數(shù)學(xué)建模之傳染病問(wèn)題

1、牟雷劉珈誠(chéng)徐立夫：傳染病問(wèn)題的研究牟雷劉珈誠(chéng)徐立夫：傳染病問(wèn)題的研究 ）。并且，即使s1/0,從（19）,（20）式可以看出，o減小時(shí)，s增加（通過(guò)作圖分析），i降低,也控制0m了蔓延的程度我們注意到在o=九卩中,人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率九越小;醫(yī)療水平越高,日治愈率卩越大，于是o越小，所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病的蔓延.從另一方面看，as,s.1/卩是傳染期內(nèi)一個(gè)病人傳染的健康者的平均數(shù)，稱為交換數(shù)，其含義是一病人被bs個(gè)健康者交換所以當(dāng)s1/a即as1時(shí)必有既然交換數(shù)不超過(guò)1,00病人比例i（t）絕不會(huì)增加傳染病不會(huì)蔓延。五、群體免疫和預(yù)防根據(jù)對(duì)SIR模型的分析，當(dāng)s1/

2、a時(shí)傳染病不會(huì)蔓延所以為制止蔓延除了提高衛(wèi)生和醫(yī)0療水平，使閾值1/o變大以外，另一個(gè)途徑是降低s，這可以通過(guò)比如預(yù)防接種使群體免疫的0辦法做到.忽略病人比例的初始值i有s1-r，于是傳染病不會(huì)蔓延的條件s1/a可以表為0000這就是說(shuō)，只要通過(guò)群體免疫使初始時(shí)刻的移出者比例（即免疫比例）滿足1（1）式，就可以制止傳染病的蔓延。這種辦法生效的前提條件是免疫者要均勻分布在全體人口中，實(shí)際上這是很難做到的。據(jù)估計(jì)當(dāng)時(shí)印度等國(guó)天花傳染病的接觸數(shù)o=5,由（11）式至少要有80%的人接受免疫才行。據(jù)世界衛(wèi)生組織報(bào)告，即使花費(fèi)大量資金提高r，也因很難做到免疫者的均勻分布，使得0天花直到1977年才在全世

3、界根除。而有些傳染病的o更高，根除就更加困難。六、模型驗(yàn)證上世紀(jì)初在印度孟買發(fā)生的一次瘟疫中幾乎所有病人都死亡了。死亡相當(dāng)于移出傳染系的實(shí)際數(shù)據(jù)，Kermack等人用這組數(shù)據(jù)的實(shí)際數(shù)據(jù)，Kermack等人用這組數(shù)據(jù)對(duì)SIR模型作了驗(yàn)證。首先，由方程（2），上式兩邊同時(shí)乘以(3)可以得到仝，si=aysias首先，由方程（2），上式兩邊同時(shí)乘以t1可n-d=ad，兩邊積分得ssJs1dapdsJs1dapds0s0rr00snlnss|arne-arss0所以：s(t)se-ar(t)0再n卩i卩(1rs)卩(1rse-r)(13)d0t當(dāng)r1/時(shí)，取(13)式右端e-rTaylor展開(kāi)式的前3

4、項(xiàng)得:s2r2卩(1rs+sr-o)002在初始值r=0下解高階常微分方程得:0r(t)r(t)1s2(s1)+ath(申)020s1其中a2(s-1)2+2si2,thq-從而容易由(14)式得出:000aa2卩2s2ch2(a_)02然后取定參數(shù)so,a等，畫出（15）式的圖形，如圖4中的曲線，實(shí)際數(shù)據(jù)在圖中用圓點(diǎn)表示，可以看出，理論曲線與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合得相當(dāng)不錯(cuò)。七、被傳染比例的估計(jì)TOC o 1-5 h z在一次傳染病的傳播過(guò)程中，被傳染人數(shù)的比例是健康者人數(shù)比例的初始值s與s之差,0g記作x,即xss(16)0g當(dāng)i0很小，s0接近于1時(shí)，由(9)式可得1xx+ln(1-)沁0(17)

5、s0取對(duì)數(shù)函數(shù)Taylor展開(kāi)的前兩項(xiàng)有1xTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark62x(1)，0(18)s2s200 HYPERLINK l bookmark66111記s+8,8可視為該地區(qū)人口比例超過(guò)閾值一的部分。當(dāng)8時(shí)(18)式給出0(1A HYPERLINK l bookmark68x，2ss一一，28(19)00丿這個(gè)結(jié)果表明，被傳染人數(shù)比例約為8的2倍。對(duì)一種傳染病，當(dāng)該地區(qū)的衛(wèi)生和醫(yī)療水1平不變，即8不變時(shí)，這個(gè)比例就不會(huì)改變。而當(dāng)閾值上提高時(shí)，8減小，于是這個(gè)比例就會(huì)降低。參考文獻(xiàn)：數(shù)學(xué)模型，姜啟源編，高等教育出版社數(shù)學(xué)模型與計(jì)算機(jī)模擬，江裕釗、辛培情編，電子科技大學(xué)出版