2022年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)圓知識(shí)點(diǎn)歸納及練習(xí)含答案

1、 圓24.1.1 圓知識(shí)點(diǎn)一 圓的定義圓的定義：第一種：在一個(gè)平面內(nèi)，線段 OA 繞它固定的一個(gè)端點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn) A 所形成的圖形叫作圓。固定的端點(diǎn) O 叫作圓心，線段 OA 叫作半徑。第二種：圓心為 O，半徑為 r 的圓可以看成是所有到定點(diǎn) O 的距離等于定長(zhǎng) r 的點(diǎn)的集合。比較圓的兩種定義可知：第一種定義是圓的形成進(jìn)行描述的，第二種是運(yùn)用集合的觀點(diǎn)下的定義，但是都說(shuō)明確定了定點(diǎn)與定長(zhǎng)，也就確定了圓。知識(shí)點(diǎn)二 圓的相關(guān)概念（1）弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫作直徑。（2） ?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每

2、一條弧都叫做半圓。（3） 等圓：等夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓。（4）等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。弦是線段，弧是曲線，判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完全重合的弧才是等弧，而不是長(zhǎng)度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直徑知識(shí)點(diǎn)一 圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸。知識(shí)點(diǎn)二 垂徑定理（1）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。如圖所示，直徑為 CD，AB 是弦，且 CDAB，CMAM=BMAB垂足為 MAC =BCAD=BDD垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧如上圖所示，直徑

3、CD 與非直徑弦 AB 相交于點(diǎn) M，CDAB AM=BM AC=BC AD=BD注意：因?yàn)閳A的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不是直徑，否則結(jié)論不成立。24.1.3 弧、弦、圓心角知識(shí)點(diǎn) 弦、弧、圓心角的關(guān)系（1） 弦、弧、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。（2）在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余的各組量也相等。（3） 注意不能忽略同圓或等圓這個(gè)前提條件，如果丟掉這個(gè)條件，即使圓心角相等，所對(duì)的弧、弦也不一定相等，比如兩個(gè)同心圓中，兩個(gè)圓心角相同，但此時(shí)弧、弦不一定相等。2

4、4.1.4 圓周角知識(shí)點(diǎn)一 圓周角定理（1）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。（2）圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90的圓周角所對(duì)弦是直徑。（3） 圓周角定理揭示了同弧或等弧所對(duì)的圓周角與圓心角的大小關(guān)系?！巴』虻然　笔遣荒芨臑椤巴一虻认摇钡?，否則就不成立了，因?yàn)橐粭l弦所對(duì)的圓周角有兩類。知識(shí)點(diǎn)二 圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)圓內(nèi)接多邊形：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。24.2 點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系24.2

5、.1 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)三種。（2）用數(shù)量關(guān)系表示：若設(shè)O 的半徑是 r，點(diǎn) P 到圓的距離 OP=d，則有：點(diǎn) P 在圓外dr；點(diǎn) p 在圓上d=r；點(diǎn) p 在圓內(nèi)dr。知識(shí)點(diǎn)二 過已知點(diǎn)作圓（1） 經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)的圓（如點(diǎn) A）以點(diǎn) A 外的任意一點(diǎn)（如點(diǎn) O）為圓心，以 OA 為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無(wú)數(shù)個(gè)。O1O2O3（2）經(jīng)過兩點(diǎn)的圓（如點(diǎn) A、B）以線段 AB 的垂直平分線上的任意一點(diǎn)（如點(diǎn) O）為圓心，以 OA（或 OB）為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無(wú)數(shù)個(gè)。AB（3）經(jīng)過三點(diǎn)的圓經(jīng)過在同

6、一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，即經(jīng)過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以作圓，且只能作一個(gè)圓。如經(jīng)過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn) A、B、C 作圓，作法：連接 AB、BC（或 AB、AC 或 BC、AC）并作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點(diǎn) O，以點(diǎn) O 為圓心，以 OA（或 OB、OC）的長(zhǎng)為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓只能作一個(gè)。AOBC知識(shí)點(diǎn)三 三角形的外接圓與外心（1） 經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。（2） 外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心。知識(shí)點(diǎn)四 反證法（1）反證法：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過

7、推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明命題的方 法叫做反證法。（2）反證法的一般步驟：假設(shè)命題的結(jié)論不成立；從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已知等相矛盾的結(jié)論；由矛盾判定假設(shè)不正確，從而得出原命題正確。24.2.2 直線和圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一 直線與圓的位置關(guān)系（1）直線與圓的位置關(guān)系有：相交、相切、相離三種。（2）直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示若設(shè)O 的半徑是 r，直線 l 與圓心 0 的距離為 d，則有：直線 l 和O 相交d r；直線 l 和O 相切d = r；直線 l 和O 相離d r。知識(shí)點(diǎn)二 切線的判定和性質(zhì)（1）

8、切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。（3）切線的其他性質(zhì)：切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；切線到圓心的距離等于半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點(diǎn)；必過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。知識(shí)點(diǎn)三 切線長(zhǎng)定理（1）切線長(zhǎng)的定義：經(jīng)過園外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。（2）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。（3）注意：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)完全不同的概念，必須弄清楚切線是直線，是不能度量的；切線長(zhǎng)是一條線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)

9、一個(gè)是在圓外一點(diǎn)，另一個(gè)是切點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)四 三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。注意：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，所以當(dāng)三角形的內(nèi)心已知時(shí)，過三角形的頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線，必平分三角形的內(nèi)角。24.2.3 圓和圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一 圓與圓的位置關(guān)系（1） 圓與圓的位置關(guān)系有五種：如果兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩個(gè)圓相離，包括外離和內(nèi)含兩種；如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩個(gè)圓相切，包括內(nèi)切和外切兩種；如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩個(gè)圓相交。（2）圓與圓的位置關(guān)系

10、可以用數(shù)量關(guān)系來(lái)表示：若設(shè)兩圓圓心之間的距離為 d，兩圓的半徑分別是 r1 r2,且 r1 r2，則有兩圓外離dr1+r2兩圓外切d=r1+r2兩圓相交 2-r1dr1+r2兩圓內(nèi)切d=r2-r1兩圓內(nèi)含dr2-r124.3 正多邊形和圓知識(shí)點(diǎn)一 正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形與圓的關(guān)系非常密切，把圓分成 n（n 是大于 2 的自然數(shù)）等份，順次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓。正多邊形的中心：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對(duì)的圓心角叫

11、做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。知識(shí)點(diǎn)二 正多邊形的性質(zhì)（1）正 n 邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成 2n 個(gè)全等的直角三角形。（2） 所有的正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，每個(gè)正 n 邊形共有 n 條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都經(jīng)過正 n 邊形的中心；當(dāng)正 n 邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時(shí)，這個(gè)正 n 邊形也是中心對(duì)稱圖形，正 n 邊形的中心就是對(duì)稱中心。（3）正 n 邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于(n 2) 180，中心角和外角相等，等于360。nn24.4 弧長(zhǎng)和扇形面積nR知識(shí)點(diǎn)一 弧長(zhǎng)公式 l= 180nnR在半徑為 R 的圓中，360的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓的周長(zhǎng)

12、 C=2R，所以 n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式 l=2R=。360180知識(shí)點(diǎn)二 扇形面積公式nR 2在半徑為 R 的圓中，360的圓心角所對(duì)的扇形面積就是圓的面積 S=R2，所以圓心角為 n的扇形的面積為 S 扇形= 360。比較扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式發(fā)現(xiàn)：nR 2nR111S =3601802R 2 lR,所以s扇形2 lR知識(shí)點(diǎn)三 圓錐的側(cè)面積和全面積圓錐的側(cè)面積是曲面，沿著圓錐的一條母線將圓錐的側(cè)面展開，容易得到圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為 l，底面圓的半徑為 r，那么這個(gè)扇形的半徑為 l，扇形的弧長(zhǎng)為 2r，因此圓錐的側(cè)面積 s圓錐側(cè) 12 2r l rl 。圓錐

13、的全面積為s圓錐全 s圓錐側(cè) s底 rl r 2 。練習(xí)：一選擇題（共10小題）1下列說(shuō)法，正確的是（）A弦是直徑B弧是半圓C半圓是弧D過圓心的線段是直徑2如圖，在半徑為5cm的O中，弦AB=6cm，OCAB于點(diǎn)C，則OC=（）A3cmB4cmC5cmD6cm （2題圖） （3題圖） （4題圖） （5題圖） （8題圖）3一個(gè)隧道的橫截面如圖所示，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心，5為半徑的圓的一部分，M是O中弦CD的中點(diǎn)，EM經(jīng)過圓心O交O于點(diǎn)E若CD=6，則隧道的高（ME的長(zhǎng)）為（）A4B6C8D94如圖，AB是O的直徑，=，COD=34，則AEO的度數(shù)是（）A51B56C68D785如圖，在O中，弦

14、AC半徑OB，BOC=50，則OAB的度數(shù)為（）A25B50C60D306O的半徑為5cm，點(diǎn)A到圓心O的距離OA=3cm，則點(diǎn)A與圓O的位置關(guān)系為（）A點(diǎn)A在圓上B點(diǎn)A在圓內(nèi)C點(diǎn)A在圓外D無(wú)法確定7已知O的直徑是10，圓心O到直線l的距離是5，則直線l和O的位置關(guān)系是（）A相離B相交C相切D外切8如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O，半徑為4，則這個(gè)正六邊形的邊心距OM和的長(zhǎng)分別為（）A2，B2，C，D2，9如圖，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，O的半徑為2，B=135，則的長(zhǎng)（）A2BCD10如圖，直徑AB為12的半圓，繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，此時(shí)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B，則圖中陰影部分的面積是（）A1

15、2B24C6D36二填空題（共10小題）11如圖，AB是O的直徑，CD為O的一條弦，CDAB于點(diǎn)E，已知CD=4，AE=1，則O的半徑為（9題圖） （10題圖） （11題圖） （12題圖）12如圖，在ABC中，C=90，A=25，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則的度數(shù)為13如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AB為O的直徑，點(diǎn)C為的中點(diǎn)若A=40，則B=度 （13題圖） （14題圖） （15題圖） （17題圖）14如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的P的圓心P的坐標(biāo)為（3，0），將P沿x軸正方向平移，使P與y軸相切，則平移的距離為15如圖，點(diǎn)O是正五邊形ABCDE

16、的中心，則BAO的度數(shù)為16已知一條圓弧所在圓半徑為9，弧長(zhǎng)為，則這條弧所對(duì)的圓心角是17如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，先以點(diǎn)A為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑畫弧，再以AB邊的中點(diǎn)為圓心，AB長(zhǎng)的一半為半徑畫弧，則兩弧之間的陰影部分面積是（結(jié)果保留）18已知圓錐的底面圓半徑為3，母線長(zhǎng)為5，則圓錐的全面積是19如果圓柱的母線長(zhǎng)為5cm，底面半徑為2cm，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是20半徑為R的圓中，有一弦恰好等于半徑，則弦所對(duì)的圓心角為三解答題（共5小題）21如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E，連接CO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，且CFAD（1）請(qǐng)證明：E是OB的中點(diǎn)；（2）若AB=8，求CD的長(zhǎng)2

17、2已知：如圖，C，D是以AB為直徑的O上的兩點(diǎn)，且ODBC求證：AD=DC23如圖，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O分別與BC，AC交于點(diǎn)D，E，過點(diǎn)D作O的切線DF，交AC于點(diǎn)F（1）求證：DFAC；（2）若O的半徑為4，CDF=22.5，求陰影部分的面積24如圖，OAB中，OA=OB=4，A=30，AB與O相切于點(diǎn)C，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）25一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖示的數(shù)據(jù)計(jì)算出該幾何體的表面積新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二十四章圓單元試題參考答案一選擇題（共10小題）1C2B3D4A5A6B7C8D9B10B二填空題（共10小題）1112501370141或51

18、554165017218241920cm22060三解答題（共5小題）21（1）證明：連接AC，如圖直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E，AC=AD，過圓心O的線CFAD，AF=DF，即CF是AD的中垂線，AC=CD，AC=AD=CD即：ACD是等邊三角形，F(xiàn)CD=30，在RtCOE中，點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)；（2）解：在RtOCE中，AB=8，又BE=OE，OE=2， （21題圖） （22題圖） （23題圖） （24題圖）22證明：連結(jié)OC，如圖，ODBC，1=B，2=3，又OB=OC，B=3，1=2，AD=DC23（1）證明：連接OD，OB=OD，ABC=ODB，AB=AC，ABC=ACB，ODB=ACB，ODAC，DF是O的切線，DFOD