(完整版)圓錐曲線第三定義及擴(kuò)展0001

1、（完整版）圓錐曲線第三定義及擴(kuò)展圓錐曲線第三定義在橢圓上+22=1（b0）中，A,B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，P是橢圓上異于A,B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若k,ka2b2PAPB存在，則kk=-。（反之亦成立）PAPB2x222在雙曲線一-二二1（0,b0）中，A,B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，P是橢圓上異于A,8兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若2b2b2k,k存在，則kk=。（反之亦成立）PAPBPAPB2焦點(diǎn)在丫軸上時(shí)，橢圓滿足kk二-一，雙曲線滿足kk二一PAPBb2PAPBb2例、已知橢圓上+22=1（b0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，若點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓相交與2b2M、N兩點(diǎn)，記直線PM、PN的斜率分別為k1、k2

2、。若k1xk2=-1,則橢圓的方程為。4變式：1、設(shè)點(diǎn)兒8的坐標(biāo)為（一2，0），（2,0）,點(diǎn)是曲線C上任意一點(diǎn)，且直線PA與PB的斜率之積為-1，則4曲線C的方程為。2、設(shè)點(diǎn)是曲線C上任意一點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)是。，曲線C與*軸相交于兩點(diǎn)兇（-2，0），3N（2，0）,直線PM，PN的斜率之積為-4，則OP的最小值是。3、已知AABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（一8，0），（8，0）,且AC,BC所在直線斜率之積為m（m中0），求頂點(diǎn)C的軌跡.4、P是雙曲線上-q2=1(0,b0)上一點(diǎn)”，N分別是雙曲線的左右頂點(diǎn)，直線PM,PN的斜率之積為-,a2b25則雙曲線離心率為5、已知橢圓上+”二1的左右頂點(diǎn)分

3、別是A、B,M是橢圓上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，求證：kk為定值。32MAMB6、平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A1(-a,0)，A2(a,0)(a0)連續(xù)的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡，加上A1、A2兩點(diǎn)所成的曲線C可以是圓、橢圓成雙曲線.求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值得關(guān)系；第三定義的應(yīng)用.xX210例、橢圓+y2=l的左右頂點(diǎn)分別是兒8,點(diǎn)5是橢圓上位于*軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS,BS與直線l:x=-3分別交于點(diǎn)兇、N,求線段MN長(zhǎng)度的最小值.變式：已知A,B分別為曲線C：一+y2=1(y0，a0)與x軸的左、右兩個(gè)交點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)B，且與xa2軸垂直，S為l上異于點(diǎn)8的一點(diǎn)，連結(jié)AS交曲線C于點(diǎn)T。(

4、1)若曲線C為半圓，點(diǎn)1為圓弧AB的三等分點(diǎn)，試求出點(diǎn)5的坐標(biāo)；()如圖，點(diǎn)兇是以SB為直徑的圓與線段TB的交點(diǎn)，試問(wèn)：是否存在a，使得O,M，5三點(diǎn)共線？若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。第三定義的變形左OAOBZ?2X2丫2框架一：已知橢圓一+=1(ab0),A,B是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)出為平面上一動(dòng)點(diǎn)且滿足。暇=入OA+uOB.a2b2則有如圖框架。(已知任意兩個(gè)，可以推導(dǎo)第三個(gè)).相應(yīng)的雙曲線中有kk=，當(dāng)焦點(diǎn)在丫軸上時(shí)，橢圓滿足kk=-，雙曲線滿足kk=。OA0Ba2OA0Bb2OA0Bb2例、已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩

5、點(diǎn)，OA+OB與a=(3,-1)共線.(I)求橢圓的離心率；(II)設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且OM=XOA+目OB(川口R)，證明九2+從2為定值.x2V2變式：已知在橢圓一+二=1(ab0),A,B是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)滿足OM=入OA+uOBa2b2b2且九2+從2=1,證明：kk二一一TOC o 1-5 h zOA0Ba2框架二：已知橢圓x2+”=1(ab0),A,B是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，兇為平面上一動(dòng)點(diǎn)且滿足OM=kOA+uOB。a2b2b2x2y2貝日有如下框架：kk=o+=X2+u2。OA0Ba2a2b2 HYPERLINK l bookmark18 X2V21例、設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足

6、OP=OM+2ON，其中，M，N是橢圓一+二=1上的點(diǎn)，直線OM、ON的斜率之積為-一，422求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。 HYPERLINK l bookmark22 變式：設(shè)動(dòng)點(diǎn)兇滿足OM=XOA+uOB，其中A、B是橢圓x2+y2=1(ab0)上的點(diǎn)，且kk=一b2a2b2OA0Ba2x2y2證明：P的軌跡方程為一+=k2+U2。a2b2x2y2框架三：已知?jiǎng)又本€l與橢圓一+工=1(b0)交于P(x,x),Q(x,y)兩個(gè)不同的兩點(diǎn)，且a2b21222AOPQ的面積為S，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)。有如下框圖。AOPQkkOP0Qb2-Sb2AOPQy2+y2=b2。x2+x2=a21212例、已知直線l與橢圓