2022屆江蘇省南通市高考數(shù)學(xué)五模試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1集合的子集的個(gè)數(shù)是（ ）A2B3C4D82已知四棱錐的底面為矩形，底面，點(diǎn)在線段上，以為直徑的圓過點(diǎn).若，則的面積

2、的最小值為（ ）A9B7CD3已知，則（ ）ABCD4若的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256，則二項(xiàng)式展開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為（ ）A85B84C57D565已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（ ）ABCD16函數(shù)的大致圖像為（ ）ABCD7下列不等式正確的是（ ）ABCD8直線與圓的位置關(guān)系是（ ）A相交B相切C相離D相交或相切9已知函數(shù)（，），將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的部分圖象如圖所示，則是的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件10已知半徑為2的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接圓柱，若圓柱的高為2，則球的體積與圓柱的體積的比為（ ）ABCD11已知函數(shù)（）的部分圖象如圖所示.則

3、（ ）ABCD12若點(diǎn)(2，k)到直線5x-12y+6=0的距離是4，則k的值是( )A1B-3C1或D-3或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數(shù)，則_；滿足的的取值范圍為_.14設(shè)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)，有下列三個(gè)命題：當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)；若，函數(shù)的零點(diǎn)不超過4個(gè)，則；對(duì)，函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，且這4個(gè)零點(diǎn)可以組成等差數(shù)列其中，正確命題的序號(hào)是_15已知函數(shù)的最大值為3，的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，其相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為2，則16設(shè)，則除以的余數(shù)是_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12

4、分）的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，且，.（1）求；（2）若邊上的中線，求的面積.18（12分）己知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.設(shè)（1）求的值；（2）若，且，求的值.19（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）設(shè)，求不等式的解集；（2）已知，且的最小值等于，求實(shí)數(shù)的值.20（12分）在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求的值.21（12分）已知首項(xiàng)為2的數(shù)列滿足.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22（10分）古人云：“腹有詩(shī)書氣自華.”

5、為響應(yīng)全民閱讀，建設(shè)書香中國(guó)，校園讀書活動(dòng)的熱潮正在興起.某校為統(tǒng)計(jì)學(xué)生一周課外讀書的時(shí)間，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)査，統(tǒng)計(jì)了他們一周課外讀書時(shí)間（單位：）的數(shù)據(jù)如下：一周課外讀書時(shí)間/合計(jì)頻數(shù)46101214244634頻率0.020.030.050.060.070.120.250.171（1）根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù)，求，的值并估算一周課外讀書時(shí)間的中位數(shù).（2）如果讀書時(shí)間按，分組，用分層抽樣的方法從名學(xué)生中抽取20人.求每層應(yīng)抽取的人數(shù)；若從，中抽出的學(xué)生中再隨機(jī)選取2人，求這2人不在同一層的概率.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

6、中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1D【解析】先確定集合中元素的個(gè)數(shù)，再得子集個(gè)數(shù)【詳解】由題意，有三個(gè)元素，其子集有8個(gè)故選：D【點(diǎn)睛】本題考查子集的個(gè)數(shù)問題，含有個(gè)元素的集合其子集有個(gè)，其中真子集有個(gè)2C【解析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定，根據(jù)勾股定理，得到之間的等量關(guān)系，再用表示出的面積，利用均值不等式即可容易求得.【詳解】設(shè)，則.因?yàn)槠矫妫矫?，所?又，所以平面，則.易知，.在中，即，化簡(jiǎn)得.在中，.所以.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的線面位置關(guān)系及基本不等式的應(yīng)用，考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想，涉及線面垂直的判定和性質(zhì)，屬中檔題.

7、3C【解析】利用二倍角公式,和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系式,化簡(jiǎn)可得,即可求得結(jié)果.【詳解】，所以，即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應(yīng)用和弦化切化簡(jiǎn)三角函數(shù),難度較易.4A【解析】先求，再確定展開式中的有理項(xiàng)，最后求系數(shù)之和.【詳解】解：的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256故，要求展開式中的有理項(xiàng)，則則二項(xiàng)式展開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為：故選：A【點(diǎn)睛】考查二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)及展開式中有理項(xiàng)系數(shù)的確定，基礎(chǔ)題.5C【解析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，分子分母同時(shí)乘以，進(jìn)而求得復(fù)數(shù)，再求出，由此得到虛部.【詳解】，所以的虛部為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的虛部，屬于

8、基礎(chǔ)題.6D【解析】通過取特殊值逐項(xiàng)排除即可得到正確結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，排除B和C；當(dāng)時(shí)，排除A.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查圖象的判斷，取特殊值排除選項(xiàng)是基本手段，屬中檔題.7D【解析】根據(jù)，利用排除法，即可求解【詳解】由，可排除A、B、C選項(xiàng)，又由，所以故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)的比較大小問題，其中解答熟記三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題8D【解析】由幾何法求出圓心到直線的距離，再與半徑作比較，由此可得出結(jié)論【詳解】解：由題意，圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的

9、位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題9B【解析】先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式,再由平移知識(shí)得到的解析式,然后分別找出和的等價(jià)條件,即可根據(jù)充分條件,必要條件的定義求出.【詳解】設(shè),根據(jù)圖象可知,再由, 取,.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,.,令,則,顯然,是的必要不充分條件.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查利用圖象求正(余)弦型函數(shù)的解析式,三角函數(shù)的圖形變換, 二倍角公式的應(yīng)用,充分條件,必要條件的定義的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.10D【解析】分別求出球和圓柱的體積，然后可得比值.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，則，所以圓柱的體積.又球的體積，所以球的體積與圓柱的

10、體積的比，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的體積求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).11C【解析】由圖象可知,可解得,利用三角恒等變換化簡(jiǎn)解析式可得,令,即可求得.【詳解】依題意，即,解得；因?yàn)樗裕?dāng)時(shí)，.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解析式和已知函數(shù)值求自變量,考查三角恒等變換在三角函數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用,難度一般.12D【解析】由題得，解方程即得k的值.【詳解】由題得，解方程即得k=-3或.故答案為：D【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和計(jì)算推理能力.(2) 點(diǎn)到直線的距離.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13 【解

11、析】首先由分段函數(shù)的解析式代入求值即可得到，分和兩種情況討論可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，滿足題意，；當(dāng)時(shí)，由，解得.綜合可知：滿足的的取值范圍為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.14【解析】根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，利用已知中的條件作出偶函數(shù)的圖象，利用圖象對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)又因?yàn)闉榕己瘮?shù)可畫出的圖象，如下所示：可知當(dāng)時(shí)有5個(gè)不同的零點(diǎn)；故正確；若，函數(shù)的零點(diǎn)不超過4個(gè)，即，與的交點(diǎn)不超過4個(gè)，時(shí)恒成立又當(dāng)時(shí)，在上恒成立在上恒成立由于偶函數(shù)的圖象，如下所示：直線與圖象的公共點(diǎn)不超過個(gè)，則，故正確；對(duì)，偶函數(shù)的圖象，如

12、下所示：，使得直線與恰有4個(gè)不同的交點(diǎn)點(diǎn)，且相鄰點(diǎn)之間的距離相等，故正確故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.15【解析】，由題意，得,解得，則的周期為4，且，所以.考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).161【解析】利用二項(xiàng)式定理得到，將89寫成1+88，然后再利用二項(xiàng)式定理展開即可.【詳解】，因展開式中后面10項(xiàng)均有88這個(gè)因式，所以除以的余數(shù)為1.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用，涉及余數(shù)的問題，解決此類問題的關(guān)鍵是靈活構(gòu)造二項(xiàng)式，并將它展開分析，本題是一道基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1），（2）【解析】（1

13、）先由正弦定理，得到，進(jìn)而可得，再由，即可得出結(jié)果；（2）先由余弦定理得，再根據(jù)題中數(shù)據(jù)，可得，從而可求出，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，又因?yàn)椋裕?（2）在和中，由余弦定理得，.因?yàn)?，又因?yàn)椋?，所以，所以，又因?yàn)椋?所以的面積.【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形，靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理即可，屬于?？碱}型.18（1）（2）【解析】（1）由正弦定理將，轉(zhuǎn)化，即，由余弦定理求得， 再由平方關(guān)系得再求解.（2）由，得，結(jié)合再求解.【詳解】（1）由正弦定理，得，即，則，而，又，解得，故.（2）因?yàn)椋瑒t，因?yàn)?，故，故，解得，故，則.【點(diǎn)睛】本題考查

14、正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.19 (1) (2) 【解析】（1）把f（x）去絕對(duì)值寫成分段函數(shù)的形式，分類討論，分別求得解集，綜合可得結(jié)論（2）把f（x）去絕對(duì)值寫成分段函數(shù)，畫出f（x）的圖像，找出利用條件求得a的值【詳解】（1）時(shí)，.當(dāng)時(shí)，即為，解得.當(dāng)時(shí)， ，解得.當(dāng)時(shí)， ，解得.綜上，的解集為.（2）.，由的圖象知，.【點(diǎn)睛】本題主要考查含絕對(duì)值不等式的解法及含絕對(duì)值的函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題20（1）；（2）【解析】（1）消去參數(shù)方程中的參數(shù)，求得的普通方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式，求得的直

15、角坐標(biāo)方程.（2）求得曲線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，代入的直角坐標(biāo)方程，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)直線參數(shù)中參數(shù)的幾何意義，求得的值.【詳解】（1）由的參數(shù)方程（為參數(shù)），消去參數(shù)可得，由曲線的極坐標(biāo)方程為，得，所以的直角坐方程為，即.（2）因?yàn)樵谇€上，故可設(shè)曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入化簡(jiǎn)可得.設(shè)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，考查極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查利用利用和直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義進(jìn)行計(jì)算，屬于中檔題.21（1）見解析；（2）【解析】（1）由原式可得,等式兩端同時(shí)除以,可得到,即可證明結(jié)論;（2）由（1）可求得的表達(dá)式,進(jìn)而可求得的表達(dá)式,然

16、后求出的前項(xiàng)和即可.【詳解】（1）證明:因?yàn)?所以,所以,從而,因?yàn)?所以,故數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）可知,則,因?yàn)?所以,則.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的證明,考查了等差數(shù)列及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用,考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.22（1），中位數(shù)；（2）三層中抽取的人數(shù)分別為2，5，13；【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方表的性質(zhì)，即可求得，得到，再結(jié)合中位數(shù)的計(jì)算方法，即可求解.（2）由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人，根據(jù)抽樣比，求得在三層中抽取的人數(shù)；由知，設(shè)內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為，內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為，利用列舉法得到基本事件的總數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，可得，所以，.設(shè)一周課外讀書時(shí)間的中位數(shù)為小時(shí)，則，解得，即一周課外讀書時(shí)間的中位數(shù)約為小時(shí).（2）由題意