假設測驗精品課件

1、假設測驗第1頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一Section 5.1Principle of Significance Tests假設測驗的基本原理第2頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一一、假設測驗的理論基礎某人宣稱自由球命中率有80%。命中率有80%的射手，實地投射只有8/20命中率的機會不大。實地投射結果顯示投20球中8球。結論：命中率有80%的宣稱不可信。命中率有80%的自由球射手投20球命中的次數(shù)應服從二項分布B(20, 0.8)。命中的次數(shù)小于或等于8的概率約為 0.0001。即重復實地投射20球10,000次只中8球以下的情形約只發(fā)生一次

2、。第3頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一假設宣稱的敘述為真(命中率有80%) ，可推得實驗結果發(fā)生的可能性很低，則該實驗結果的發(fā)生(實地投射20球中8球)，即為宣稱的敘述不真的好證據(jù)?！癙rove by Contradiction”小概率原理一、假設測驗的理論基礎第4頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一例 某地區(qū)的當?shù)匦←溒贩N一般667m2產(chǎn)300kg，即當?shù)仄贩N這個總體的平均數(shù) =300(kg)，并從多年種植結果獲得其標準差=75(kg)，而現(xiàn)有某新品種通過25個小區(qū)的試驗，計得其樣本平均產(chǎn)量為每667m2330kg, 即 =330，問新品種產(chǎn)量與當

3、地品種產(chǎn)量是否有顯著差異？二、假設測驗的步驟第5頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一 (一) 先假設新品種產(chǎn)量與當?shù)仄贩N產(chǎn)量無差異，記作 無效假設或零假設 對立假設或備擇假設 二、假設測驗的步驟第6頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一二、假設測驗的步驟 (二) 在承認上述無效假設的前提下，獲得平均數(shù)的抽樣分布，計算假設正確的概率 先承認無效假設，從已知總體中抽取樣本容量為n=25的樣本，該樣本平均數(shù)的抽樣分布具正態(tài)分布形狀，平均數(shù) =300(kg)，標準誤 =15(kg)。如果新品種的平均產(chǎn)量很接近300 kg，應接受H0。如果新品種的平均產(chǎn)量與300相

4、差很大，應否定H0 。但如果試驗結果與300不很接近也不相差懸殊 , 就要借助于概率原理，具體做法有以下兩種：第7頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一1. 計算概率 在假設 為正確的條件下，根據(jù)的抽樣分布算出獲得 330kg的概率，或者說算得出現(xiàn)隨機誤差 30(kg)的概率：在此， 查附表，當u=2時，P(概率)界于0.04和0.05之間，即這一試驗結果： 30(kg)，屬于抽樣誤差的概率小于5%。 二、假設測驗的步驟第8頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一2. 計算接受區(qū)和否定區(qū) 在假設H0為正確的條件下，根據(jù) 的抽樣分布劃出一個區(qū)間，如 在這一區(qū)間內(nèi)

5、則接受H0，如 在這一區(qū)間外則否定H0 。由于 因此，在 的抽樣分布中，落在( )區(qū)間內(nèi)的有95%，落在這一區(qū)間外的只有5%。 二、假設測驗的步驟第9頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一 如果以5%概率作為接受或否定H0的界限，則上述區(qū)間( )為接受假設的區(qū)域，簡稱接受區(qū)( acceptance region )； 和 為否定假設的區(qū)域，簡稱否定區(qū)( rejection region )。 同理，若以1%作為接受或否定H0的界限，則( )為接受區(qū)域， 和 為否定區(qū)域。二、假設測驗的步驟第10頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一 如上述小麥新品種例， =3

6、00， ,1.96 =29.4(kg)。因之，它的兩個2.5%概率的否定區(qū)域為 30029.4和 300+29.4，即大于329.4(kg)和小于270.6(kg)的概率只有5。圖 5%顯著水平假設測驗圖示（表示接受區(qū)域和否定區(qū)域）二、假設測驗的步驟第11頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一 (三) 根據(jù)“小概率事件實際上不可能發(fā)生”原理接受或否定假設 當 由隨機誤差造成的概率P小于5%或1%時，就可認為它不可能屬于抽樣誤差，從而否定假設。 如P0.05，則稱這個差數(shù)是顯著的。 如P 0假設：否定區(qū)H0 ： 0 HA ： 0左尾測驗右尾測驗單尾測驗(one-sided te

7、st)接受區(qū)接受區(qū)三、兩尾測驗與一尾測驗第16頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一u 0.05=1.64u 0.01=2.33單尾測驗分位數(shù)雙尾測驗分位數(shù)u 0.05=1.96u 0.01=2.58否定區(qū)否定區(qū)否定區(qū)接受區(qū)接受區(qū)查表時，單尾概率等于雙尾概率乘以2三、兩尾測驗與一尾測驗第17頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一假設測驗的兩類錯誤H0正確 H0 錯誤否定H0錯誤() 推斷正確(1-)接受H0 推斷正確(1-) 錯誤()第一類錯誤（type I error），又稱棄真錯誤或 錯誤;第二類錯誤（ type II error ） ，又稱納偽錯誤或

8、錯誤第一類錯誤的概率為顯著水平 值。第二類錯誤的概率為 值。四、假設測驗的兩類錯誤第18頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一關于兩類錯誤的討論可總結如下： (1) 在樣本容量n固定的條件下，提高顯著水平 (取較小的 值)，如從5%變?yōu)?%則將增大第二類錯誤的概率 值。 (2) 在n和顯著水平 相同的條件下，真總體平均數(shù) 和假設平均數(shù) 的相差(以標準誤為單位)愈大，則犯第二類錯誤的概率 值愈小。 (3) 為了降低犯兩類錯誤的概率，需采用一個較低的顯著水平，如 =0.05；或適當增加樣本容量。 (4) 如果顯著水平 已固定下來，則改進試驗技術和增加樣本容量可以有效地降低犯第二類

9、錯誤的概率。 四、假設測驗的兩類錯誤第19頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一Section 5.2 Significance Tests for Means平均數(shù)的假設測驗第20頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一一、t分布數(shù)據(jù)來自正態(tài)總體N(,2 )的假設下，隨機樣本的均數(shù) 服從正態(tài) N(,2/n )標準差未知，用樣本標準差s估計 以 標準化后服從標準正態(tài) 以 標準化后則服從 t 分布 的標準差估計值 又稱為 的標準誤 (standard error of mean, 簡記為 )第21頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一0標準正態(tài)

10、分布t 分布自由度9t 分布自由度2一、t分布第22頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一t 分布圖形與正態(tài)分布圖形相似都具有對稱于零、單峰及鐘形的特性t 分布圖形的散布(spread)比正態(tài)分布圖形大， t 分布圖形的尾端具有較大的概率以 替代 來標準化，使得t分布有較大的變異性。t分布自由度越大圖形越接近正態(tài)。樣本容量越大s估計越可靠，估計值造成的額外變異性越小。一、t分布第23頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一在自由度為 的t分布曲線圖下， 右方與 左方的面積和為 a ,則稱 為自由度為 的t分布概率為 a 的雙側(cè)臨界值?？刹楸?。0面積為a/2面積

11、為a/2一、t分布第24頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一在自由度為 的t分布曲線圖下， 右方的面積為 a ,則稱 為自由度為 的t分布概率為 a 的單側(cè)臨界值?？刹楸?。 0面積為a一、t分布第25頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一-tt0一、t分布第26頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一t 界值表1.8122.228-2.228tf (t)=10的t分布圖第27頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一 例1 某春小麥良種的千粒重 34g，現(xiàn)自外地引入一高產(chǎn)品種，在8個小區(qū)種植，得其千粒重(g)為：35.6、37

12、.6、33.4、35.1、32.7、36.8、35.9、34.6，問新引入品種的千粒重與當?shù)亓挤N有無顯著差異？ 這里總體 為未知，又是小樣本，故需用t 測驗；又新引入品種千粒重可能高于也可能低于當?shù)亓挤N，故需作兩尾測驗。測驗步驟為： 二、單個樣本平均數(shù)的假設測驗第28頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一H0： 34g；對HA： 34g。顯著水平 =0.05。測驗計算： 查附表 ，v=7時，t0.05=2.365?，F(xiàn)實得|t|0.05。 推斷：接受H0： 34g，即新引入品種千粒重與當?shù)亓挤N千粒重指定值沒有顯著差異。二、單個樣本平均數(shù)的假設測驗第29頁，共64頁，2022年，

13、5月20日，1點47分，星期一 由兩個樣本平均數(shù)的相差，以測驗這兩個樣本所屬的總體平均數(shù)有無顯著差異。 測驗方法 成組數(shù)據(jù)的平均數(shù)比較 成對數(shù)據(jù)的比較 三、兩個樣本平均數(shù)相比較的假設測驗第30頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一(一) 成組數(shù)據(jù)的平均數(shù)比較 如果兩個處理為完全隨機設計的兩個處理，各供試單位彼此獨立，不論兩個處理的樣本容量是否相同，所得數(shù)據(jù)皆稱為成組數(shù)據(jù)，以組(處理)平均數(shù)作為相互比較的標準。 在兩個樣本的總體方差 和 為未知，但可假定 ，而兩個樣本又為小樣本時，用t 測驗。 三、兩個樣本平均數(shù)相比較的假設測驗第31頁，共64頁，2022年，5月20日，1點4

14、7分，星期一從樣本變異算出平均數(shù)差數(shù)的均方 ， 其兩樣本平均數(shù)的差數(shù)標準誤為：于是有：由于假設 故自由度 三、兩個樣本平均數(shù)相比較的假設測驗第32頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一 例2 調(diào)查某農(nóng)場每畝30萬苗和35萬苗的稻田各5塊，得畝產(chǎn)量(單位：kg)于表1，試測驗兩種密度畝產(chǎn)量的差異顯著性。 表1 兩種密度的稻田畝產(chǎn)(kg)y1(30萬苗)y2(35萬苗)400450420440435445460445425420 假設H0:兩種密度的總體產(chǎn)量沒有差異，即 對 顯著水平 =0.05 測驗計算： =428kg =440kg SS1=1930 SS2=550 故 三、兩

15、個樣本平均數(shù)相比較的假設測驗第33頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一 查附表，v=4+4=8時, t0.05=2.306。 現(xiàn)實得|t|=1.080.05。 推斷：接受假設 ，兩種密度的畝產(chǎn)量沒有顯著差異。 三、兩個樣本平均數(shù)相比較的假設測驗第34頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一 (二) 成對數(shù)據(jù)的比較 若試驗設計是將性質(zhì)相同的兩個供試單位配成一對，并設有多個配對，然后對每一配對的兩個供試單位分別隨機地給予不同處理，則所得觀察值為成對數(shù)據(jù)。 成對數(shù)據(jù)，由于同一配對內(nèi)兩個供試單位的試驗條件很是接近，而不同配對間的條件差異又可通過同一配對的差數(shù)予以消除

16、，因而可以控制試驗誤差，具有較高的精確度。 在分析試驗結果時，只要假設兩樣本的總體差數(shù)的平均數(shù) ，而不必假定兩樣本的總體方差 和 相同。三、兩個樣本平均數(shù)相比較的假設測驗第35頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一 設兩個樣本的觀察值分別為x1和 x2 ，共配成n對，各個對的差數(shù)為 d =x1x2，差數(shù)的平均數(shù)為 ，則差數(shù)平均數(shù)的標準誤 為： 它具有 v =n1。若假設 ，則上式改為：即可測驗 三、兩個樣本平均數(shù)相比較的假設測驗第36頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一 例3 選生長期、發(fā)育進度、植株大小和其他方面皆比較一致的兩株番茄構成一組，共得7組，每

17、組中一株接種A處理病毒，另一株接種B處理病毒，以研究不同處理方法的飩化病毒效果，表2結果為病毒在番茄上產(chǎn)生的病痕數(shù)目，試測驗兩種處理方法的差異顯著性。表2 A、B兩法 處理的病毒在番茄上產(chǎn)生的病痕數(shù)組 別y1(A法)y2(B法)d11025152131213814643151255127620277761812三、兩個樣本平均數(shù)相比較的假設測驗第37頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一 假設：兩種處理對飩化病毒無不同效果，即 ；對 。 顯著水平 。 查附表, v=7-1=6時, t0.01=3.707。實得現(xiàn)|t |t0.01，故P0.01。 推斷：否定 ，接受 ，即A、B

18、兩法對飩化病毒的效應有極顯著差異。 三、兩個樣本平均數(shù)相比較的假設測驗第38頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一 成對數(shù)據(jù)和成組數(shù)據(jù)平均數(shù)比較的不同: (1)成對數(shù)據(jù)和成組數(shù)據(jù)平均數(shù)比較所依據(jù)的條件不同。 前者是假定各個配對的差數(shù)來自差數(shù)的分布為正態(tài)的總體,具有N(0， )；而每一配對的兩個供試單位是彼此相關的。 后者則是假定兩個樣本皆來自具有共同(或不同)方差的正態(tài)總體，而兩個樣本的各個供試單位都是彼此獨立的。 (2)在實踐上，如將成對數(shù)據(jù)按成組數(shù)據(jù)的方法比較，容易使統(tǒng)計推斷發(fā)生第二類錯誤，即不能鑒別應屬顯著的差異。故在應用時需嚴格區(qū)別。 三、兩個樣本平均數(shù)相比較的假設測

19、驗第39頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一Section 5.3 Significance Tests for Proportion 百分數(shù)的假設測驗第40頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一 測驗某一樣本百分數(shù) 所屬總體百分數(shù)與某一理論值或期望值p0的差異顯著性。 由于樣本百分數(shù)的標準誤 為：故由 即可測驗H0 : p=p0 。一、單個樣本百分數(shù)(成數(shù))的假設測驗第41頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一 例4 以紫花和白花的大豆品種雜交，在F2代共得289株，其中紫花208株，白花81株。如果花色受一對等位基因控制，則根據(jù)遺傳學

20、原理，F(xiàn)2代紫花株與白花株的分離比率應為31，即紫花理論百分數(shù)p=0.75，白花理論百分數(shù)q=1p =0.25。問該試驗結果是否符合一對等位基因的遺傳規(guī)律？ 一、單個樣本百分數(shù)(成數(shù))的假設測驗第42頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一因為實得|u|0.05。 推斷：接受H0: p=0.75，即大豆花色遺傳是符合一對等位基因的遺傳規(guī)律的，紫花植株百分數(shù) =0.72和p=0.75的相差系隨機誤差。如果測驗H0: p=0.25，結果完全一樣。 假設大豆花色遺傳符合一對等位基因的分離規(guī)律，紫花植株的百分數(shù)是75%，即H0: p=0.75；對HA: p0.75。 顯著水平 0.05

21、，作兩尾測驗, u0.05=1.96。 測驗計算：一、單個樣本百分數(shù)(成數(shù))的假設測驗第43頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一 測驗兩個樣本百分數(shù)和所屬總體百分數(shù)p1和p2的差異顯著性.設兩個樣本某種屬性個體的觀察百分數(shù)分別為 和 ，而兩樣本總體該種屬性的個體百分數(shù)分別為p1和 p2，則兩樣本百分數(shù)的差數(shù)標準差 為：即可對 H0 : p1 = p2 作出假設測驗。故由二、兩個樣本百分數(shù)(成數(shù))的假設測驗第44頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一 例5 調(diào)查低洼地小麥378株(n1)，其中有銹病株355株( x1)，銹病率93.92%( )；調(diào)查高坡地小

22、麥396株(n2)，其中有銹病346株( x2)，銹病率87.31%( )。試測驗兩塊麥田的銹病率有無顯著差異？ 假設H0：兩塊麥田的總體銹病率無差別，即 H0 : p1 = p2 ；對 HA : p1 p2 。取 ，兩尾測驗，u0.05=1.96。測驗計算：二、兩個樣本百分數(shù)(成數(shù))的假設測驗第45頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一實得|u|u0.05，故P0.05， 推斷：否定H0 : p1 = p2 接受HA : p1 p2 ，即兩塊麥田的銹病率有顯著差異。二、兩個樣本百分數(shù)(成數(shù))的假設測驗第46頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一Sectio

23、n 5.4 Estimating Confidence Interval 區(qū)間估計第47頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一 所謂參數(shù)的區(qū)間估計,是指在一定的概率保證之下,估計出一個范圍或區(qū)間以能夠覆蓋參數(shù)。 這個區(qū)間稱置信區(qū)間( confidence interval )，區(qū)間的上、下限稱為置信限( confidence limit )，區(qū)間的長度稱為置信距。 一般以L1和L2分別表示置信下限和上限。 保證該區(qū)間能覆蓋參數(shù)的概率以P=(1 )表示，稱為置信系數(shù)或置信度。 一、什么是區(qū)間估計第48頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一并有 在總體方差 為未

24、知時 置信區(qū)間為： 上式中的 為置信度P=(1 )時 t 分布的 t 臨界值。二、單一總體平均數(shù)的置信區(qū)間第49頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一 例6 例1已算得某春小麥良種在8個小區(qū)的千粒重平均數(shù) ， 。試估計在置信度為95%時該品種的千粒重范圍。 由附表查得 v =7時 t0.05=2.365，故有 ， 即 推斷：該品種總體千粒重在33.836.6g之間的置信度為95%。在表達時亦可寫作 形式，即該品種總體千粒重95%置信度的區(qū)間是35.2(2.3650.58)=35.21.4(g) ，即33.836.6g。 二、單一總體平均數(shù)的置信區(qū)間第50頁，共64頁，2022

25、年，5月20日，1點47分，星期一三、兩總體平均數(shù)差數(shù)的置信區(qū)間(一) 成組數(shù)據(jù) 如果兩總體方差未知，但相等，即 ，則 的1- 置信區(qū)間為： 并有 以上的 為平均數(shù)差數(shù)標準誤， 是置信度為1 ，自由度為 v =n1+n22 時 t 分布的臨界值。第51頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一 例7 試估計例2資料兩種密度667m2產(chǎn)量差數(shù)在置信度為99%時的置信區(qū)間。 在前面已算得： 由附表查得 v =8 時，t0.01=3.355 故有 L1=(428440)(3.35511.136)= 49.4， L2=(428440)+(3.35511.136)=25.4(kg)。 結果

26、說明，667m2栽30萬畝苗的產(chǎn)量可以比667m2栽35萬苗的每畝少收49.4kg至每畝多收25.4kg，波動很大。所以這個例子是接受 的.的。三、兩總體平均數(shù)差數(shù)的置信區(qū)間第52頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一 (二) 成對數(shù)據(jù)由可得 的1- 置信區(qū)間: 并有 為置信度為1 ，v =n1時 t 分布的臨界 t 值。 其中三、兩總體平均數(shù)差數(shù)的置信區(qū)間第53頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一 例8 試求例3資料 的99%置信限。在例3已算得： 并由附表查得 v =6 時 t0.01=3.707 于是有：L1=8.3(3.7071.997)=15.7

27、 (個) ， L2=8.3+(3.7071.997)=0.9(個)。 或?qū)懽?以上L1和L2皆為負值，表明A法處理病毒在番茄上產(chǎn)生的病痕數(shù)要比B法減小0.915.7個，此估計的置信度為99%。三、兩總體平均數(shù)差數(shù)的置信區(qū)間第54頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一(一)單一總體百分數(shù)的置信區(qū)間在置信度P=1 下，對總體p置信區(qū)間的近似估計為：并有 以上式中 四、百分數(shù)的置信區(qū)間第55頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一 例9 調(diào)查100株玉米，得到受玉米螟危害的為20株，即 =20/100=0.2或 =20。試計算95%置信度的玉米螟危害率置信區(qū)間。故

28、L1=0.2(1.960.04)=0.1216， L2=0.2+(1.960.04)=0.2784四、百分數(shù)的置信區(qū)間第56頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一(二)兩個二項總體百分數(shù)差數(shù)的置信區(qū)間在1 的置信度下，p1p2 的置信區(qū)間為： 并有 其中四、百分數(shù)的置信區(qū)間第57頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一 例10 例5已測知低洼地小麥的銹病率 =93.92%(n1=378)，高坡地小麥的銹病率 =87.31%(n2=396)，它們有顯著差異。試按95%置信度估計兩地銹病率相差的置信區(qū)間。 由附表查得 u0.05 = 1.96，而故有 L1=(0.93920.8731)(1.960.02075)=0.0256， L2=(0.93920.8731)+(1.960.02075)=0.1070，即低洼地的銹病率比高坡地高2.5610.70%，此估計的置信度為95%。四、百分數(shù)的置信區(qū)間第58頁，共64頁，2022年，5月20日，1點47分，星期一Sectio