概率統(tǒng)計隨時增加第3、4章03

1、作業(yè)：Chap3：24、28、29Chap4：1、23.3 隨機變量的獨立性 將事件的獨立性推廣到隨機變量 兩個隨機變量的相互獨立性若(X,Y )為二維隨機變量，則對某一對實數(shù) x, y(X x), 如果對于任何實數(shù) x, y，上述關(guān)系都成立，則稱隨機變量X,Y獨立(Y y), 其交事件為：(X x, Y y), P(X x, Y y)= P(X x) P(Y y) 定義 設(shè)(X,Y )為二維隨機變量，若對于任何實數(shù) x, y 都有則稱隨機變量X 和Y 相互獨立 由定義可知二維隨機變量 ( X, Y ) 相互獨立F( x, y)= FX(x) FY(y) P(a X b, cY d)= F(b

2、 , d) -F(a, d) -F(b, c) +F(a, c)= FX (b) FY (d) -FX (a) FY (d) -FX (b) FY (c) +FX (a) Y F(c)= FX (b) -FX (a) FY (d) -FY (c)=P(a X b) P(cY d)令a -, c -，P(- X x, - Y y)即F( x, y)= FX(x) FY(y) =P(- X x) P(- Y y)b =x, c = y，則二維離散型隨機變量( X, Y ) 相互獨立即取a =xi-1, c =yi-1，b =xi, d =yi，得P(xi-1 X xi, yi-1 Y yi) =

3、P(xi-1 X xi ) P(yi-1 Y yi) 即P(X = xi, Y = yi)= P(X = xi ) P(Y = yi) P(X = xi, Y = yi)= P(X = xi ) P(Y = yi) 則例：已知(X, Y)的聯(lián)合分布律如下：(1)試判斷X 與 Y的獨立性(2)求P(Y=1|X=2)XY pij1pip j-112 0 XY pij1pip j-112 二維連續(xù)型隨機變量 ( X, Y ) 相互獨立二維連續(xù)型隨機變量 ( X,Y ) 相互獨立二維隨機變量 ( X, Y ) 相互獨立,則邊緣分布完全確定聯(lián)合分布又證對任何 x,y 有取相互獨立命題故將代入即得例1 已

4、知 ( X, Y ) 的聯(lián)合概率密度為(1)討論X ,Y 是否獨立？(2)解由圖可知邊緣密度函數(shù)為11當(dāng)0 x1時(1)顯然，故X ,Y 相互獨立同樣地，11(2)11由圖可知邊緣密度函數(shù)為當(dāng)0 x1時顯然，故X ,Y 不獨立同樣地，11判斷連續(xù)型二維隨機變量相互獨立的 兩個結(jié)論 設(shè)f (x,y)是連續(xù)型二維隨機變量(X ,Y )的聯(lián)合 密度函數(shù)，r (x), g(y)為非負(fù)可積函數(shù)，且則(X ,Y )相互獨立且證明：若則同樣地利用此結(jié)果，不需計算即可得出例1(1)中的隨機變量X 與Y 是相互獨立的.例1(1)中，其中再如，服從矩形域(x,y)| a x b, c y d上的均勻分布的二維隨機

5、變量( X ,Y ),X ,Y 是相互獨立的. 且其邊緣分布也是均勻分布若則 X ,Y 是相互獨立的. 且其邊緣分布為若則 X ,Y 是相互獨立的. 且其邊緣分布為對于分布函數(shù)也有類似的結(jié)果 設(shè)F(x,y)是連續(xù)型二維隨機變量(X ,Y )的聯(lián)合 分布函數(shù)，則(X ,Y )相互獨立的充要條件為且 設(shè) X ,Y 為相互獨立的隨機變量，u(x), v(y)為 連續(xù)函數(shù), 則U = u(X ),V = v (Y )也相互獨立.事實上，設(shè)X 與Y 的概率密度函數(shù)分別為f X(x), f Y (y), 則因此，例如，若 X ,Y 為相互獨立的隨機變量則aX + b, cY + d 也相互獨立；X 2,

6、Y 2 也相互獨立；隨機變量相互獨立的概念可以推廣到 n 維隨機變量若則稱隨機變量X 1, X 2 , , X n 相互獨立 若兩個隨機變量相互獨立, 且又有相同 的分布, 不能說這兩個隨機變量相等. 如XP-1 10.5 0.5Y P-1 10.5 0.5X ,Y 相互獨立，則X-1 1 -1 10.25 0.25Y pij0.25 0.25P (X = Y ) = 0.5,故不能說 X = Y .注意例3 設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為(1)求關(guān)于X和Y的邊沿概率密度;(2)求條件概率密度fY|X (y|x) , fX|Y (x|y)(3)求P(X 0.75|Y=1) , P(Y 2|X=0.5) , (4)求P(X0.75|Y1) 解(1)當(dāng)0 x