奧林匹克數(shù)學(xué)的技巧

1、奧林匹克數(shù)學(xué)的技巧（中篇）2-7-8 配對配對的形式是多樣的,有數(shù)字的湊整配對或共軛配對,有解析式的對稱配對對或整體配對,有子集與其補(bǔ)集的配對,也有集合間象與原象的配對；凡此種種,都表達(dá)了數(shù)學(xué)和諧美的追求與力氣,小高斯求和（1+2+99+100）首創(chuàng)了配對,IMO 16 3 也用到了配對；例 2-143 求 305 n 之值；502n 0 503解 作 配 對 處 理5 0 2 2 5 1 2 5 13 0 5 3 0 5 3 0 5 5 0 3 3 0 4 5 0 3 3 0 4 2 5 1 7 6 3 0 4n 0 5 0 3 n 1 5 0 3 5 0 3 n 1 5 0 3例 2-14

2、4 求和 a n C 1n 2 C n 2kC n knC n n解一 由 C n kC n n k把 a 倒排,有 a n 0 C n 01 C n 12 C n 2kC n knC n nn n 1 n k na n nC n n 1 C n n k C n0 C n相加 2 a n n C n 0C 1nC n n n 2 n得 a n n 2 n 1解二 設(shè)集合 S 1,2, n,留意到 k C n kA k 1 , 2 , , nA S A k有 a n AA S為了求得 A 把每一 A S,讓它與補(bǔ)集 A 配對,共有 2 n 對,且每對中均A S有 A A n于是 a n A n

3、nn n 2 n 1A S這兩種解法形式上雖有不同,但本質(zhì)上是完全一樣的,仍有一個解法見例 2-149；例 2-145 設(shè)x 1,x 2,x n是給定的實數(shù),證明存在實數(shù)2x 使得xx 1xx 2xx nn21這里的y 表示 y 的小數(shù)部分；證明有yy1,y ZZ知yy10,yxx n下面利用這一配對式的結(jié)論；設(shè)fix ix 1x 1x 2in1fi1ijnx ixjxjxi1ijn1C2n n1n12據(jù)抽屜原理知,必存在k1kn ,使fk1C2nnn取xx ,由上式得xx 1xx 2xx nn212-7-9 特殊化 特殊化表達(dá)了以退求進(jìn)的思想：從一般退到特殊,從復(fù)雜退到簡潔,從 抽象退到詳細(xì)

4、,從整體退到部分,從較強(qiáng)的結(jié)論退到較弱的結(jié)論,從高維 退到低維,退到保持特點的最簡潔情形、退到最小獨立完全系的情形,先 解決特殊性,再歸納、聯(lián)想、發(fā)覺一般性；華羅庚先生說,解題時先足夠 地退到我們最易看清晰問題的地方,認(rèn)透了、鉆深了,然后再上去；特殊化既是查找解題方法的方法,又是直接解題的一種方法；例 2-146 已知恒等式 2 x8 1 a x8 b2 xc x44 d081cd求實數(shù)a b c d ,其中a0；解對x 取特殊值,當(dāng)x1時,有ab2242故有ab0（1）1cd0（2）2428 bd （3）又取x0（即比較常數(shù)項系數(shù)） ,有1比較 x 的系數(shù)（考慮特殊位置） ,有 2 8a 8

5、1（4）由得 a 82 81 8 255 代入（ 1）,得 b 8 2552代入原式左邊,有 2 x 1 8 8255 x 255 8256 x 1 8255 x 1 82 2 21 8 2 1 4 x x x 2 4故知 c 1, d 1；4也可以將 a b 的值代入（ 3）、（2）求 d c,但要檢驗排除增根；例 2-147 已知 a 為常數(shù), x R,且 f x a f 1f x 1求證 f x 是周期函數(shù)；分析 作特殊化探究；求解的困難在于不知道周期,先特殊化,取一個滿意條件的特殊函數(shù) f ctgx 且 a,有 ctg x ctgx 14 4 ctgx 1但 ctgx 的周期為 T 4

6、 4 a ；4猜想：T 4 a是周期；f x 11證明 由已知有 f x 2 f x a 1 f x 1 1f x a 1 f x 11 f x f x 1據(jù)此,有 f x 4 1 1f x f x 2 1f x 得證 f x 為周期函數(shù),且 T 4 a為一個周期；例 2-148 在平面上給定始終線,半徑為n 厘米（ n 是整數(shù)）的圓以及在圓內(nèi)的 4n條長為 1 厘米的線段；試證在給定的圓內(nèi)可以作一條和給定直線 平行或垂直的弦,它至少與兩條給定的線段相交；分析特殊化,令n1,作一個半徑為1 的圓,在圓內(nèi)作四條1 厘米長的線段,再作一條與已知直線L 垂直的直線 L （圖 2-63）現(xiàn)從結(jié)論入手,

7、 設(shè) AB L 并與兩條弦相交, 就交點在 L 上的投影重合,反之,假如四條線段在 L 或 L 上的投影有重合點,就從重合點動身作垂線即可；由特殊化探究出一個等價命題： 將給定的線段向已知直線 L 或 L 的垂線作投影時,至少有兩個投影點重合；這可以通過長度運算來證明；證明 設(shè)已知直線為 L,作 L L,又設(shè) 4n條線段為 d d 2 , d 4 n,每一條id 在 L,L 上的投影長為 a b i 1 i 4 n ,有 a i 0, b i 0, a i 2b i 21；由 a i b i a i b i 2a i 2b i 214 n 4 n 4 n得 a i b a i b i 4 ni

8、 1 i 1 i 14 n 4 n從而,兩個加項 a i , b 中必有一個不小于 2n厘米,但圓的直徑為 2n厘i 1 i 1米,故 d d 2 , d 4 n 在 L 或 L 的投影中,至少有兩條線段的投影相交,過重迭點作 L 或 L 的垂線即為所求；（將a b 表示為三角函數(shù)運算更便利）.IMO27 5（例 2-51）的求解過程,實質(zhì)上是對表達(dá)式ff xf f f xy中函數(shù)的三個表達(dá)式f ,fxy ,fxy y 分別取值為202-7-10 一般化推動到一般, 就是把維數(shù)較低或抽象程度較弱的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為維數(shù)較高、抽象程度較強(qiáng)的問題,通過整體性質(zhì)或本質(zhì)關(guān)系的考慮,而使問題獲得解決,離散的

9、問題可以一般化用連續(xù)手段處理,有限的問題可以一般化用數(shù)學(xué)歸納法處理,由于特殊情形往往涉及一些無關(guān)宏旨的細(xì)節(jié)而掩蓋了 問題的關(guān)鍵,一般情形就更明確地表達(dá)了問題的本質(zhì)；波利亞說：“ 這看起 來沖突,但當(dāng)從一個問題過渡到另一個,我們經(jīng)?？吹?新的雄心大的問 題比原問題更簡潔把握,較多的問題可能比只有一個問題更簡潔回答,較 復(fù)雜的定理可能更簡潔證明,較普遍的問題可能更簡潔解決；”希爾伯特仍說：在解決一個數(shù)學(xué)問題時,假如我們沒有獲得勝利,緣由 經(jīng)常在于我們沒有熟悉到更一般的觀點,即眼下要解決的只不夠是一連串 有關(guān)問題的一個環(huán)節(jié)；例 2-149 求和（例 2-144）nCa nC12 C2kCknCnnn

10、nnkk x解引進(jìn)恒等式 1xn k0對x 求導(dǎo)n1x n1nk kC xk1k1令x1,得nk kC nn2n1；k1這實質(zhì)是將所面臨的問題,放到一個更加波濤洶涌的背景上去考察,當(dāng) 中既有一般化、又有特殊化；例 2-150 1985 個點分布在一個圓的圓周上,每個點標(biāo)上 +1 或-1,一個 點稱為“ 好點” ,假如從這點開頭,依任一方向繞圓周前進(jìn)到任何一點時,所經(jīng)過的各數(shù)的和都是正的；證明：假如標(biāo)有 上至少有一個好點；-1 的點數(shù)少于 662 時,圓周證明 這里 662 與 1985 的關(guān)系是不清晰的,一般化的過程其實也就是揭示它們內(nèi)在聯(lián)系的過程, 可以證明更一般性的結(jié)論： 在 3 n 2

11、個點中有 n 個-1 時,“ 好點” 肯定存在；（1）n 1 時,如圖 2-64,A、B、C、D 標(biāo)上+1,就 B、C 均為好點；（2）假設(shè)命題當(dāng) n k 時成立,即 3 k 2 個點中有 k 個-1 時,必有好點；對 n k 1,可任取一個 -1,并找出兩邊距離它最近的兩個 +1,將這 3 個點一齊去掉,在剩下的 3 k 2 個點中有 k 個-1,因而肯定有好點,記為 P；現(xiàn)將取出的 3 個點放回原處,由于 P 不是離所取出的 -1 最近的點,因而從 P動身依圓周兩方前進(jìn)時,必先遇到添回的 +1,然后再遇到添回的-1,故 P仍是好點,這說明,n k 1 時命題成立；由數(shù)學(xué)歸納法得證一般性命題

12、成立,取 n 661 即得本例成立；這里一般化的好處是：第一,可以使用數(shù)學(xué)歸納法這個有力工具；其次歸納假設(shè)供應(yīng)了一個好點,使得順當(dāng)過渡到nk1；一般說來,更強(qiáng)的命題供應(yīng)更強(qiáng)的歸納假設(shè)；n k n k例 2-151 設(shè) m n N ,求證 S 1 km 2 m 2 是整數(shù)；k 0 k 0n n證明 考慮更一般性的整系數(shù)多項式 f x kx kk 0 k 0由 f x f x 知 f x 是偶函數(shù),從而 f x 只含 x 的偶次項,得 f x 是含 x 的整系數(shù)多n k n k項式,特殊地,取 x 為正整數(shù)即 m x ,得 S f m 1 km 2 m 2 為整k 0 k 0數(shù)；這里,把常數(shù)m 一

13、般化為變數(shù)之后,函數(shù)性質(zhì)便成為解決問題的鋒利武器；2-7-11 數(shù)字化數(shù)字化的好處是：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的同時,仍將抽象的推理轉(zhuǎn)化為詳細(xì)的運算；這在例 2-33 中已見過；例 2-152 今有男女各 2n 人,圍成內(nèi)外兩圈跳舞,每圈各 2n 人,有男有女,外圈的人面對內(nèi),內(nèi)圈的人面對外,跳舞規(guī)章如下：每當(dāng)音樂一起,如面對面者為一男一女,就男的邀請女的跳舞,假如均為男的或均為女的,就鼓掌助興,曲終時,外圈的人均向左橫移一步,如此連續(xù)下去,直至外圈的人移動一周；證明：在整個跳舞過程中至少有一次跳舞的人不少于 n 對；解 將男人記為 +1,女人記為 -1,外圈的 2n 個數(shù) a a 2 , a

14、 2 n 與內(nèi)圈的 2n個數(shù) b b 2 , b 2 n 中有 2n個 1,2n個-1,因此,和 a 1 a 2a 2 n b 1 b 2b 2 n 0從而 a 1 a 2a 2 n b 1 b 2b 2 n b 1 b 2b 2 n 20 另一方面, 當(dāng) 1a 與 ib 面對面時,a b a b i 1 , a b i 1 中的-1 的個數(shù)表示這時跳舞的對數(shù),假如在整個過程中,每次跳舞的人數(shù)均少于 n 隊,那么恒有a b i a b i 1a b i 1 0 i 1,2, 2 n）2 n從而總和 0 a b i a b i 1a b i 1 a 1 a 2a 2 n b 1 b 2b 2 n

15、 i 1由與沖突知,至少有一次跳舞的人數(shù)不少于 n 對；這里仍用到整體處理的技巧；例 2-153 有男孩、女孩共 n 個圍坐在一個圓周上 （n 3）,如次序相鄰的 3 人中恰有一個男孩的有 a 組,次序相鄰的 3 人中恰有一個女孩的有 b組,求證 3 a b；證明 現(xiàn)將小孩記作 ia i 1,2, ,且數(shù)字化1 a i 表示男孩時a i1 a i 表示女孩時3 a a i 1 , a i 2 均為男孩就 A i a i a i 1 a i 2 3 a a i 1 , a i 2 均為女孩1 a a i 1 , a i 2 恰有一個女孩1 a a i 1 , a i 2 恰有一個男孩其中 a n

16、 j a j又設(shè)取值為 3 的 iA 有 p 個,取值為 3的 iA 有 q 個,依題意,取值為 1 的 iA有 b 個,取 值 為 1 的 iA 有 a 個,得3 a 1 a 2a n a 1 a 2 a 3 a 2 a 3 a 4 a n a 1 a 2 3 p 3 q 1 a b 3 p q b q a j 表示男孩時可 見 3 a b,也 可 以 數(shù) 字 化 為 a ja j 表示女孩時1 3 . w 312 21 a a i 1 , a i 2 表示三男或三女有 a a i 1 a i 2 a a i 1 , a i 2 表示二男一女2a a i i 1 , a i 2 表示一男二女

17、考慮積 1 a a 2a n 3 b a知 3 a b2-7-12 有序化當(dāng)題目顯現(xiàn)多參數(shù)、多元素（數(shù)、字母、點、角、線段等）時,如按一定的規(guī)章（如數(shù)的大小,點的次序等） ,將其重新排列,就排序本身就給題目增加了一個已知條件（有效增設(shè)） ,從而大大降低問題的難度；特殊是處理不等關(guān)系時,這是一種行之有效的技巧；例 2-154 設(shè)有 2 n2 n的正方形方格棋盤；在其中任意的3n 個方格中各放一枚棋子,求證可以選出 n 行和 n 列,使得 3 枚棋子都在這 n 行和 n 列中；a a證明2n設(shè) 3n 枚棋子放進(jìn)棋盤后,2n 行上的棋子數(shù)從小到大分別為2,a,有0a 1a22a2n2nna 1a2a

18、 nan1a2n3n由此可證an1a n2a 2n（1）如a n12,式明顯成立；na n12 n（2）如a n11時,a 1a2a n從而an1a na2n3na 1a2a n得式也成立；據(jù)式,可取棋子數(shù)分別為 a n 1 , a n 2 , a 2 n 所對應(yīng)的行,共 n 行；由于剩下的棋子數(shù)不超過 n,因而至多取 n 列必可取完全部 3n 個棋子；例 2-155 設(shè) x 1 , x 2 , x n 都是自然數(shù),且滿意 x 1 x 2x n x x 12 x n求x 1,x 2,xn中的最大值；（n2）2 n,2 的最解由條件的對稱性,不妨設(shè)x 1x2xn這就轉(zhuǎn)變了條件的對稱性,相當(dāng)于增加

19、了一個條件xn1否就,xn11,由知x 1x2xn1xn11從而,代入得n1xnx 沖突,這時,由有x nx 1x 21xn1x x 2x n2x x2x n2x x 2xn1x n1x x2x n1x x 2x n11n2x n1x x2xn2x x2x n11n22xx n1x x2x n2nx21x n11n11nx xn1x x2x n2n1x n1x x2,xn當(dāng)x 1x 2x n21且xn12時,nx有最大值 n,這也就是大值；2-7-13 不變量 在一個變化的數(shù)學(xué)過程中經(jīng)常有個別的不變元素或特殊的不變狀態(tài),表 現(xiàn)出相對穩(wěn)固的較好性質(zhì),挑選這些不變性作為解題的突破口是一個好主 意；

20、例 2-156 從數(shù)集 3,4,12 開頭,每一次從其中任選兩個數(shù)a b,用3 5a4b5和4 5a3b 代替它們；能否通過有限多次代替得到數(shù)集4,6,12 ,5解對于數(shù)集a b c ,經(jīng)過一次替代后,得出3a4b ,4a3b c ,5555有3a4b24a3b2c2a2b2c25555即 每 一 次 替 代 后 , 保 持32422 1 22 42 6知,3 個 元 素 的 平 方 和 不 變 （ 不 變 量 ）； 由不能由 3,4,12 替換為14,6,12 ；2,a 2n1具有性質(zhì) p ；從其中任意去掉一個,例 2-157 設(shè) 2n個整數(shù)a a剩下的 2n個數(shù)可以分成個數(shù)相等的兩組,相等

21、；其和相等； 證明這 2n+1 個整數(shù)全證明 分三步進(jìn)行,每一步都有“ 不變量” 的想法；第一步 先證明這 2n+1 個數(shù)的奇偶性是相同的；由于任意去掉一個數(shù)后,剩下的數(shù)可分成兩組,其和相等,故剩下的2n 個數(shù)的和都是偶數(shù)； 因此,任一個數(shù)都與這 2n+1 個數(shù)的總和具有相同的奇偶性；其次步 假如 a a 2 , a 2 n 1 具有性質(zhì) P,就每個數(shù)都減去整數(shù) c 之后,仍具有性質(zhì) P,特殊地取 c a ,得 0, a 2 a a 3 a 1 , a 2 n 1 a 1也具有性質(zhì) P,由第一步的結(jié)論知,a 2 a a 3 a 1 , a 2 n 1 a 1 都是偶數(shù)；第三步 由 0, a 2

22、 a a 3 a 1 , a 2 n 1 a 1 為偶數(shù)且具有性質(zhì) P,可得0, a 2 a 1 , a 3 a 1 , a 2 n 1 a 12 2 2都是整數(shù),且仍具有性質(zhì) P,再由第一步知,這 2 n 1 個數(shù)的奇偶性相同,為偶數(shù),所以都除以 2 后,仍是整數(shù)且具有性質(zhì) P,余此類推,對任意的正整數(shù) k,均有0,a 2k 2a 1,a 32ka 1,a 2n1ka 1為整數(shù),且具有性質(zhì)P,因 k 可以任意大,這2就推得a2a 1a 3a 1a2n1a 10即a 1a 2a212-7-14 整體處理數(shù)學(xué)題本身是一個子系統(tǒng),在解題中,留意對其作整體結(jié)構(gòu)的分析,從整體性質(zhì)上去把握各個局部,這樣

23、的解題觀念或摸索方法,稱為整體處理；例 2-158 九個袋子分別裝有9,12,14,16,18,21,24,25,28 只球,甲取走如干袋,乙也取走如干帶,最終只剩下一袋,已知甲取走的球 數(shù)總和是乙的兩倍,問剩下的一袋內(nèi)裝有球幾只？解 從全局上考慮,由于甲取走的球數(shù)是乙取走球數(shù)的兩倍,所以取 走的球數(shù)總和必是 3 的倍數(shù),而九個袋子的球數(shù)之和被 3 除余 2,所以剩下的一袋也是被 3 除余 2,又由于九袋中,只有14 球 14 只；2mod3 ,故剩下的袋內(nèi)裝例 2-159 證明任意 3 個實數(shù) a b c 不能同時滿意以下三個不等式a b c b c a , c a b證明 如不然,存在 3

24、 個實數(shù) a 0 , b c ,使a 0 b 0 c 0 b 0 c 0 a 0 c 0 a 0 b 0相乘 0 a 0 b 0 c 0 2a 0 b 0 c 0 2b 0 c 0 a 0 20這一沖突說明,任意 3 個實數(shù) a b c不能同時滿意題設(shè)的三個不等式；2-7-15 變換仍原利用那些具有互逆作用的公式或運算,先作交換,再作仍原,是繞過難點,躲開險處的一個技巧；x 10,x 11,且113x n1例 2-160 求數(shù)列的通項,已知xn1x nx23 1nn32 x n解引進(jìn)變換F x 1x x,有FFx x1由x nx n12 x n13 n n113 1 x 131 32 x n1

25、1 x n3 1x 131 x n1F F11x n131F31x n111x n131F3x n11x n1F3 nx 1得F x nF F F3x n1F3x n1F32x n2得x nF F x n F F3 n1x 1 11x 13n11x 13 n11x 13 n11x 111x 13n11x 13 n11x 13 n11x 1例 2-161 證明恒等式nk 1Ck1111（1）n2knk1證明利用互逆公式：如b nkl 1l C alk0 , 1 , 2 ,（2）t0就annk 1k C b k1,2,n0 , 1 , 2 ,b 0（3）111,n1,2,記a 0k01,l0,b

26、n0,a ll2n先作（ 2）中的運算b klk1l 1Cl1 lk1l 11Clk 1111k1kl1kklk1l 111CCl1 1 1k1l1k1klkk1l 1111 C k1k1l 11Clk 11l11l1klkkb k11lk1l 11 Clb n11b k2k1kkk1 1112k再作（ 3）中的運算1a nkn0k 1k C b nkn0 1kk C n111n2k2-7-16 逐步調(diào)整在涉及到有限多個元素的系統(tǒng)中,系統(tǒng)的狀態(tài)是有限的,因而總可以經(jīng)過有限次調(diào)整,把系統(tǒng)調(diào)整到所要求的狀態(tài)（經(jīng)常是極值狀態(tài)）；例 2-162 已知二次三項式 f x ax 2bx c 的全部系數(shù)都是

27、正的且a b c 1, 求 證 ： 對 于 任 何 滿 足 x x 2x n 1 的 正 數(shù) 組 x x 2 , x n, 都 有f x 1 f x 2 f x n 1（1）證明 由 f 1 a b c 1 知,如 x 1 x 2x n 1（2）就（1）中等號成立；如x 1,x 2,x n不全相等,就其中必有x i1,xj1（不妨設(shè) ij ）,由f x i f x j f 1 f x x j 2 2 2 2 a x b x a x j b x c a b i c j a x x j b x x c2 2abx x j x i 1 x j 1 ac x i 1 x j 1 bc x i 1 x

28、j 1 0 x k x k k i k j 可作變換x i x x j , x j 1就 x x 2 x n x x 2x n 1f x 1 f x 2 f x n f x 1 f x 2 f x n 當(dāng) x 1 , x 2 , x n 不全相等時,就又進(jìn)行同樣的變換, 每次變換都使 x x 2 , x n中等于 1 的個數(shù)增加一個, 至多進(jìn)行 n 1 次變換,必可將全部的 ix 都變?yōu)?1,從而f x 1f x2f xnf x 1 x 2f xnf1f1f1 1此題中逐步調(diào)到平穩(wěn)狀態(tài)的方法也叫磨光法,換；所進(jìn)行的變換稱為磨光變例 2-163 平面上有 100 條直線,它們之間能否恰有 198

29、5 個不同的交點；解 100 條直線如兩兩相交,可得 C 10024950 個交點,現(xiàn)考慮從這種狀態(tài)動身,削減交點的個數(shù),使恰好為1985；方法是使一些直線共點或平行；設(shè) 直 線 有 k 個 共 點 的 直 線 束 , 每 一 束 中 直 線 的 條 數(shù) 為n n2,nkn i3,i1,2, 有,即n 177,類似地,取n 2n 1n2n k100這時,每一束的交點數(shù)下降了2 C in1個,為使2 C n 112 C n 212 C n k12 C 10019852965可取最接近2965 的C212925代替2 C n 17779,n34,就有C21C21C212 C 100198529657794這說明, 100 條直線中,有 77 條直線共 A 點,另 9 條直線共 B 點,仍 有 4 條直線共 C 點,此外再無“ 三線共點” 或“ 平行線”,就恰有 1985 個 交點；2-7-17 奇偶分析 通過數(shù)字奇偶性質(zhì)的分析而獲得解題重大進(jìn)展的技巧,常稱作奇偶分析,這種技巧與分類、染