中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題：四邊形四邊關(guān)系問題探析

1、四邊形四邊關(guān)系問題探析 由于受到思維定勢(shì)的影響，許多同學(xué)一看到求多邊形邊長的取值范圍的問題時(shí)，就想到用三角形的兩邊之和大于第三邊，或三角形的兩邊之差小于第三邊.其實(shí)對(duì)于某些問題來說，用“兩點(diǎn)之間，線段最短”更為直接簡(jiǎn)單. 一、問題的提出 問題1 在一個(gè)四邊形中，已知其中三邊長為3、5、12，則第四邊的長度的取值范圍是 . 分析 本題可以將問題進(jìn)行如下的轉(zhuǎn)化，如圖1，在四邊形中，已知，求第四邊的長度的取值范圍.解答 連結(jié)，設(shè)，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，得,.只要大于的最小值，小于的最大值，就存在如圖1所示的四邊形.解得.筆者認(rèn)為以上解法缺少理論依據(jù).于是本人對(duì)本題進(jìn)行了研究，提出如下方

2、法求解.另解 如圖2，連結(jié)，設(shè)，在中，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊.得.而在中，有.只要大于的最小值，小于的最大值，就存在如圖1所示的四邊形.解得. 但是，筆者想到一個(gè)反例，將四邊形的邊長進(jìn)行了適當(dāng)調(diào)整，得到一個(gè)不同的結(jié)果. 如圖3，在四邊形，已知，求第四邊的長度的取值范圍.連結(jié)，設(shè)，在中，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，得.而在中，有. 只要大于的最小值，小于的最大值，就存在如圖3所示的四邊形. 解得. 由此可見，上面的解法不正確. 為了得到本題的正確解答過程，筆者采用了追本溯源的策略，找到三角形兩邊之和大于第三邊的理論依據(jù)，即兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短.為此筆者做了如下解答:

3、解法1,即.解得(如圖4). 在解上面的不等式組時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)下面的一個(gè)重要的結(jié)論:不在同一條直線上的四條線段滿足較小的三條線段之和大于最長的線段，那么由這四條線段可以構(gòu)成四邊形.解法2 由于不知道最大邊是或是，故有,即.解得(如圖4). 二、對(duì)結(jié)論的拓展 類比三角形的三邊關(guān)系和四邊形的四邊關(guān)系，我們得到下面兩條結(jié)論:不在同一條直線上的條線段滿足較小的條線段之和大于最長的線段，那么由這條線段可以構(gòu)成邊形. 問題2 在一個(gè)邊形中，已知條邊長為、 ()，則第邊的長度的取值范圍是 .解 由于不知道最大邊是，或是.,解得: (如圖5). 三、解題體會(huì) 1、數(shù)學(xué)定理、公式等的附加約束條件越多，其適應(yīng)范圍就越窄;反之，數(shù)學(xué)定理、公式等的附加約束條件越少，其適應(yīng)范圍就越寬. 2、得到一個(gè)結(jié)論或一種方法，不論有多