細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力公式-歐拉公式

1、10.2 細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力公式歐拉公式一、兩端鉸支壓桿的臨界力圖 9 4 為兩端受壓桿件，人們經(jīng)過對(duì)不同長(zhǎng)度（l ） ，不同截面（I） ，不同材料（E）Pcr 研究得知：2Pcr 2（ 9 1 ）l2式中：圓周率；E材料的彈性摸量；l 桿件長(zhǎng)度；桿件截面對(duì)行心主軸的慣性矩。圖 9-4當(dāng)桿端在各方向的約束情況相同時(shí)，壓桿總是在抗彎剛度最小的縱向平面內(nèi)失穩(wěn)，所以（ 9-1 ）式中的慣性矩應(yīng)取截面最小的形心慣性矩Imin。瑞士科學(xué)家歐拉（L.Eular）早在 18 世紀(jì)，就對(duì)理想細(xì)長(zhǎng)壓桿在彈性范圍的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。從理論上證明了上述（9-1）式是正確的，因此（9-1）式又稱為計(jì)算臨界力的歐拉公式。

2、二、桿端支承對(duì)臨界力的影響PcrPcrb）（ c）（ d）圖 9-5工程上常見的桿端支承形式主要有四種，如圖 9-5 所示， 歐拉進(jìn)一步研究得出各種支承情況下的臨界力。如一端固定，一端自由的桿件，這種支承形式下壓桿的臨界力，只要在 （ 9-1）式中以 2 l 代替 l 即可。Pcr22l 2a)同理，可得兩端固定支承的臨界力為P2cr2cr 0.5l 2Pcr22l 2a)同理，可得兩端固定支承的臨界力為P2cr2cr 0.5l 2一端固定，一端鉸支壓桿的臨界力為b)2Pcr20.7l 2式(a) ， (b)， (c)和(9-1)可歸納為統(tǒng)一的表達(dá)式c)2Pcr2l29-2)式中 l 稱為壓桿

3、計(jì)算長(zhǎng)度，稱為長(zhǎng)度系數(shù)，幾種不同桿端支承的各值列于表9 1反映了桿端支承情況對(duì)臨界力的影響。表 9-1 各種桿端支承壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)圖臨界力Pcr2EI22EI(2 )22EI (0.5 )2計(jì)算長(zhǎng)度20.5長(zhǎng)度系數(shù)120.52EI(0.7 )20.70.7例 9.1 圖示軸心受壓桿，截面面積為10mm 20mm。已知其為細(xì)長(zhǎng)桿，彈性模量E=200GPa，試計(jì)算其臨界力。Pcr解： 由桿件的約束形式可知：0.7若壓桿的橫截面面積為I min臨界力：PcrIyhb3122EI( l)2在臨界力的作用下，細(xì)長(zhǎng)壓桿橫截面上的平均應(yīng)力叫做壓桿的臨界應(yīng)力，用crPcr20 103121.67 103mm4

4、200 103 1.67 103(0.7 2.5 103)21076.2N 1.076kNcr 表示。A，則臨界應(yīng)力為：2EI( )2.AI2i 可知： A2Ecr( )2.2E( l)22Ecr9-4)稱為壓桿的柔度或長(zhǎng)細(xì)比，稱為壓桿的柔度或長(zhǎng)細(xì)比，它綜合反映了壓桿的長(zhǎng)度、支承情況、截面形狀與尺寸等115.6115.6歐拉公式是在材料服從胡克定律的條件下導(dǎo)出的， 于比例極限的情況。其條件可表示為：壓桿的臨界力只適用于應(yīng)力小cr2E2p若用柔度來表示，則歐拉公式的適用范圍為：p9-5)式中 p 為 cr p時(shí)的柔度值。工程中把p 的壓桿稱為細(xì)長(zhǎng)桿（或大柔度桿）， 只有細(xì)長(zhǎng)桿才能應(yīng)用歐拉公式計(jì)算

5、壓桿的臨界力和臨界應(yīng)力。p 的 大 小 與 材 料 的 力 學(xué) 性 能 有 關(guān) ， 不 同 材 料 的 p 值 不 同 。 如 Q235 鋼 ， 若 取E 200GP., p 200Mp a，代入上式可得p 100，這意味著由Q235鋼制成的壓桿，只有在100 時(shí)才可以應(yīng)用歐拉公式。例 9.2 有一長(zhǎng) l 4.5m 的壓桿， 截面為20a工字鋼，一端固定，一端鉸支，材料為 Q2355鋼。 E 2 105 Mpa。如圖9-7 所示，試計(jì)算壓桿的臨界力和臨界應(yīng)力。解 ： （ 1）計(jì)算壓桿一端固定，一端鉸支,0.7 。 I y 、 I z為形心主慣性矩，I min I y。 查型鋼 表得：iy 2.

6、12cm， I y 158cm4， A 35.6cm2。0 7 4500故0.7 4500148.6 p 100 壓桿為細(xì)長(zhǎng)桿。i 21.2p2）計(jì)算Pcr2EIPcr( )22 2.1 105 158 104(0.7 4.5 103)2330.04 103 N 330.04kN3）計(jì)算crcr3Pcr330.04 103cr292.7 Mpacr A 35.6 102例 9.3 一中心受壓木柱，長(zhǎng)l =8，矩形截面，b h=120mm 200mm，柱的支承情況是：在最大剛度平面內(nèi)彎曲時(shí)（中心軸為y 軸）兩端鉸支，如圖9-8（a）所示，在最小剛度平面內(nèi)彎曲時(shí) （中心軸為z 軸） ， 兩端固定，如圖 9-8（b） 所示，木材的彈性模量E=10GPa，p =110，試求木柱的臨界應(yīng)力和臨界力。9-8b）解 ： （ 1 ）計(jì)算最大剛度平面內(nèi)的柔度iyh 20057.7mm1212在此平面內(nèi)，柱子兩端為鉸支，在此平面內(nèi)，柱子兩端為鉸支，1。l 1 8 1032）計(jì)算最小剛度平面的柔度yiy57.7139i b12034.6mmz 1212在此平面內(nèi)，柱子兩端固定，所以0.5 。l 0.5 8 10334.6z34.6iz（ 3）討論計(jì)算結(jié)果表明，木柱的最大剛度平面內(nèi)柔度y 比最小剛度平面內(nèi)柔度z大，故木柱將在最大剛度平面內(nèi)失穩(wěn)。（ 4）計(jì)算