連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性

1、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性第1頁，共19頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)15分，星期三一、四則運(yùn)算的連續(xù)性定理1例如,第2頁，共19頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)15分，星期三二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理2 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù). 反函數(shù)與直接函數(shù)的圖形是關(guān)于 y = x相互對(duì)稱的曲線，如果y = f (x)是一條連續(xù)的曲線，自然曲線 y = f -1(x)也是一條連續(xù)的曲線。例如,在上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)在 1 , 1 上也連續(xù)單調(diào)遞增.在上連續(xù)單調(diào)遞增,其反函數(shù)在上也連續(xù)單調(diào)遞增.又如, 第3頁，共19頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)15分，星期三

2、定理3證明將上兩步合起來:第4頁，共19頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)15分，星期三注意定理4是定理3的特殊情況.例如,定理4. 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.證: 設(shè)函數(shù)于是故復(fù)合函數(shù)且即第5頁，共19頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)15分，星期三意義1.極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;例1解第6頁，共19頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)15分，星期三例2解： 1) 一般地, 對(duì)冪指函數(shù) ，如果存在, 則說明: 第7頁，共19頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)15分，星期三2) 若則有3) 當(dāng)則有第8頁，共19頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)15分，星期三三、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反

3、三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.(均在其定義域內(nèi)連續(xù) )冪函數(shù)第9頁，共19頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)15分，星期三定理5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理6 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如,這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.注意1.第10頁，共19頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)15分，星期三注意2. 初等函數(shù)求極限的方法代入法.只要為初等函數(shù)： 例3解第11頁，共19頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)15分，星期三例4解第12頁，共19頁，2022年，5

4、月20日，19點(diǎn)15分，星期三例5、求解：第13頁，共19頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)15分，星期三例6、求解：由于為 初等函數(shù)，且x=1為定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，所以：第14頁，共19頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)15分，星期三例7. 設(shè)解:討論復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 .故此時(shí)連續(xù);而故x = 1為第一類間斷點(diǎn) .在點(diǎn) x = 1 不連續(xù) , 第15頁，共19頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)15分，星期三四、小結(jié)連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.初等函數(shù)的連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法.兩個(gè)定理; 兩點(diǎn)意義.反函數(shù)的連續(xù)性.說明: 分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其左、右連續(xù)性.第16頁，共19頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)15分，星期三求極限的方法通常有： (1)利用連續(xù)性 (2)利用等價(jià)無窮小代換 (3)利用重要二極限 (4)初等方法：a.有理化， b.因式分解， c.分子分母同除， d.數(shù)列先求和 e.單調(diào)有界性或夾逼性判定作業(yè)：P69 3,4第17頁，共19頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)15分，星期三思考與練習(xí)續(xù)? 反例 x 為有理數(shù) x 為無理數(shù)處處間斷,處處連續(xù) .反之是否成立?提示:“反之” 不成立 .第18頁，