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1、牟雷劉珈誠徐立夫:傳染病問題的研究牟雷劉珈誠徐立夫:傳染病問題的研究 )。并且,即使s1/0,從(19),(20)式可以看出,o減小時(shí),s增加(通過作圖分析),i降低,也控制0m了蔓延的程度我們注意到在o=九卩中,人們的衛(wèi)生水平越高,日接觸率九越小;醫(yī)療水平越高,日治愈率卩越大,于是o越小,所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病的蔓延.從另一方面看,as,s.1/卩是傳染期內(nèi)一個(gè)病人傳染的健康者的平均數(shù),稱為交換數(shù),其含義是一病人被bs個(gè)健康者交換所以當(dāng)s1/a即as1時(shí)必有既然交換數(shù)不超過1,00病人比例i(t)絕不會(huì)增加傳染病不會(huì)蔓延。五、群體免疫和預(yù)防根據(jù)對(duì)SIR模型的分析,當(dāng)s1/
2、a時(shí)傳染病不會(huì)蔓延所以為制止蔓延除了提高衛(wèi)生和醫(yī)0療水平,使閾值1/o變大以外,另一個(gè)途徑是降低s,這可以通過比如預(yù)防接種使群體免疫的0辦法做到.忽略病人比例的初始值i有s1-r,于是傳染病不會(huì)蔓延的條件s1/a可以表為0000這就是說,只要通過群體免疫使初始時(shí)刻的移出者比例(即免疫比例)滿足1(1)式,就可以制止傳染病的蔓延。這種辦法生效的前提條件是免疫者要均勻分布在全體人口中,實(shí)際上這是很難做到的。據(jù)估計(jì)當(dāng)時(shí)印度等國天花傳染病的接觸數(shù)o=5,由(11)式至少要有80%的人接受免疫才行。據(jù)世界衛(wèi)生組織報(bào)告,即使花費(fèi)大量資金提高r,也因很難做到免疫者的均勻分布,使得0天花直到1977年才在全世
3、界根除。而有些傳染病的o更高,根除就更加困難。六、模型驗(yàn)證上世紀(jì)初在印度孟買發(fā)生的一次瘟疫中幾乎所有病人都死亡了。死亡相當(dāng)于移出傳染系的實(shí)際數(shù)據(jù),Kermack等人用這組數(shù)據(jù)的實(shí)際數(shù)據(jù),Kermack等人用這組數(shù)據(jù)對(duì)SIR模型作了驗(yàn)證。首先,由方程(2),上式兩邊同時(shí)乘以(3)可以得到仝,si=aysias首先,由方程(2),上式兩邊同時(shí)乘以t1可n-d=ad,兩邊積分得ssJs1dapdsJs1dapds0s0rr00snlnss|arne-arss0所以:s(t)se-ar(t)0再n卩i卩(1rs)卩(1rse-r)(13)d0t當(dāng)r1/時(shí),取(13)式右端e-rTaylor展開式的前3
4、項(xiàng)得:s2r2卩(1rs+sr-o)002在初始值r=0下解高階常微分方程得:0r(t)r(t)1s2(s1)+ath(申)020s1其中a2(s-1)2+2si2,thq-從而容易由(14)式得出:000aa2卩2s2ch2(a_)02然后取定參數(shù)so,a等,畫出(15)式的圖形,如圖4中的曲線,實(shí)際數(shù)據(jù)在圖中用圓點(diǎn)表示,可以看出,理論曲線與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合得相當(dāng)不錯(cuò)。七、被傳染比例的估計(jì)TOC o 1-5 h z在一次傳染病的傳播過程中,被傳染人數(shù)的比例是健康者人數(shù)比例的初始值s與s之差,0g記作x,即xss(16)0g當(dāng)i0很小,s0接近于1時(shí),由(9)式可得1xx+ln(1-)沁0(17)
5、s0取對(duì)數(shù)函數(shù)Taylor展開的前兩項(xiàng)有1xTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark62x(1),0(18)s2s200 HYPERLINK l bookmark66111記s+8,8可視為該地區(qū)人口比例超過閾值一的部分。當(dāng)8時(shí)(18)式給出0(1A HYPERLINK l bookmark68x,2ss一一,28(19)00丿這個(gè)結(jié)果表明,被傳染人數(shù)比例約為8的2倍。對(duì)一種傳染病,當(dāng)該地區(qū)的衛(wèi)生和醫(yī)療水1平不變,即8不變時(shí),這個(gè)比例就不會(huì)改變。而當(dāng)閾值上提高時(shí),8減小,于是這個(gè)比例就會(huì)降低。參考文獻(xiàn):數(shù)學(xué)模型,姜啟源編,高等教育出版社數(shù)學(xué)模型與計(jì)算機(jī)模擬,江裕釗、辛培情編,電子科技大學(xué)出版
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