微積分iii課件五ode

1、 第7章 常微分方程7.4 線性微分方程組函數(shù)矩陣記號(hào):注意:連續(xù)(可微):連續(xù)(可微).7.4.1 一般理論記號(hào):線性微分方程組記為 線性微分方程組常系數(shù)線性微分方程組:為常數(shù).定理(存在唯一性)設(shè)若在I上連續(xù),則初值問題在 I 上存在唯一解.其齊次方程為:(*)向量值函數(shù)的相關(guān)與無關(guān) 常數(shù) 使得則稱函數(shù) 線性相關(guān), 若 不全為0的n個(gè)命題 若在區(qū)間I上線性相關(guān), 否則稱線性無關(guān).則其為0. Wronsky行列式向量值函數(shù)的Wronsky行列式:行列式定義為:的Wronsky顯然.命題 若都是(*)在I上的解, 且證即存在非0解.所以線性方程組函數(shù)與函數(shù)都是初值問題的解,故線性相關(guān),從而定理

2、 (*)的解集是 n 維線性空間.命題 齊次方程組(*)的解集是線性空間. 是解是解.(*)(*)證取令為初值問題的解,則線性無關(guān).若為初值問題的解,則7.4.2 線性微分方程組解的結(jié)構(gòu)基本解組,基本解矩陣 的集合稱為(*)的一個(gè)基本解組. (*)的n個(gè)線性無關(guān)解組成(*)(*)是(*)的基本解矩陣,若矩陣稱為基本解矩陣.則初值問題的解為設(shè)則即例1 (*) 解: 基本解矩陣: (1)解方程組的滿足的解. 例1 (2)求定理 設(shè)是齊次的基本解矩陣,通解為:證明(常數(shù)變易)： 命題(*)(*)若是(*)的解,是(*)的解,則是(*)的解.(1)(2)若也是(*)的解,則存在(*)的解使得則非齊次則

3、有(*)(*)是(*)的基本解矩陣.即(*)的通解為:(省掉常數(shù),一個(gè)就好!)例2 (*) 解方程組解相應(yīng)的齊次方程化為基本解組的通解因?yàn)樗栽踔祮栴}的解7.4.3 常系數(shù)齊次線性微分方程組系數(shù)特殊,應(yīng)該有特殊方法!($)特征方程:即稱為($)的特征方程,定理若系數(shù)矩陣A有n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量分別對(duì)應(yīng)特征根則是齊次線性微分方程組的一個(gè)基本解組.證是($)的基本解組.(1)線性無關(guān),因?yàn)樵诘腤ronsky行列式非0.(2)所以是($)的解.注意:當(dāng)對(duì)應(yīng)于時(shí),的實(shí)部, 虛部分別是($)的解.即是兩個(gè)線性無關(guān)解.例3(1)解方程組解特征方程即特征根:對(duì)應(yīng)的特征向量:故例3(2)解方程組解特征方程:即特征根令解得即故基本解組方程組通解為7.4.4 線性微分方程組與高階線性微分方程線性微分方程組與高階線性微分方程可互相轉(zhuǎn)換.以2,3維為例.例4解方程組解由得代入得即故例5解3階方程解記則得到方程組方程組的