紨?shù)學(xué)題解法思想指引，盼望大家喜愛！ 高考數(shù)學(xué)題解法思想指引 在數(shù)學(xué)的學(xué)問和技能中，蘊(yùn)涵著具有普遍性的數(shù)學(xué)思想，它是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂，是學(xué)問轉(zhuǎn)化為力量的橋梁，是人們對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論，經(jīng)過高度提煉概括后產(chǎn)生的本質(zhì)熟悉，是數(shù)學(xué)學(xué)問和方法產(chǎn)生的根本源泉，是解決數(shù)學(xué)問題的指路明燈. 對(duì)數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向更深層次的一個(gè)標(biāo)志. 高考試題中也蘊(yùn)涵了豐富

2、的數(shù)學(xué)思想，只有挖掘其中的思想，才能深化熟悉試題，透徹分析試題，順當(dāng)解答試題. 試題呈現(xiàn)：已知實(shí)數(shù)a，b，c滿意a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值是_. （2021年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試卷第16題） 點(diǎn)評(píng)：此題雖小，卻是亮點(diǎn).看似平常，卻是豐富多彩.入口寬，方法多，蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想. 探究視角1 構(gòu)造思想方法的應(yīng)用 構(gòu)造法是一種極其重要的數(shù)學(xué)思想方法，其本質(zhì)特征是構(gòu)造，通過觀看、分析已知條件和需要解決的問題，聯(lián)系已有的學(xué)問，構(gòu)造出適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)式子或數(shù)學(xué)模型，來解決問題. 1. 構(gòu)造重要不等式 x，yR，x2+y22xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等. 推論：x，yR，x2+y2，當(dāng)且

3、僅當(dāng)x=y時(shí)取等. 解法1：由于a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2， 由于（b+c）22（b2+c2），所以a22-2a2，所以3a22， 所以-a，所以a的最大值是，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等. 解法2：由于a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以a2=1-（b2+c2）1-=1-，所以a22-2a2，所以3a22，所以-a，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等. 解法3：由于a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2， 所以bc=a2-. 由于b，cR，b2+c22bc， 所以a22-2a2，所以3a22，所以-a， 所以a的最大值是

4、，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等. 2. 構(gòu)造柯西不等式 二維柯西不等式：任取實(shí)數(shù)x1，x2，y1，y2，（x21+x22）（y21+y22）（x1y1+x2y2）2， 當(dāng)且僅當(dāng)xi=kyi（i=1，2）時(shí)取等. 解法4：由于a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2. 由柯西不等式可得（b2+c2）（12+12）（b+c）2，所以a22-2a2，所以3a22，所以-a，所以a的最大值是，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等. 探究視角2 函數(shù)與方程思想方法的應(yīng)用 函數(shù)與方程思想是數(shù)學(xué)本質(zhì)的思想之一. 函數(shù)思想是指利用函數(shù)的概念與性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題、解決問題.方程思想是指從問題的

5、數(shù)量關(guān)系入手，用數(shù)學(xué)語言問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如方程、不等式、方程與不等式組等，然后通過解方程或不等式組使問題得到解決. 解法5：（構(gòu)造方程） 由于a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，所以bc=a2-，所以b，c為一元二次方程x2+ax+a2-=0的兩個(gè)分布在（-1，1）上的實(shí)根. 所以=a2-4a2-0，1+a+a2-0，1-a+a2-0，-1-1， 所以a2，所以-a，所以a的最大值是. 點(diǎn)評(píng)：此法是將已知條件轉(zhuǎn)化為一元二次方程，常用判別式來探求根的狀況，但要留意根的分布. 解法6：（消元，削減變量） 由于a+b+c=0，a2+b2+c2=1

6、，所以c= -（a+b）. 所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），所以ab+bc+ac=-. 消掉c得，a2+b2+ab-=0. 解法7：（增量換元，構(gòu)造函數(shù)） 由于a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2. 所以令b=-+x，c=-x，xR，則-+x+-x=1-a2，xR.所以a2=（1-2x2），xR，所以a2，所以-a，所以a的最大值是. 解法8：（三角換元） 由于a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，b=sin，c=cos，則-a=b+c=（sin+cos）=sin+. 所以sin+=

7、 ，所以1. 所以a2，所以-a，所以a的最大值是. 點(diǎn)評(píng)：換元法又稱幫助元素法、變量代換法，即通過引進(jìn)新的變量，可以將分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者將條件與結(jié)論聯(lián)系起來，或者變?yōu)槭熳R(shí)的形式，從而將簡(jiǎn)單的計(jì)算和證明簡(jiǎn)化. 探究視角3 數(shù)學(xué)結(jié)合思想 華羅庚先生說過：“數(shù)與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛. 數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.” 數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用時(shí)關(guān)鍵在于數(shù)形相互轉(zhuǎn)化，即用代數(shù)方法處理幾何問題，或通過構(gòu)圖解決代數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用不僅能整合同學(xué)相關(guān)的數(shù)學(xué)學(xué)問，而且能培育同學(xué)的（創(chuàng)新思維）. 解法9：（坐標(biāo)思想，直線與圓的位置關(guān)系） 由于a+b+c

8、=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2， 所以點(diǎn)（b，c）在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，同時(shí)又在直線b+c+a=0上，則由直線與圓的位置關(guān)系可得：圓心距d=. 所以a2，所以-a，所以a的最大值是. 解法10：（構(gòu)造三角形，利用正余弦定理來解三角形） 由于a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以c= -（a+b）， 所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），所以ab+bc+ac=- 消掉c得，a2+b2+ab-=0？圯a2+b2-=-ab. 以a，b，為邊構(gòu)造三角形，令其所對(duì)角分別為A，B，D，則由余弦定理可得，cosD=. （1）若ab0，

9、則cosD=-，則D=，在ABD中由正弦定理可得，=，則a=sinA，A0，0（2）若ab0，則cosD=，則D=，A+B=，在ABD中由正弦定理可得，=，則a=sinA，A0，0由（1）（2）可得a的最大值是. 探究視角4 特別化思想的應(yīng)用 依據(jù)沖突論的基本原理，我們?cè)谑煜な挛锖徒鉀Q問題的過程中，必需堅(jiān)持詳細(xì)問題詳細(xì)分析. 也就是在沖突普遍性原理的指導(dǎo)下，詳細(xì)分析沖突的特別性.數(shù)學(xué)問題，特殊是高考試題變化無窮、深淺莫測(cè)、精彩紛呈. 在解題中，若能充分挖掘隱蔽于問題之中或與之相關(guān)的特別值、特別點(diǎn)、特別圖形、特別位置和特別結(jié)構(gòu)，則可避開煩瑣的運(yùn)算、作圖和推理，得到意想不到的、新奇獨(dú)特的最佳解法.

10、 這種利用特別因素，實(shí)行特別方法，解決特別問題的思維方法，我們稱之為特別化思想方法. 每年的高考題中（尤其是選擇題和填充題）都有幾道題可直接運(yùn)用特別化思想方法獲解. 解法11：特別值法 由于a+b+c=0，a2+b2+c2=1，令b=c，則a=-2b，a2=1-2b2. 所以消掉b得a2=1-2，所以a2=，所以a=， 所以a的最大值是. 數(shù)學(xué)思想方法不是操作程序，沒有詳細(xì)的步驟，需要感悟、理解，但是，沒有數(shù)學(xué)思想方法就找不到解題方向. 在上述解法探究中，要感悟試題中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，在上述四個(gè)視角中體現(xiàn)了構(gòu)造思想、函數(shù)思想、方程思想、換元思想、數(shù)形結(jié)合思想、特別化思想. 近年的高考越來越重視對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查. 隨著試題難度的上升，數(shù)學(xué)思想方法的作用會(huì)越來越重要. 高考數(shù)學(xué)題解法思想指引相關(guān)（文章）： 1.高中數(shù)學(xué)大題的解題技巧及解題思想 2.高中數(shù)學(xué)解題思維力量是如何煉成的 3