國家鐵路貨運量的時間序列分析

1、國家鐵路貨運量的時間序列分析目錄 HYPERLINK l _Toc1034 1. 引言1 HYPERLINK l _Toc29022 2. 統(tǒng)計預(yù)測模型的建立2 HYPERLINK l _Toc6622 2.1趨勢擬合法2 HYPERLINK l _Toc2326 2.1.1 二次型2 HYPERLINK l _Toc9525 2.1.2 S曲線模型3 HYPERLINK l _Toc26548 2.1.3移動平均法3 HYPERLINK l _Toc7960 2.1.4 指數(shù)平滑法3 HYPERLINK l _Toc29174 2.2 ARIMA模型4 HYPERLINK l _Toc279

2、48 2.2.1 ARIMA模型建模步驟4 HYPERLINK l _Toc17229 2.2.2 觀察值的預(yù)處理4 HYPERLINK l _Toc16401 2.2.3 模型的識別與檢驗5 HYPERLINK l _Toc2301 3.國家鐵路貨運量預(yù)測分析5 HYPERLINK l _Toc31357 3.1.1二次型模型6 HYPERLINK l _Toc25445 3.1.2 S曲線型模型7 HYPERLINK l _Toc18916 3.1.3 移動平均法7 HYPERLINK l _Toc26220 3.1.5 部分小結(jié)與結(jié)論8 HYPERLINK l _Toc17847 3.2

3、 ARIMA模型法9 HYPERLINK l _Toc23135 3.2.1 數(shù)據(jù)的處理以及模型的建立9 HYPERLINK l _Toc20799 3.2.2 模型的判斷與選取12 HYPERLINK l _Toc10441 3.2.3 模型的診斷與檢驗13 HYPERLINK l _Toc7576 3.2.4 模型的預(yù)測13 HYPERLINK l _Toc32017 5.總體小結(jié)與結(jié)論13 HYPERLINK l _Toc21606 參考文獻(xiàn)14摘要 本文以國家1978年至2011年中國國家鐵路貨運量數(shù)據(jù)為基礎(chǔ).以不同的方法建立不同的模型，并通過所建立的不同樣式的模型來對2012至201

4、4年國家鐵路貨運量進(jìn)行預(yù)測.比較不同樣式的模型的預(yù)測精確度，最終選擇了在經(jīng)過差分剔除長期趨勢以及季節(jié)因素后對其殘差進(jìn)行檢驗和識別.從而建立ARIMA（0,2,1），并根據(jù)此模型對2012至2014年國家鐵路貨運量進(jìn)行預(yù)測，擬合效果良好.關(guān)鍵詞 國家鐵路貨運量 ；預(yù)測精確度；差分；ARIMA模型Abstract: Based on the national railway freight volume data from 1978 to 2011, this paper establishes a model with different methods, and forecasts the f

5、reight volume from 2012 to 2014 by the model. By comparing the prediction accuracy of the different models, the ARIMA function model is finally selected. According to this function model, the forecast of freight volume between 2014 and 2012 is made, and the fitting effect is good. Key Words: Nationa

6、l railway freight volume；Prediction accuracy；Difference；ARIMA pattern function.引言現(xiàn)代數(shù)學(xué)統(tǒng)計理論在金融學(xué)中的應(yīng)用越來越明顯，有關(guān)專家指出，統(tǒng)計學(xué)、經(jīng)濟理論以及數(shù)學(xué)這三個對于真正的去了解現(xiàn)代經(jīng)濟生活里蘊含的數(shù)量關(guān)系來說是很有必要的.數(shù)學(xué)給經(jīng)濟界帶來了全新的視角、理念.如果缺乏統(tǒng)計基礎(chǔ)知識要想在市場中有出色而又完美的表現(xiàn)是十分困難的.本文以中國的水路運輸為列，通過數(shù)理方法對中國水路貨運量的發(fā)展趨勢進(jìn)行科學(xué)性的預(yù)測與分析.自1987改革開放以來中國經(jīng)濟進(jìn)入了高速發(fā)展的時期，其中鐵路運輸作為交通運輸系統(tǒng)的重要組成的部分，

7、為國家GDP的提升做出了巨大貢獻(xiàn)，承擔(dān)著重要的交通運輸責(zé)任，為我國的經(jīng)濟發(fā)展做出了良好的推動與促進(jìn)作用.鐵路運輸按性質(zhì)可以劃分為國家鐵路、地方鐵路以及合資鐵路，其主要特點是運量大、成本低、能耗少、投資低、是國內(nèi)國際重要的運輸方式之一，其重要性不言而喻.另外，鐵路運輸在國民經(jīng)濟發(fā)展中具有重要的作用，它將世界各地連成一片，對于經(jīng)濟全球化的發(fā)展具有重要的推動作用.所以研究全國的國家鐵路貨運量對于經(jīng)濟政策的調(diào)整與完善具有非常重要的作用.如何使用科學(xué)的統(tǒng)計方法分析與預(yù)測國家鐵路貨運量，將有助于經(jīng)濟的快速發(fā)展，解放出大批生產(chǎn)力去從事其它經(jīng)濟建設(shè)，從而更好的推動經(jīng)濟的發(fā)展.對于全國國家鐵路貨運量的分析與預(yù)測

8、，更多的是以年度的數(shù)據(jù)為單位，大多采用長期趨勢分析、回歸分析、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、灰色預(yù)測、指數(shù)平滑法等確定性的模型來分析.由于回歸分析、灰色預(yù)測、長期趨勢雖然能對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，但是只能提取強勁的確定性信息，對隨機信息的浪費比較嚴(yán)重，而且不能對其殘差做進(jìn)一步的分析，不能判斷信息最終是否充分提取，所以模型的精度較差.隨機時序分析方法彌補了確定性因素分解方法的不足，本文采用ARIMA模型對未來進(jìn)行分析與預(yù)測，其預(yù)測的精確度比之線性模型，指數(shù)模型等更好，正文部分將對幾種模型的做詳細(xì)比較.根據(jù)全國1978年至2011年國家鐵路的貨運量數(shù)據(jù)，用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行的分析，發(fā)現(xiàn)國家鐵路貨運量具有顯著地增漲趨勢，在對數(shù)

9、據(jù)進(jìn)行二階差分從趨勢中提取出線性趨勢后，差分后的序列呈現(xiàn)出了非常平穩(wěn)的隨機波動.在剔除完長期趨勢因素后，用隨機效應(yīng)模型ARIMA對二階差分建模，得到更高精確度的水路貨運量的預(yù)測模型.本文所有數(shù)據(jù)是全國1978年至2011年國家鐵路貨運量數(shù)據(jù)作為建模數(shù)據(jù)，以2012年至2014年這三年的數(shù)據(jù)作為建模的檢驗所用，在誤差允許的范圍內(nèi)，擬合效果良好.統(tǒng)計預(yù)測模型的建立時間序列分析是對動態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理的一種統(tǒng)計方法.這種方法以隨機過程理論與數(shù)理統(tǒng)計方法為基礎(chǔ)，來研究隨機的數(shù)據(jù)序列所遵從的統(tǒng)計學(xué)規(guī)律，由此來解決一些實際的問題.常用的時間序列分析法有回歸分析、灰色預(yù)測、長期趨勢預(yù)測、乘積季節(jié)效應(yīng)模型等.由于

10、時間序列的變化受到趨勢因素、季節(jié)因素、周期因素以及不規(guī)則變化因素的影響，預(yù)測的對象隨著時間的變化而呈現(xiàn)出一定的變化趨勢，沒有非常明顯的季節(jié)波動，所以這里一方面就可以采用一定的函數(shù)曲線來描述這種變化，就能夠通過趨勢外推法進(jìn)行預(yù)測.這里將分別用二次、S曲線、移動平均法以及單指數(shù)平滑法去擬合原來的曲線，通過比較找出最優(yōu)的函數(shù)擬合曲線.需要注意的是選用移動平均法時需要對它的移動平均長度做一定的判斷，另一方面也可以采用ARIMA模型來對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析預(yù)測.2.1趨勢擬合法趨勢擬合法是把時間作自變量，把相應(yīng)的序列觀察值當(dāng)做因變量，從而建立序列的值隨時間的變化而變化回歸模型的方法.由序列呈現(xiàn)的線性或非線性的特

11、征，從而擬合的方法又可以具體的分成線性與曲線擬合.二次型當(dāng)曲線具有顯著地曲線變化時，可以嘗試著用二次型曲線來作為擬合模型.模型可以寫成：.首先令 ,則元模型變換可以寫為： .再通過線性最小二乘法來對參數(shù)參數(shù)，進(jìn)行估計.最小二乘法：設(shè)觀察值為 .則可令 最小值.由微分原理有： .解方程即可求，三個參數(shù).將各個參數(shù)值帶入原方程，檢驗參數(shù)與方程是否顯著，若方程顯著而某些參數(shù)不顯著，那么去掉該參數(shù)，再重新擬合新的模型，直到方程和各參數(shù)均顯著為止.S曲線模型S曲線模型又稱生長曲線模型，是預(yù)測事件觀察值隨時間變化符合生長曲線的規(guī)律. 龔帕茲（生長）曲線是一種常用曲線，模型可寫成：參數(shù)a,b,k的求解步驟.

12、(1)將N個數(shù)據(jù)劃分為三組（假定N=3r）.(2)求個組的對數(shù)和，即有： ， ，(3)利用公式計算a,b,k的值 ，2.1.3移動平均法移動平均法是通過使用一組最近的觀察值數(shù)據(jù)來預(yù)測未來以后一期或者幾期內(nèi)的產(chǎn)品需求量、產(chǎn)能等常常使用的方法，移動平均法它適用于短期預(yù)測，當(dāng)產(chǎn)品變化不大且不存在季節(jié)性的因素時，它可以有效地消除預(yù)測里的隨機波動.移動平均法可以劃分為：簡單移動平均和加權(quán)移動平均.2.1.4 指數(shù)平滑法考慮到時間間隔對事件的發(fā)展的影響，各期的權(quán)重隨著時間間隔的增大而呈現(xiàn)指數(shù)衰減.式中，為指數(shù)平滑系數(shù)，00.若拒絕原假設(shè)則說明擬合的模型不顯著.3.國家鐵路貨運量預(yù)測分析將全國自197820

13、11年的國家鐵路總貨運量作為樣本數(shù)據(jù)，利用時間序列分析法對其建立不同模型，并對全國未來三年的貨運量即2012,2013,2014年的國家鐵路貨運量進(jìn)行預(yù)測.表一 全國水路運輸貨運量時間貨運量（噸）時間貨運量（噸）時間貨運量（噸）時間貨運量（噸）時間貨運量（噸）19781075001985127500199215230019991572002006245500197910949519861322191993156800200016610020072624001980108600198713694919941573002001179200200827520019811048361988140555

14、19951595002002187600200927760019821110481989146805199616180020031998002010309541198311607019901462001997162000200421780020113295351984121215199114790019981534002005231800數(shù)據(jù)來源：中國統(tǒng)計局年度數(shù)據(jù)官網(wǎng)根據(jù)19782011年國家鐵路的貨運量數(shù)據(jù)作散點圖，如圖1所示. 圖1 1978-2011國家鐵路貨運量增長趨勢圖由該圖能夠很容易的看出，國家鐵路貨運量總體是呈增長趨勢的.通過它的增長趨勢我們可以嘗試使用時間序列的趨勢外推法、移

15、動平均法以及時間序列的指數(shù)平滑法來進(jìn)行預(yù)測分析.不妨以1978年為t=1，選擇合適的趨勢外推曲線，從圖形上來看，線性趨勢明顯不合適，我們可以選擇二次型與S曲線模型作為候選的模型.3.1.1二次型模型由二次曲線預(yù)測模型 來擬合該序列的發(fā)展，通過前面二次型里介紹的公式可計算出未知參數(shù)的估計值： .模型的解析式為：.檢驗該方程，方程以及各參數(shù)都顯著.所以可用二次型來擬合34年以來的國家鐵路貨運量的長期變化趨勢.擬合效果如圖2. 圖2 二次型曲線擬合圖3.1.2 S曲線型模型由S曲線預(yù)測模型y=k*,k0,a1,0b1.來擬合序列的發(fā)展趨勢，通過前面介紹的參數(shù)求解方法可以求出相應(yīng)的參數(shù)，其對應(yīng)的模型解

16、析式為: .擬合效果如下圖圖3所示 圖3 S曲線擬合圖3.1.3 移動平均法在選用移動平均法時需要對移動平均長度做一定的判斷這里選取移動平均的長度為1,2作對比發(fā)現(xiàn)在取1時平均絕對誤差（MAD）更小一點精度更高一些；移動平均長度平均絕對誤差（MAD3.1.4單指數(shù)平滑法在進(jìn)行單指數(shù)平滑法時需要選取最佳的平滑常量，當(dāng)平滑系數(shù)取0.5時這里我們可以根據(jù)國家鐵路的貨運量的平滑圖看出平滑常量為1.63240 實際值與預(yù)測值的趨勢擬合圖如下圖4 所示： 圖4 單指數(shù)法擬合圖3.1.5 部分小結(jié)與結(jié)論三種模型的擬合效果圖如下由上圖不難看出單指數(shù)平滑模型與實際值更接近一些，單指數(shù)平

17、滑法預(yù)測:2012年的值為：周期預(yù)測下限上限20123290873163293418463.2 ARIMA模型法3.2.1 數(shù)據(jù)的處理以及模型的建立由圖1從圖中我們可以看出觀察值具有明顯地增長趨勢，故判定序列不平穩(wěn)，所以要先對它進(jìn)行平穩(wěn)化處理.由時序圖所呈現(xiàn)出來的變化趨勢，先對其觀察值序列進(jìn)行一階差分，可以粗略的看到一階差分的時序圖仍然是具有一定的上升趨勢. 所以這時需要對一階差分序列做自相關(guān)，從而對一階差分做白噪聲檢驗，判斷它的平穩(wěn)性.所繪制出一階差分的自相關(guān)圖，如下所示： 白噪聲檢驗結(jié)果如下表所示： 對一階差分后序列進(jìn)行白噪聲檢驗延遲階數(shù)（lag）卡方統(tǒng)計量P值6122425.9430.4

18、849.020.9997720.9976370.998117在顯著性水平取0.05的條件下，發(fā)現(xiàn)1-P，在1-的置信區(qū)間內(nèi)平穩(wěn)，即信息已提取充分，如果這時再作差分將變成過差分，過差分的實質(zhì)就是因為過多的進(jìn)行差分導(dǎo)致了有效信息的無所謂的浪費，從而降低了估計的精度.故有選取的ARIMA中d=2由上面的二階差分的自相關(guān)圖可以發(fā)現(xiàn)MA一階截尾，再對二階差分序列做偏自相關(guān)圖,如下所示二階差分的偏自相關(guān)圖： 從二階差分的偏自相關(guān)圖中我們可以發(fā)現(xiàn)AR二階截尾，所以有ARIMA可以選取ARIMA(0，2，1)和ARIMA（2,2,0）兩種可能情況，分別對兩種情況進(jìn)行論證：3.2.2 模型的判斷與選取取ARIM

19、A（0,2,1） 時作ARIMA(0,2，1)的綜合自回歸移動平均，則有參數(shù)的最終估計值：類型系數(shù)系統(tǒng)誤差P值移動平均10.72090.13380.000常量580.1318.80.079由上表可以發(fā)現(xiàn)因為移動平均的P值小于 （=0.05）故可以說明參數(shù)P值顯著不需要修正，該模型可行.差值2，正規(guī)差值觀測值個數(shù)： 原始序列 34,32差值之后殘差： SS=11338359984(不包括向后預(yù)測) MS=37794533 DF=30由AIC公式：可以算出.2) 取ARIMA（2,2,0）時作ARIMA（2,2,0）的綜合自回歸移動平均，則有參數(shù)的最終估計值：類型系數(shù)系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤差P值A(chǔ)R1-0.6

20、6520.16870.000AR2-0.62720.24570.016常量144110910.197由上表可以發(fā)現(xiàn)因為移動平均的P值小于 （=0.05）故可以說明參數(shù)P值顯著不需要修正，該模型可行.差值2，正規(guī)差值觀測值個數(shù)： 原始序列 34 ，32 差值之后殘差： SS=1133835984（不包括向后預(yù)測） MS=1092868048 DF=29由AIC公式：可以算出比較兩種情況的AIC可知：所以這里我們選取AIC1效果好一點，即選取對應(yīng)的模型為ARIMA（0,2,1）來對未來三年做預(yù)測.3.2.3 模型的診斷與檢驗白噪聲檢驗結(jié)果如下所示，當(dāng)=0.05時所有的1-P值均大于，我們可以認(rèn)為殘差序列為白噪聲序列.卡方檢驗的結(jié)果表明我們不可以拒絕殘差不相關(guān)的原假設(shè)，即所建立的模型是合適的二階差分的殘差的白噪聲檢驗結(jié)果：延遲期數(shù)（Lag）卡方檢驗統(tǒng)計量P值61.290.0277938125.640.06680832413.430.04150473.2.4 模型的預(yù)測對國家鐵路貨運量作綜合自回歸移動平均圖有2012-2014年國家鐵路貨運量的預(yù)測值為：從周期34后開始的預(yù)測95%限制周期預(yù)測下限上限353489663369143610183636897834941038854537389569362