初中數(shù)學(xué)教材解讀人教八年級(jí)上冊(cè)（2023年修訂）第十一章三角形三角形內(nèi)角和

1、11.2.1三角形的內(nèi)角1.理解三角形內(nèi)角和定理的內(nèi)容,能應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2.掌握直角三角形的兩個(gè)銳角互余,能用有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形對(duì)三角形形狀進(jìn)行判定.經(jīng)歷探究活動(dòng)的過(guò)程,得出三角形的內(nèi)角和定理,能用平行線的性質(zhì)推出這一定理.在動(dòng)手操作,活動(dòng)探究中培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.【重點(diǎn)】1.三角形內(nèi)角和定理.2.直角三角形的兩個(gè)銳角的關(guān)系.【難點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的推理過(guò)程.第課時(shí)1.理解“三角形的內(nèi)角和等于180”及其推理過(guò)程.2.能運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理解決問(wèn)題.1.通過(guò)測(cè)量、猜想、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng),探索三角形的內(nèi)角和,感受數(shù)學(xué)思考過(guò)程的條理性,發(fā)展合情推理能力和

2、語(yǔ)言表達(dá)能力.2.理解三角形內(nèi)角和的計(jì)算、驗(yàn)證,掌握把三個(gè)內(nèi)角集中在一起轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角的方法.在觀察、操作、推理、歸納等探索過(guò)程中,發(fā)展同學(xué)們的合情推理能力,逐步養(yǎng)成和獲得數(shù)學(xué)說(shuō)理的習(xí)慣與能力.【重點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的推導(dǎo)及應(yīng)用.【難點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的推導(dǎo)、驗(yàn)證過(guò)程.【教師準(zhǔn)備】課前布置學(xué)生預(yù)習(xí).【學(xué)生準(zhǔn)備】硬三角形紙板,量角器.導(dǎo)入一:(展示情境)如圖所示,在一個(gè)直角三角形里住著三個(gè)內(nèi)角,平時(shí)三兄弟非常團(tuán)結(jié),可是有一天,老二突然不高興,發(fā)起脾氣來(lái),它指著老大說(shuō):“你憑什么度數(shù)最大,我也要和你一樣大!”老大說(shuō):“不行啊!這是不可能的,否則,我們這個(gè)家就再也圍不起來(lái)了”“為什么?” 老二很

3、納悶.同學(xué)們,你們知道其中的道理嗎?設(shè)計(jì)意圖通過(guò)富有情趣的故事引入,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,能夠引導(dǎo)學(xué)生積極投入思考中,為新知的學(xué)習(xí)做好設(shè)疑.導(dǎo)入二:【提出問(wèn)題】1.三角形有幾個(gè)內(nèi)角呢? 2.三角形按角分類有哪幾種呢?3.三角形的內(nèi)角和是指什么呢?設(shè)計(jì)意圖由學(xué)生熟知的知識(shí)引入課題,不僅復(fù)習(xí)回顧舊知,也為學(xué)習(xí)新知做好知識(shí)儲(chǔ)備,為學(xué)習(xí)新知奠定基礎(chǔ).過(guò)渡語(yǔ)在小學(xué)我們學(xué)習(xí)過(guò),三角形的內(nèi)角和為180,那么我們用什么方法進(jìn)行驗(yàn)證或證明呢?一、三角形內(nèi)角和定理的驗(yàn)證1.量一量:一副三角板的每個(gè)角各是多少度?一副三角板三個(gè)內(nèi)角的和各是多少? 2.猜一猜:任意一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角和都相等嗎?是多少度呢?3.動(dòng)動(dòng)手,

4、仔細(xì)觀察: (1)拼拼看,將任意一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角拼合在一起會(huì)形成什么角?(2)觀察,小組內(nèi)觀察比較,會(huì)得出什么結(jié)論?【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生根據(jù)探究步驟,依次進(jìn)行猜想、測(cè)量、拼接等活動(dòng),獲得對(duì)于三角形內(nèi)角和的認(rèn)識(shí),同時(shí)小組內(nèi)進(jìn)行討論,全班展示,如圖所示.【結(jié)論】三角形的內(nèi)角和是180.【教師活動(dòng)】教師深入?yún)⑴c活動(dòng),指導(dǎo)、傾聽學(xué)生交流,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)多種方法說(shuō)明三角形的內(nèi)角和為180,通過(guò)多媒體進(jìn)行展示拼接過(guò)程.設(shè)計(jì)意圖通過(guò)動(dòng)手操作,使學(xué)生從中體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣,并在教師的引導(dǎo)下,從動(dòng)手操作中發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理的證明方法.二、三角形內(nèi)角和定理的證明思路一過(guò)渡語(yǔ)如果我們不用測(cè)量、剪拼的辦法,可不可以用

5、推理論證的方法來(lái)說(shuō)明上面的結(jié)論的正確性呢?【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生借助拼接方法,進(jìn)行小組討論,借助輔助線進(jìn)行解答,學(xué)生依據(jù)拼接的方法進(jìn)行討論、交流,教師做好引導(dǎo)和指導(dǎo)工作.【師生共同完成證明過(guò)程】證明:如圖所示,過(guò)點(diǎn)A作DEBC, DEBC,B=1,C=2(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),BAC+1+2=180,BAC+B+C=180,即三角形的內(nèi)角和為180.教師強(qiáng)調(diào):輔助線的添加方法,證明思路為將三角形的三個(gè)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角,利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.設(shè)計(jì)意圖使學(xué)生對(duì)三角形內(nèi)角和的感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí),由于學(xué)生剛剛開始接觸證明,所以教師必須要有規(guī)范性示范,使學(xué)生逐步掌握推理的方法步驟.思路二過(guò)

6、渡語(yǔ)結(jié)合其他的拼接方法,你還能得到怎樣的證明方法?還有其他的證明方法嗎?【師生活動(dòng)】學(xué)生根據(jù)已有的證明方法和拼接經(jīng)驗(yàn),自主思考三角形內(nèi)角和定理的證明過(guò)程,最后小組討論,師生交流得到證明方法,學(xué)生書寫證明過(guò)程.輔助線的作法:(1)如圖所示,延長(zhǎng)BC,過(guò)點(diǎn)C作CNAB. CNAB,ACN=A(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),NCM=B(兩直線平行,同位角相等).ACB+ACN+NCM=180,A+B+ACB=180.(2)如圖所示,在BC邊上任取一點(diǎn)D,作DEAB,交AC于E,DFAC,交AB于F. 因?yàn)镈FAC(已作),所以1=C(兩直線平行,同位角相等),2=DEC(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).因?yàn)镈

7、EAB(已作),所以3=B,DEC=A(兩直線平行,同位角相等).所以A=2(等量代換).又因?yàn)?+2+3=180(平角定義),所以A+B+C=180(等量代換).(3)如圖所示,過(guò)A點(diǎn)任作直線l1, 過(guò)B點(diǎn)作l3l1,過(guò)C點(diǎn)作l2l1.因?yàn)閘1l2(已作),所以1=2(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).同理,3=4.又因?yàn)閘1l3(已作),所以5+1+6+4=180(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)),所以5+2+6+3=180(等量代換).又因?yàn)?+3=ACB,所以BAC+ABC+ACB=180(等量代換).【師生總結(jié)并板書】三角形內(nèi)角和定理:三角形內(nèi)角和為180.知識(shí)拓展本定理盡管證明思路很多,但其基本

8、思想主要是設(shè)法將三個(gè)角拼合在一起,組成一個(gè)平角.上述探索的意義旨在鍛煉發(fā)散思維能力,證明的關(guān)鍵在于要善于聯(lián)想,不斷地總結(jié)、歸納規(guī)律,利用已有知識(shí)分析和解決問(wèn)題.設(shè)計(jì)意圖通過(guò)運(yùn)用多種方法證明三角形內(nèi)角和定理,讓學(xué)生體驗(yàn)作輔助線的重要性,同時(shí)對(duì)于證明問(wèn)題有一定認(rèn)識(shí),培養(yǎng)多元化的思維.三、例題講解過(guò)渡語(yǔ)在學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角和定理之后,那么三角形內(nèi)角和定理有什么應(yīng)用呢?我們看一下下面幾個(gè)問(wèn)題.(教材例1)如圖所示,在ABC中,BAC=40,B=75,AD是ABC的角平分線.求ADB的度數(shù). 解析根據(jù)角平分線的定義求出DAB,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到ADB=180-DAB-B,代值求出即可.解:因?yàn)锳

9、D平分CAB,BAC=40,所以DAB=20,因?yàn)锽=75,所以ADB=180-DAB-B=180-20-75=85.解題策略對(duì)于求某個(gè)角的度數(shù)的問(wèn)題,一般是分析這個(gè)角是哪一個(gè)三角形的內(nèi)角,其他兩個(gè)角是否已知度數(shù)或已知三角之間的數(shù)量關(guān)系,然后利用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行求解.(教材例2)如圖所示的是A,B,C三島的平面圖,C島在A島的北偏東50方向,B島在A島的北偏東80方向,C島在B島的北偏西40 方向,從B島看A,C兩島的視角ABC是多少度?從C島看A,B兩島的視角ACB呢? 解析A,B,C三島的連線構(gòu)成ABC,所求的ACB是ABC的一個(gè)內(nèi)角,如果能求出CAB,ABC,就能求出ACB的度數(shù).

10、解:CAB=BAD-CAD=30,因?yàn)锳DBE,所以BAD+ABE=180,所以ABE=100,所以ABC=60,所以在ABC中,ACB=90.解題策略解答本題關(guān)鍵是明確方向角的定義,知道題目所給出的角的度數(shù),再運(yùn)用平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理解答問(wèn)題.1.三角形內(nèi)角和定理:三角形的內(nèi)角和為180.2.三角形內(nèi)角和定理的證明:思路是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起,組合成一個(gè)平角,在轉(zhuǎn)化過(guò)程中借助平行線.3.三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用:直接根據(jù)三角形中角的關(guān)系,用代數(shù)方法求三個(gè)角.1.在ABC中,A=80,B=C,則B的度數(shù)為()A.50B.40C.10D.45解析:根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知,A

11、+B+C=180,因?yàn)锳=80,所以B+C=100,因?yàn)锽=C,所以B=50.故選A.2.已知在ABC中,A+B=C,那么ABC的形狀為()A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.以上都不對(duì)解析:根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知,A+B+C=180,因?yàn)锳+B=C,所以2C=180,所以C=90,所以ABC為直角三角形.故選A.3.在ABC中,B=A+10,C=B+10,求ABC各內(nèi)角的度數(shù).解:因?yàn)锳+B+C=180,B=A+10,C=B+10,所以代入得:A+A+10+A+10+10=180,即3A=150,所以A=50,所以B=60,C=70.第1課時(shí)一、三角形內(nèi)角和定理的驗(yàn)證二、三角形內(nèi)

12、角和定理的證明三、例題講解一、教材作業(yè)【必做題】教材第13頁(yè)練習(xí)第1,2題.【選做題】教材第16頁(yè)習(xí)題11.2第1,2題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.在ABC中,A=50,B=60,則C的度數(shù)為()A.60B.70C.80D.1102.已知ABC中,A=20,B=C,那么ABC的形狀是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定3.如圖所示,在ABC中,A=70,B=50,CD平分BCA,則ADC的度數(shù)為.4.如圖所示,ABCD,AD和BC相交于點(diǎn)O,A=35,AOB=75,則C=.【能力提升】5.若一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為459,請(qǐng)求出這個(gè)三角形各角的度數(shù),并說(shuō)出它屬于哪類三角形?6.如圖所示,解