機(jī)械振動(dòng)總結(jié)復(fù)習(xí)習(xí)題及解答

1、1、某測(cè)量低頻振動(dòng)用的測(cè)振儀（倒置擺）如下圖所示。試根據(jù)能量原理推導(dǎo)系統(tǒng)靜平衡穩(wěn)定條件。若已知整個(gè)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=1.725x10-3kg-m2，彈簧剛度k二24.5N/m，小球質(zhì)量0m=0.0856kg，直角折桿的一邊l二4cm。另一邊b二5cm。試求固有頻率。I。解：彈性勢(shì)能U=1k(b0)2k2U重力勢(shì)能g-mg(/-/cos9)總勢(shì)能1kb202+mgICos9一mgldU代入茁=0可得x=xi可求得0=0滿(mǎn)足上式。d2U0再根據(jù)公式0判別0=0位置是否穩(wěn)定及其條件：x=xi即滿(mǎn)足kb2mgl條件時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)方可在0=0位置附近作微幅振動(dòng)。系統(tǒng)的動(dòng)能為2d(T+U)代入dt=0可得歡

2、迎閱讀由0=0為穩(wěn)定位置，則在微振動(dòng)時(shí)sin0-0，可得線(xiàn)性振動(dòng)方程為：固有頻率代入已知數(shù)據(jù)，可得2、用能量法解此題：一個(gè)質(zhì)量為均勻半圓柱體在水平面上做無(wú)滑動(dòng)的往復(fù)滾動(dòng)，如上圖所示，設(shè)圓柱體半徑為R,重心在c點(diǎn),oc=r,，物體對(duì)重心的回轉(zhuǎn)體半徑為L(zhǎng),試導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)微分方程。解：如圖所示，在任意角度0(t)時(shí)，重心c的升高量為A=r(lcos0)=2rsin202取重心c的最低位置為勢(shì)能零點(diǎn)，并進(jìn)行線(xiàn)性化處理，則柱體勢(shì)能為T(mén)OC o 1-5 h zV=mgA=2mgrsin2&=十mgr02(a)22Ib=Ic+mbe2=m(L2+be2)(b)be2=r2+R2-2rRcos0(t)(c)而柱體

3、的動(dòng)能為T(mén)=I(02把(b)式，&)式兩式代入，并線(xiàn)性化有2bT=+mL2+(Rr)202(d)2根據(jù)能量守恒定理，有+mL2+(Rr)202+十mgr02=E=const22對(duì)上式求導(dǎo)并化簡(jiǎn)，得運(yùn)動(dòng)微分方程為L(zhǎng)2+(Rr)20+gr0=0(e)3、一質(zhì)量為m、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I的圓柱體作自由純滾動(dòng)，圓心受到一彈簧k約束，如圖所示，求系統(tǒng)的固有頻率。解：取圓柱體的轉(zhuǎn)角0為坐標(biāo)，逆時(shí)針為正，靜平衡位置時(shí)0=0，則當(dāng)m有0轉(zhuǎn)角時(shí),系統(tǒng)有：由d(Et+U)=0可知：解得n=護(hù)777廠(chǎng)亦1(rad/s)4、圖中，半徑為r的圓柱在半徑為R的槽內(nèi)作無(wú)滑滾動(dòng)，試寫(xiě)出系統(tǒng)作微小振動(dòng)時(shí)的微分方程解1)建立廣義坐標(biāo)。設(shè)

4、槽圓心O與圓柱軸線(xiàn)O的連線(xiàn)偏離平衡位置的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。歡迎閱讀2）寫(xiě)出系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能。圓柱的動(dòng)能由兩部分組成，即它跟隨質(zhì)心的移動(dòng)動(dòng)能和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能，而質(zhì)心的速度為（R-r）9，圓柱相對(duì)于質(zhì)心的角速度=（R-r）G/r，因此系統(tǒng)的動(dòng)能為若取系統(tǒng)靜平衡時(shí)的勢(shì)能為零，則在一般位置系統(tǒng)的勢(shì)能為U=mg（R-r）（l-cos0）3）利用能量守恒原理得到當(dāng)系統(tǒng)作微小振動(dòng)時(shí)0很小，sin0.0，0不恒等于零，方程就簡(jiǎn)化為5、單圓盤(pán)轉(zhuǎn)子如圖（a）所示，可化簡(jiǎn)為圖（b）所示的簡(jiǎn)An支梁系統(tǒng)，求其在跨度中點(diǎn)垂直方向的剛度及系統(tǒng)的自然頻率。解：當(dāng)忽略軸的質(zhì)量時(shí)，系統(tǒng)簡(jiǎn)化為圖（b）的模型，這是

5、一個(gè)彎曲變形振動(dòng)問(wèn)題。為了求其剛度，按照材料力學(xué)中的公式，其跨度中點(diǎn)在集中力P的作用下，產(chǎn)生的撓度y為則由k=P/y得到系統(tǒng)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為“m-k”系統(tǒng)，則單自由度系統(tǒng)的自然頻率為6、機(jī)械式振動(dòng)儀原理圖如圖所示。支承于水平軸o的擺oc連接一個(gè)剛度為k的螺線(xiàn)彈簧，在重力作用下擺的平衡位置偏離水平線(xiàn)成角。設(shè)擺在水平線(xiàn)上方成a角處，螺線(xiàn)彈簧不受力。擺的質(zhì)量為m，它繞o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，擺重心c至0軸的距離為d,擺oc可圍繞平衡位置作微幅振動(dòng)，求其固有頻率。振動(dòng)儀原理圖解：方法一：當(dāng)擺處于平衡位置時(shí)，有擺的微振動(dòng)角位移記為0，由動(dòng)量矩定理，可得擺的運(yùn)動(dòng)微分方程為考慮到式（a）,并精確到一階小量，上式可

6、線(xiàn)性化為因此，擺的振動(dòng)固有頻率為方法二：能量法由于不考慮阻尼，因而系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。這時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能可以分別表示為=常數(shù),dEdt0，可得因此，擺的振動(dòng)固有頻率為7、例：重物落下，與簡(jiǎn)支梁做完全非彈性碰撞，梁長(zhǎng)L，抗彎剛度EJ其中給出九=mgl3由材料力學(xué)：_48EJ求：梁的自由振動(dòng)頻率和最大撓度mIJkh:PiX.1/2041/2解：取平衡位置以梁承受重物時(shí)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系靜變形：九撞擊時(shí)刻為零時(shí)刻，則t=0時(shí)，有：則自由振動(dòng)振幅為：梁的最大擾度：8、質(zhì)量m=0.5Kg的物塊，沿光滑斜面無(wú)初速度滑下，如上圖所示。當(dāng)物塊從高度h=O.lm時(shí)撞于彈簧上并不在分離。彈簧的剛度系

7、數(shù)為k=0.8KN/m，傾角0=30，求此系統(tǒng)的固有頻率和振幅，并寫(xiě)出物塊的運(yùn)動(dòng)方程。解：物塊平衡時(shí)，彈簧的變形為s=mgsin0/k0歡迎閱讀以物塊平衡位置O為原點(diǎn)，建立圖示x坐標(biāo)。物塊受力如圖所示，其運(yùn)動(dòng)微分方程為mx=mgsinB-k（6+x）0將式（1）帶入上式，化簡(jiǎn)后得系統(tǒng)的固有頻率為當(dāng)物塊碰上彈簧時(shí)，取時(shí)間t=0,作為振動(dòng)的起點(diǎn)。則運(yùn)動(dòng)的的初始條件為：初位移：x=-6=-3.06x10-3m初速度：v=初2gh=1.4m/sTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark35 00、b代入式A=X2+-和tan0=0得0w2xn0則物塊的運(yùn)動(dòng)方程為x=35.1s

8、in(40t-0.087)(mm)9、今有離心式自動(dòng)脫水洗衣機(jī)，質(zhì)量為M=2000kg，有四個(gè)垂直的螺旋彈簧支撐，每個(gè)彈簧的剛度由試驗(yàn)測(cè)定為k=830N/cm,另有四個(gè)阻尼器，總的相對(duì)阻尼系數(shù)為Z=0.15。簡(jiǎn)化如圖所示。洗衣機(jī)在初次脫水時(shí)以n=300r/min運(yùn)行。此時(shí)衣物的偏心質(zhì)量為m=13kg，偏心距為e=50cm。試計(jì)算其垂直振幅。由于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性，在計(jì)算其垂直方向振幅時(shí)，可作為單自由度系統(tǒng)來(lái)處理。M.廠(chǎng)fkL_/解偏心質(zhì)量的離心慣性力在垂直方向的分量引起洗衣機(jī)機(jī)體在垂直方向上的受迫運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)方程為：式中右邊分子上的mew2為離心慣性力，為激振力頻率:系統(tǒng)的四個(gè)彈簧為并聯(lián)，總剛度為K=4k=3320N/cm,固有頻率w為n頻率比為這說(shuō)明此時(shí)超過(guò)共振點(diǎn)較遠(yuǎn)，不會(huì)發(fā)生共振。振幅為:10、為了估計(jì)機(jī)器基座的阻尼比匚，用激振器使機(jī)器上下振動(dòng)。激振器有兩個(gè)相同的偏心塊組成,它們沿相反的方向以同一角速度如下圖所示回轉(zhuǎn)，這樣可以產(chǎn)