一多元函數(shù)的極值二最值應(yīng)用問(wèn)題三條件極值多元函數(shù)的極值及其求法

1、 第九章 第八節(jié)一、多元函數(shù)的極值 二、最值應(yīng)用問(wèn)題 三、條件極值 多元函數(shù)的極值及其求法一、 多元函數(shù)的極值 定義: 若函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值例如 :在點(diǎn) (0,0) 有極小值;在點(diǎn) (0,0) 有極大值;在點(diǎn) (0,0) 無(wú)極值.極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn).的某鄰域內(nèi)有(極小值).提示: 由題設(shè) 例1. 已知函數(shù)(D) 根據(jù)條件無(wú)法判斷點(diǎn)(0, 0)是否為f (x,y) 的極值點(diǎn).則( )的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù), 且A(2003 考研)說(shuō)明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱(chēng)為駐點(diǎn)(穩(wěn)定點(diǎn)) . 例如,定理1 (必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理

2、結(jié)論成立.取得極值 ,取得極值取得極值 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)( 0, 0 ), 但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值 ,則有存在故問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？證: 由二元函數(shù)的泰勒公式, 并注意則有時(shí), 具有極值具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 令則: 1) 當(dāng)A0 時(shí)取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)時(shí), 沒(méi)有極值.時(shí), 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)且 討論函數(shù)及是否取得極值.解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn) ,在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此為極小值.正負(fù)0在點(diǎn)(0,0)并且在 (0,0) 都有 可能為例2.求函數(shù)解: 第一步 求駐點(diǎn).得駐點(diǎn): (

3、1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步 判別.在點(diǎn)(1,0) 處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(3,0) 處不是極值;在點(diǎn)(3,2) 處為極大值.在點(diǎn)(1,2) 處不是極值;二、最值應(yīng)用問(wèn)題函數(shù) f 在有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù) f 在有界閉區(qū)域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn) 內(nèi)點(diǎn)：駐點(diǎn)與不可求偏導(dǎo)的點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部一定存在可微函數(shù)的最值, 且只有一個(gè)駐點(diǎn)P 時(shí), 依據(jù)例3.解: 設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為 x , y m ,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長(zhǎng)方體水箱,問(wèn)當(dāng)

4、長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí), 才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為高為時(shí), 水箱所用材料最省.例4. 有一寬為 24cm 的長(zhǎng)方形鐵板 ,把它折起來(lái)做成解: 設(shè)折起來(lái)的邊長(zhǎng)為 x cm,則斷面面積x24一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,積最大. 為問(wèn)怎樣折法才能使斷面面令解得:由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到,而在域D 內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求.解如圖,解由三、條件極值極值問(wèn)題無(wú)條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法1 代入法.求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其他條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化方法2 拉格朗日乘

5、數(shù)法.分析：如方法 1 所述,則問(wèn)題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極故極值點(diǎn)必滿(mǎn)足記例如,值問(wèn)題, 故有引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F 稱(chēng)為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).利用拉格極值點(diǎn)必滿(mǎn)足則極值點(diǎn)滿(mǎn)足:朗日函數(shù)求極值的方法稱(chēng)為拉格朗日乘數(shù)法.推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形. 設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn) . 例如, 求函數(shù)下的極值.在條件例8.要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為則問(wèn)題為求x , y ,令解方程組解: 設(shè) x , y , z 分別表示長(zhǎng)、寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最?。康拈L(zhǎng)方體開(kāi)口水箱, 試問(wèn)得唯一駐點(diǎn)由題意可知合理的設(shè)計(jì)是

6、存在的,長(zhǎng)、寬為高的 2 倍時(shí)，所用材料最省.因此 , 當(dāng)高為思考:1) 當(dāng)水箱封閉時(shí), 長(zhǎng)、寬、高的尺寸如何?提示: 利用對(duì)稱(chēng)性可知,2) 當(dāng)開(kāi)口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí), 欲使造價(jià) 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長(zhǎng)、寬、高尺寸如何? 提示:長(zhǎng)、寬、高尺寸相等 .最省,例9.已知平面上兩定點(diǎn) A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓圓周上求一點(diǎn) C, 使ABC 面積 S最大.解答提示:設(shè) C 點(diǎn)坐標(biāo)為 (x , y),則 設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)面積而比較可知, 點(diǎn) C 與 E 重合時(shí), 三角形面積最大.例9. 設(shè)某電視機(jī)廠生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)的成本為c, 每臺(tái)電電視機(jī)的銷(xiāo)售價(jià)

7、格為p, 銷(xiāo)售量為x, 假設(shè)該廠的生產(chǎn)處于平衡狀態(tài), 即生產(chǎn)量等于銷(xiāo)售量.根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè), x 與p 滿(mǎn) 足關(guān)系:其中M是最大市場(chǎng)需求量, a是價(jià)格系數(shù).又據(jù)對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的分析, 預(yù)測(cè)每臺(tái)電視機(jī)的生產(chǎn)成本滿(mǎn)足:其中c0是生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)的成本, k是規(guī)模系數(shù).問(wèn)應(yīng)如何確定每臺(tái)電視機(jī)的售價(jià) p , 才能使該廠獲得最大利潤(rùn)？解: 生產(chǎn)x臺(tái)獲得利潤(rùn)問(wèn)題化為在條件, 下求的最大值點(diǎn).作拉格朗日函數(shù)令將代入得由得將以上結(jié)果及, 代入, 得解得因問(wèn)題本身最優(yōu)價(jià)格必定存在, 故此 p* 即為所求.內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的極值問(wèn)題第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)

8、 .2. 函數(shù)的條件極值問(wèn)題(1) 簡(jiǎn)單問(wèn)題用代入法如對(duì)二元函數(shù)(2) 一般問(wèn)題用拉格朗日乘數(shù)法設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步 判別 比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小 根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定最值第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件)3. 函數(shù)的最值問(wèn)題在條件求駐點(diǎn) . P121 3, 4, 8, 9, 10 習(xí)題課 作業(yè)(4-9) P121 11, 13, P134 18, 19, 20 作業(yè)(4-11)注 備用題 1. 求半徑為R 的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.解: 設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對(duì)的圓心角為 x, y, z, 它們所對(duì)應(yīng)的三個(gè)三角形面積分別為設(shè)拉氏函數(shù)解方程組, 得故圓內(nèi)接正三角形面積最大 , 最大面積為 注則 注因此前者不可能為圓內(nèi)接三角形中