(整理)第十章簡單超靜定

1、精品文檔精品文檔第十章簡單超靜定習(xí)題10.1對于圖示各平面結(jié)構(gòu)，若載荷作用在結(jié)構(gòu)平面內(nèi)，試：(1)判斷它為幾次超靜定結(jié)構(gòu)(2)列出相應(yīng)的變形協(xié)調(diào)條件。(c)(e)(g)(h)題10.1圖(c)(e)(g)(h)題10.1圖圖二圖三圖二圖三解：(a)由圖可看出，此為不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，此結(jié)構(gòu)在水平方向少了一個(gè)約束力，在豎直方向多了一個(gè)約束力由圖可看出，第二根鉸鏈與第三根鉸鏈有交點(diǎn)，所以這是個(gè)靜定結(jié)構(gòu)。無多余約束由圖可知，此為不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，此結(jié)構(gòu)在水平方向少了一個(gè)約束力由圖可看出，此結(jié)構(gòu)為一次超靜定結(jié)構(gòu)。在支座B處多了一個(gè)水平約束，(圖一)但在均布載荷q的作用下，水平約束的支反力F=0，即變形協(xié)調(diào)條件為F=

2、0由圖可看出，此結(jié)構(gòu)為一次超靜定結(jié)構(gòu)，多了一個(gè)垂直約束，(圖二)，再此約束情況下，有變形協(xié)調(diào)條件均布載荷載在B處引起的撓度等于支座B產(chǎn)生的支反力FNB引BNB起的變形A，即BBB由圖可看出，此為不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，此結(jié)構(gòu)在垂直方向少了一個(gè)約束力由圖可看出，此結(jié)構(gòu)是懸臂梁加根鏈桿移鉸支座構(gòu)成，所以這是個(gè)靜定結(jié)構(gòu)。無多余約束由圖可看出，此結(jié)構(gòu)為一次超靜定結(jié)構(gòu)，在支座B處多了一水平約束，(圖三)但在均布載荷q的作用下，水平約束的支反力F=0，即變形協(xié)調(diào)條件為F=010.2如圖所示受一對力F作用的等直桿件兩端固定，已知拉壓剛度EA。試求A端和B端的約束力。EA1FrF.a.a,a*題10.2圖解：桿件AB為對

3、稱的受力結(jié)構(gòu)設(shè)A、B端的受力為仁，=。且有卩“廣卩申EA對AC段進(jìn)行考慮，EA對AC段進(jìn)行考慮，Ml1FaNA(受拉)EA對CD段進(jìn)行考慮，M=-AA）（受壓）2EA由變形協(xié)調(diào)方程2M-M二0得:12F=1FNA3即：A、B端的受力均為3F（拉力）10.3圖示結(jié)構(gòu),AD為剛性桿，已知F=40kN,1、2桿材料和橫截面積相同，且E1=E2=E=200GPa,A=A2=A=1cm2,a=2m,l=1.5m。試求1、2兩桿的應(yīng)力。DT7l題DT7l題10.3圖1解：設(shè)1、2桿的受力分別為FF，變形為Ml、Ml因?yàn)闂UAD為剛性桿，其變形如TOC o 1-5 h zN1,N212圖所示(1)2)有平衡方

4、程工M=0得：Fl+F21一Fl二0(1)2)CN2N1其變形協(xié)調(diào)方程：Ml=2Ml12FaFa又有NN11EAEA11FaFa1EAEA11MN2N22EAEA22聯(lián)立方程(1)、(2)得：Fa+F2a-Fa0N2N1F16KNF16KNN1F8KNN2F有公式o=得：Ao=FN1=16000Pa=160MPaA0.000F8000o二N22A=Pa=80MPa0.000110.4圖示為一個(gè)套有銅套的鋼螺栓。已知螺栓的橫截面積4=600m2,彈性模量坷=200GPa；銅套的橫截面積A2=1200m2,彈性模量坷=100GPa。螺栓的長度l=750mm,螺距s=3mm。設(shè)初始狀態(tài)下鋼螺栓和銅套

5、剛好不受力，試就下述三種情況求螺栓及套筒的軸力F和F:N1N2(1)螺母擰緊1/4圈；(2)螺母擰緊1/4圈，再在螺栓兩端加拉力F=80kN；(3)由初始狀態(tài)溫度上升At=50oC。設(shè)鋼的線膨脹系數(shù)a=12.5x10-6/C，銅的1線膨脹系數(shù)a=16x10-6/C2題10.4題10.4圖解：(1)把螺母旋進(jìn)1/4圈，必然會使螺栓手拉而套筒受壓。如將螺栓及套筒切開，容易寫出平衡方程FF=0N1N2現(xiàn)在尋求變形協(xié)調(diào)方程。設(shè)想把螺栓及套筒切開，當(dāng)螺母旋進(jìn)1/4圈時(shí)，螺母前進(jìn)的距離為s/4。這時(shí)如再把套筒裝上去就必須把螺栓拉長口l，而把套筒壓短口l，這樣二者才能配合12s在一起。設(shè)二者最后在某一位置上

6、取得協(xié)調(diào)，則變形之間的關(guān)系為口l+口l=-124式中fl和口l2皆為絕對值。鋼螺栓的抗拉強(qiáng)度為E1Al，套筒的抗壓剛度為E2A2，由胡克定律FlFlli=儘，l2=Et1122FlFls于是有N+N,二_于是有EAEA41122可解出FN1=F可解出FN1=FN2sEAEA-1_224l(EA+EA)1122=60KNsEAEA（2）先把螺母旋進(jìn)1/4圈，則螺栓與套筒的軸力為F二F二專2二60KNNn241（EA+EA）1122再在螺栓兩端加拉力F=80kN后，螺栓的軸力F=F+80=140KN（受拉）N1N1套筒的軸力為0KN先寫出平衡方程Fn1-Fn2=0溫度上升后變形條件為M+MF由胡克

7、定律11Fl=鈕11Fl=鈕1112Flnt-EA22聯(lián)立上面的式子有氣F=855KNN2105如圖所示結(jié)構(gòu)，其中桿AC為剛性桿，桿1，2，3的彈性模量E、橫截面面積A和長度1均相同，點(diǎn)C作用垂直向下的力F。試求各桿內(nèi)力值。題10.5圖題10.5圖解：桿ABC的受力圖如圖所示，平衡條件為TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark82 o Current Document 工F=0,F+F+F=F（1）YN1N2N3 HYPERLINK l bookmark182 o Current Document 工M=0,F+F（2a）=0（2）CN2N1變形的幾何關(guān)系如圖所示，

8、變形協(xié)調(diào)方程為口1+口1=2口1（3）132F1F1F1利用胡克定律將（3）式變?yōu)楦?NT=2甘（4）EAEAEA聯(lián)立（1）、（2）、（4）式，解得F=-1FF=1FN16N2310.6試求圖示結(jié)構(gòu)的許可載荷卜10.6試求圖示結(jié)構(gòu)的許可載荷卜。已知桿AD,用應(yīng)力為LI梁AB可視為剛體。CE,BF的橫截面面積均為A,桿材料的許321F1321F1I2CiTBrDAl11）1）2）*F題10.6圖解：這是一次超靜定問題,梁的受力圖如圖所示其靜力學(xué)平衡條件為工F=0,F+F+F=FyN1N2N3工M=0,F=FCN2N1變形協(xié)調(diào)條件為3）利用胡克定律,可得各桿的伸長F1ZF1Z3-Tea31/1V1

9、11/代入（3）式的補(bǔ)充方程F2FN1N3FN24）解得各桿內(nèi)力F2F代入（3）式的補(bǔ)充方程F2FN1N3FN24）解得各桿內(nèi)力F2FF=FN25聯(lián)立（1）、（2）、（4）式,F=-FN15由桿1或桿2的強(qiáng)度條件FAi得F2.c5A1由桿3的強(qiáng)度條件F11c=-3=Fc3AA512c=c=-Ni=FQ12AA5F=丄FN35得F50A3比較F和F，所以結(jié)構(gòu)的許可載荷為31F2.5RA10.7圖示結(jié)構(gòu)中，ABC為剛性梁，已知F=20kN,桿1和桿2的直徑分別為d1=10mm,d2=20mm，兩桿的彈性模量均為E=210GPa。試求1、2兩桿的內(nèi)力。22m題10.722m題10.7圖解：這是一次超

10、靜定問題其靜力學(xué)平衡條件為梁的受力圖如圖所示M=0,Fx2+Fx1=Fx4（1）CN1N2r=2口l12（2）可得各桿的變形Fl0Z2:Fl入丁11N11EA二N22EA（3）12=l=l=2md=10mmd=20mm（4）212（4）有F=2FN2N1F=FN1=20KNF=2F=N2N12F=40KN變形協(xié)調(diào)條件為聯(lián)立（2）、（3）、再聯(lián)立（1）有利用胡克定律，l1li10.8剛桿AB懸掛于1、2兩桿上，1桿的橫截面積為60mm2，2桿為120mm2，且兩桿材料相同。若F=6kN,試求兩桿的軸力及支座A的反力。這是一次超靜定問題，可利用的平衡方程只有一個(gè)工M=0,Fx1+Fx2二這是一次超

11、靜定問題，可利用的平衡方程只有一個(gè)工M=0,Fx1+Fx2二Fx3AN1N21）變形協(xié)調(diào)方程為FlEAN113-EAFl1N22Fx3/2Ex120 x10-61x=Ex60 x10-6Fx4/32N22）解（1）、（2）式，得由平衡條件工F=0,yF二3.6KNN1F二7.2KNN2F+FF二FN1N2RAy得F二4.8NRAy109水平剛性橫梁AB上部由桿1和桿2懸掛，下部由鉸支座C支撐，如圖所示。由于制造誤差，桿1的長度短了1.5mm。已知兩桿的材料和橫截面積均相同，且E=E=200GPa，A=A=A。試求裝配后兩桿的應(yīng)力。1212解：設(shè)1桿伸長A側(cè)2桿伸長AA=2（5-A）12241T

12、OC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark60 o Current Document F4F工M=0,2F-=0,F=1 HYPERLINK l bookmark94 o Current Document C1222A滿足：F=bA=yEA111.5F=A=EA221.5p2代入得2代入得2F_4FF2_2A_0.122mm1q=AE_16.2MPa1.5q_E_45.9MPa1.5210.10圖示階梯狀桿，左端固定，右端與剛性平面相距5_1mm。已知左右兩段桿的橫截面積分別為600mm2和300mm2，材料的彈性模量E_210GPa，試求左右兩段桿的內(nèi)力。3m*3m3

13、m*3m1z1in1F=60kN|.111rA題10.10圖60KNBFb解：這是一次超靜定問題，受力圖如圖所示，其靜力學(xué)平衡方程為TOC o 1-5 h z工F_0,F+F_60(1)xAB變形協(xié)調(diào)方程為nl+,_5(2)ACCB利用胡克定律，可得各段桿的變形7Fl7Fl_AACl_BBCAcEAcbEA3)123)代入，的補(bǔ)充方程Fa-2Fb_42聯(lián)立(1)、(3)，解得F_54KNF_6KNAB10.11兩端固定的階梯狀桿如圖所示。已知左右兩段桿的橫截面積分別為A和2A,材料的彈性模量E_210GPa，線膨脹系數(shù)Q_12.5x10-6/C。試求溫度升高30C時(shí)左右兩段桿的應(yīng)力。精品文檔4

14、精品文檔4)精品文檔1)精品文檔1)精品文檔精品文檔3)323)32精品文檔AB題10.11圖解：階梯狀的受力圖，如圖所示，靜力學(xué)平衡條件為AB題10.11圖工F=0,F-F=0 xAB變形協(xié)調(diào)方程為口1+口1=口1ACCBt利用胡克定律，可得各段桿的變形F1F1F11=A1=AACEACB2EA2EA連同溫度變形匕=21Ta一并代入（2）,得補(bǔ)充方程3F1A-2EA2)3)聯(lián)立(1)、(3)得F=F2)3)AB3F4T1a所以桿內(nèi)各段的應(yīng)力=十=E=1051ACA3Q=仃=-Q=52.51BC2A2AC10.12如圖所示兩端固定的階梯狀圓軸，在截面突變處承受外力偶矩M。已知左右兩段軸e的直徑

15、分別為d和d，設(shè)d二2d，材料的切變模量為G。試求兩固定端處的支反力偶1212矩MA和MB。題10.12圖解：此為一次超靜定問題，階梯軸的受力圖，如圖所示，其靜力平衡條件為工M=0,M+題10.12圖解：此為一次超靜定問題，階梯軸的受力圖，如圖所示，其靜力平衡條件為工M=0,M+M=M（1）xABe因端面A和B均被固定，所以端面A相對截面C與端面B相對截面C的扭轉(zhuǎn)角相同，即ACCB端面A，B相對于截面C的扭轉(zhuǎn)角分別為2)ACM1A-GIp1M1A一兀G(2d)42MlB-2MlB-GIp22MlB-兀Gd432解上面四個(gè)式子可得固定段的支反力偶矩M=32MM=丄MA33eB33e10.13圖示

16、一兩端固定的鋼圓軸，直徑d二60mm,軸在截面C處受一外力偶矩M二3.8kN-m。已知鋼的切變模量G=80GPa。試求截面C兩側(cè)橫截面上的最大切應(yīng)力e和截面C的扭轉(zhuǎn)角。題10.13圖解：此為一次超靜定問題，圓軸的受力圖，如圖所示，其靜力平衡條件為2M=0,M+M二MxAB因端面A和題10.13圖解：此為一次超靜定問題，圓軸的受力圖，如圖所示，其靜力平衡條件為2M=0,M+M二MxAB因端面A和B均被固定所以端面A相對截面C與端面B相對截面C的扭轉(zhuǎn)角相同，即9=9ACCBMl并且有9=ACAACGIp聯(lián)立上面的式子有MaMlBBCGIpM=1MB3e所以截面C左側(cè)圓軸橫截面上的最大切應(yīng)力M23.

17、8x103t=A=xPa=59.8MPamaxW3兀0.063p16所以截面C右側(cè)圓軸橫截面上的最大切應(yīng)力M13.8x103T=B=XmaxW3pPa=29.9MPa兀0.06316截面C的扭轉(zhuǎn)角2彳8“5x竺=0.713。兀Ml9=9=9=a-ca=xCACCBGI3兀0.064px80 x1093210.14空心圓管A套在實(shí)心圓桿B的一端，如圖所示。兩桿在同一截面處各有一個(gè)直徑相同的貫穿小孔，但兩孔的中心線成一個(gè)0角?，F(xiàn)在桿B上施加外力偶使桿B扭轉(zhuǎn)，以使兩孔對精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔準(zhǔn)，并穿過孔裝上銷釘。在裝上銷釘后，卸除施加在桿B上的外力偶。試求管A和桿B橫截面上的扭矩。設(shè)管A和

18、桿B的材料相同，切變模量為G，極慣性矩分別為I和I。pApB題10.14|C甲+申=B題10.14|C甲+申=BAB達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)的受力圖如圖所示，其靜力平衡條件為2M=0,M二MxABMl甲二B-B-BGIpB1）2）Ml甲二4AAGIpA代入（1）后與（2）聯(lián)立可解得GII0M=M=pBpaABlI+lIApBBpAMa解：先對實(shí)心圓桿B施加一外力偶矩并使其截面C相對截面E轉(zhuǎn)過0角，當(dāng)套A和桿B上的孔對準(zhǔn)重合后，裝上銷釘，然后取出外力偶矩，這時(shí)桿B產(chǎn)生回彈，并帶動(dòng)套A的截面C相對截面D轉(zhuǎn)過一個(gè)9角，桿B回彈后，其截面C相對截面E的實(shí)際轉(zhuǎn)角為9，并且A10.15試求圖示AB梁B截面的撓度。設(shè)

19、AB梁各截面的抗彎剛度均為EI，BC桿的抗拉剛度解：這是一次超靜定問題，解除拉桿對梁的約束，代之以軸力F，如圖所示，變形協(xié)調(diào)條N件是在梁的均布載荷q和軸力F的作用下，梁在B點(diǎn)的撓度等于拉桿的伸長，即w=Al應(yīng)用疊加原理有應(yīng)用疊加原理有q(2a)4F(2a)3FaN二N8EI3EIEA6Aqa3F=n31+8Aa2Fa6qa4=Al=Ea3EI+8EAa2a）10.16a）qlum11jr1F1FAaB.b）Bb.題10.16圖解：（a）圖示為二次超靜定結(jié)構(gòu)，因結(jié)構(gòu)和載荷均對稱，從中間把梁切開，（圖a）截面上1的反對稱內(nèi)力即剪力必為零，只有彎矩X，問題簡化為一次超靜定。因?qū)ΨQ截面的轉(zhuǎn)角為1零，所

20、以正則方程為1）8X+=1）1111FITTTC%FRA（aj利用圖乘法（圖a）求系數(shù)ITTTC%FRA（aj利用圖乘法（圖a）求系數(shù)8和常數(shù)211U1F8=丄11EICCMA(a2)(1x(a/2)x1a2EIEI(丄xx-qa2)x1n=丄少M(fèi)一328一竺1FEICEI48EI將(2)、(3)入上述正則方程(1)式得2）qa3/(48EI)qa2X=LIif=18a/(2EI)2411根據(jù)平衡條件求約束反力，工M=0,MX+1q(a)二0Aa122M=譬（逆時(shí)針）A12有對稱性可求得M=臂（順時(shí)針）B12FRAqa向上）F二FRARBqa(向上)（b）如圖所示，圖示為二次超靜定結(jié)構(gòu)，解除B

21、端約束代之以反力X,X,靜定基如（圖12b）所示。1cF、1XFaMAB*2ABr1X(b1)fR=M(b22)WrnMrrTnTrrr2正則方程為8X+8X+=01111221F8X+8X+廠=0211利用圖乘法(圖b)28二丄M11EI8=8二丄M HYPERLINK l bookmark66 o Current Document 1221EI8=M22EIC HYPERLINK l bookmark222 o Current Document 12a2Fx(a+b)=23EI22202F求系數(shù)8.和常數(shù)口jF_2(a+b)23(a+b)=(a+b)3 HYPERLINK l bookma

22、rk224 o Current Document EI3EI2(a+b)2x(7=(a+b)2 HYPERLINK l bookmark230 o Current Document EI-2EI1x(a+b)x(1)(a+b)EIEI1Fa2F(3b+2a)6EI1a2Fx（-1）_2_a2F2F_EI2EI將后面五個(gè)式子代入正則方程組有a2F(3b+a)(a+b)3a2Fb2(a+b)2a2F(3b+a).XRB1(a+b)3向上）Fa2bMbX2R?(順時(shí)針)由靜力平衡方程可求得7a2F(b+3a)RA(a+b)3向上）Fab2MbX2R7(逆時(shí)針)10.17直梁ABC在承受載荷前擱置在支座A、C上，梁與支座B間有一間隙A。在加上均布載荷后，梁就發(fā)生變形而在中點(diǎn)處與支座B接觸。如要使三個(gè)支座的約束反力相等，則A應(yīng)為多大?設(shè)梁的剛度EI為已知。1一2題10.17圖解:解除圖所示梁的約束，代之以支座反力，其受力圖，如圖所示，因要求支座A，B，C三處約束力相等，所以應(yīng)有FFFABql因變形后，B的垂直位移為A，故有A-（）+（）BqbFB查梁撓度的公式?？傻?q14_土384EI48EI解上式A1152EI10.18梁ACB兩端鉸支，中點(diǎn)C處為彈簧支承。若彈簧剛度k500kN/m，