計算機圖形學基礎教程課件

1、計算機圖形學基礎教程課件計算機圖形學基礎教程課件5.1 圖形幾何變換基礎5.2 二維圖形基本幾何變換矩陣 5.3 二維復合變換本章內容-15.1 圖形幾何變換基礎本章內容-15.1 圖形幾何變換基礎通過對圖形進行幾何變換，可以由簡單圖形構造復雜圖形。圖形幾何變換是對圖形進行平移變換、比例變換、旋轉變換、反射變換和錯切變換。圖形幾何變換可以分為二維圖形幾何變換和三維圖形幾何變換，而二維圖形幾何變換是三維圖形幾何變換的基礎 。5.1 圖形幾何變換基礎通過對圖形進行幾何變換，可以由簡單圖5.1.1 規(guī)范化齊次坐標 5.1.2 矩陣相乘 5.1.3 二維變換矩陣5.1.4 二維幾何變換5.1.1 規(guī)范

2、化齊次坐標 5.1.1 規(guī)范化齊次坐標 為了使圖形幾何變換表達為圖形頂點集合矩陣與某一變換矩陣相乘的問題，引入了規(guī)范化齊次坐標。 所謂齊次坐標就是用n1維矢量表示n維矢量。例如，在二維平面中，點P(x，y)的齊次坐標表示為（wx，wy，w）。類似地，在三維空間中，點P(x，y，z)的齊次坐標表示為（wx，wy，wz，w）。這里，w為任一不為0的比例系數，如果w1就是規(guī)范化的齊次坐標。二維點P(x，y)的規(guī)范化齊次坐標為x，y，1，三維點P(x，y，z)的規(guī)范化齊次坐標為x，y，z，1。不能寫成下標形式，w和x，w和y，w和z是乘法的關系。 定義了規(guī)范化齊次坐標以后，圖形幾何變換可以表示為圖形頂

3、點集合的規(guī)范化齊次坐標矩陣與某一變換矩陣相乘的形式。5.1.1 規(guī)范化齊次坐標 為了使圖形幾何變換表達計算機圖形學基礎教程課件 二維圖形頂點表示為規(guī)范化齊次坐標后，其圖形頂點集合矩陣一般為n3的矩陣，其中n為頂點數，變換矩陣為33的矩陣。在進行圖形幾何變換時需要用到線性代數里的矩陣相乘運算。例如，對于n3的矩陣A和33的矩陣B，矩陣相乘公式為：5.1.2 矩陣相乘 二維圖形頂點表示為規(guī)范化齊次坐標后，其圖形頂點集合矩由線性代數知道，矩陣乘法不滿足交換律，只有左矩陣的列數等于右矩陣的行數時，兩個矩陣才可以相乘。特別地，對于二維變換的兩個33的方陣A和B，矩陣相乘公式為： 類似地，可以處理三維變換

4、的兩個44的矩陣相乘問題 由線性代數知道，矩陣乘法不滿足交換律，只有左矩陣的列數等于右5.1.3 二維變換矩陣 用規(guī)范化齊次坐標表示的二維基本幾何變換矩陣是一個33的方陣，簡稱為二維變換矩陣。從功能上可以把二維變換矩陣T分為4個子矩陣。其中是對圖形進行比例、旋轉、反射和錯切變換； 是對圖形進行平移變換； 是對圖形進行投影變換； 是對圖形進行整體比例變換。 （5-2）5.1.3 二維變換矩陣 用規(guī)范化齊次坐標表二維幾何變換的基本方法是把變換矩陣作為一個算子，作用到變換前的圖形頂點集合的規(guī)范化齊次坐標矩陣上，得到變換后新的圖形頂點集合的規(guī)范化齊次坐標矩陣。連接變換后的新圖形頂點，就可以繪制出變換后

5、的二維圖形. 5.1.4 二維幾何變換 設變換前圖形頂點集合的規(guī)范化齊次坐標矩陣為： 變換后圖形頂點集合的規(guī)范化齊次坐標矩陣為： 二維幾何變換的基本方法是把變換矩陣作為一個算子，作用到變換前二維變換矩陣為：則二維幾何變換公式為 ，可以寫成： 二維變換矩陣為：則二維幾何變換公式為 5.2 二維圖形基本幾何變換矩陣 5.2.1 平移變換矩陣 5.2.2 比例變換矩陣 5.2.3 旋轉變換矩陣 5.2.4 反射變換矩陣 5.2.5 錯切變換矩陣 5.2 二維圖形基本幾何變換矩陣 5.2.1 平移變換矩陣 5.2 二維圖形基本幾何變換矩陣 二維圖形基本幾何變換是指相對于坐標原點和坐標軸進行的幾何變換，

6、包括平移、比例、旋轉、反射和錯切五種變換。本節(jié)以點的二維基本幾何變換為例進行講解。二維坐標點的基本幾何變換可以表示成 的形式，其中，為變換前點的規(guī)范化齊次坐標點，為變換后點的規(guī)范化齊次坐標點，為33的變換矩陣。5.2 二維圖形基本幾何變換矩陣 二5.2.1 平移變換矩陣 平移變換是指將坐標點從位置 移動到位置 的過程，如圖5-1所示。平移變換的坐標表示為： （圖5.1）654321O123456yx5.2.1 平移變換矩陣 平移變換是指將坐標點從位置 移動因此，二維平移變換矩陣為： 式中，Tx，Ty為平移參數。（5-4）相應的齊次坐標矩陣表示為：因此，二維平移變換矩陣為： 式中，Tx，Ty為平

7、移參數。（55.2.2 比例變換矩陣 比例變換是指坐標點相對于坐標原點O，沿x方向縮放Sx倍，沿y方向縮放Sy倍，得到點的過程，如圖5-2所示。圖5.2 比例變換5.2.2 比例變換矩陣 比例變換是指坐標點比例變換的坐標表示為： 相應的齊次坐標矩陣表示為： 因此，二維比例變換矩陣為： 式中，Sx，Sy為比例系數 （5-5）比例變換的坐標表示為： 相應的齊次坐標矩陣表示為： 因此，二 比例變換可以改變圖形的形狀。當SxSy且Sx、Sy大于1時，圖形等比放大；當SxSy且Sx、Sy小于1大于0時，圖形等比縮小；當SxSy時，圖形發(fā)生形變。 前面介紹過變換矩陣的子矩陣是對圖形作整體比例變換: s1時

8、，圖形整體縮小； 0s0是沿x正向的錯切變換，c0是沿y正向的錯切變換，b0是沿y負向的錯切變換，如圖5-5（d）和（e）所示。 在前面的變換中，子矩陣 的非對角線元素大多為零，如果c和b不為零，則意味著對圖形進 上面討論的五種變換給出的都是點變換的公式，對于線框模型，圖形的變換實際上都可以通過點變換來完成。例如直線段的變換可以通過對兩個頂點坐標進行變換，連接新頂點得到變換后的新直線；多邊形的變換可以通過對每個頂點進行變換，連接新頂點得到變換后的新多邊形來實現。曲線的變換可通過變換控制多邊形的控制點并重新畫線來完成。 符合下面形式的坐標變換稱為二維仿射變換（Affine Transformat

9、ion）。 （5-11） 上面討論的五種變換給出的都是點變換的公式，對于變換后的坐標x和y都是變換前的坐標x和y的線性函數。參數aij是由變換類型確定的常數。 仿射變換具有平行線變換成平行線，有限點映射到有限點的一般特性。平移、比例、旋轉、反射和錯切五種變換都是二維仿射變換的特例，任何一組二維仿射變換總可表示為這五種變換的組合。因此，平移、比例、旋轉、反射的仿射變換保持變換前后兩直線間的角度、平行關系和長度之比不改變。變換后的坐標x和y都是變換前的坐標x和y的線性函數。參數5.3 二維復合變換5.3.1復合變換原理5.3.2 相對于任一參考點的二維幾何變換5.3.3 相對于任意方向的二維幾何變

10、換5.3 二維復合變換5.3.1復合變換原理5.3.2 相對5.3.1復合變換原理復合變換是指圖形做了一次以上的基本幾何變換，是基本幾何變換的組合形式，復合變換矩陣是基本幾何變換矩陣的組合。其中， 為復合變換矩陣，為單次基本幾何變換矩陣。5.3.1復合變換原理復合變換是指圖形做了一次以上的基本幾何值得注意是：進行復合變換時，需要注意矩陣相乘的順序。由于矩陣乘法不滿足交換律，因此通常 。在復合變換中，矩陣相乘的順序不可交換。通常先計算出 ，再計算。值得注意是：進行復合變換時，需要注意矩陣相乘的順序。由于矩陣5.3.2 相對于任一參考點的二維幾何變換 前面已經定義，二維基本幾何變換都是相對于坐標原

11、點進行的平移、比例、旋轉、反射和錯切五種變換，但在實際應用中常會遇到參考點不在坐標原點的情況。 相對于任一參考點的變換方法為首先將參考點平移到坐標原點，對坐標原點進行二維基本幾何變換，然后再將參考點平移回原位置。5.3.2 相對于任一參考點的二維幾何變換 前面P1P2P3Q圖 5-6 示例圖 例1 一個由頂點P1（10，10），P2（30，10）和P3（20，25）所定義的三角形，如圖5-6所示，相對于點Q（10，25）逆時針旋轉30o，求變換后的三角形頂點坐標。P1P2P3Q圖 5-6 示例圖 例1 一個由頂點P1第一步 Q點平移至坐標原點，如圖5-7所示。QP3P1P2圖5-7 平移 變換

12、矩陣為：。第一步 Q點平移至坐標原點，如圖5-7所示。QP3P1P2圖第二步 三角形相對于坐標原點逆時針旋轉30，如圖5-8所示。P1P2P3Q 圖 5-8 旋轉 變換矩陣為：。第二步 三角形相對于坐標原點逆時針旋轉30，如圖5-8所示P1P2P3Q第三步 參考點Q平移回原位置，如圖5-9所示。變換矩陣為：圖 5-9 反平移 P1P2P3Q第三步 參考點Q平移回原位置，如圖5-9所示。圖形變換后的頂點的規(guī)范化齊次坐標矩陣等于變換前的規(guī)范化齊次坐標矩陣乘以變換矩陣。而所以 圖形變換后的頂點的規(guī)范化齊次坐標矩陣等于變換前的規(guī)范化齊次坐這樣圖形變換后的頂點坐標為P1（17.5，12.01），P2（3

13、4.82，22.01）和P3（18.66，30）。這樣圖形變換后的頂點坐標為P1（17.5，12.01），P25.3.3 相對于任意方向的二維幾何變換 二維基本幾何變換是相對于坐標軸進行的平移、比例、旋轉、反射和錯切五種變換，但在實際應用中常會遇到變換方向不與坐標軸重合的情況。 相對于任意方向的變換方法為首先對任意方向做旋轉變換，使變換方向與坐標軸重合，然后對坐標軸進行二維基本幾何變換，最后做反向旋轉變換，將任意方向還原回原來的位置。5.3.3 相對于任意方向的二維幾何變換 二維基例2 圖5-11所示三角形相對于軸線y=kx+b作反射變換，求每一步相應的變換矩陣。y=kx+b（0，b）圖5-1

14、1原始圖形 例2 圖5-11所示三角形相對于軸線y=kx+b作反射變換，第一步 將點（0，b）平移至坐標原點，如圖5-12所示。 圖5-12平移 變換矩陣為：第一步 將點（0，b）平移至坐標原點，如圖5-12所示。 第二步 將軸線y=kx繞坐標原點順時針旋轉角(=arctank)，落于x軸上，如圖5-13所示。變換矩陣為：圖5-13旋轉 第二步 將軸線y=kx繞坐標原點順時針旋轉角(=arct第三步 三角形相對x軸作反射變換，如圖5-14所示。變換矩陣為： 圖5-14反射 第三步 三角形相對x軸作反射變換，如圖5-14所示。變換矩第四步 將軸線y=kx逆時針旋轉角(=arctank) ，如圖5-15所示。變換矩陣為：圖5-15反旋轉 第四步 將軸線y=kx逆時針旋轉角(=arctank) 圖5-16反平移 第五步 將軸線平移回原來的位置，如圖5-16所示。變換矩陣為：圖5-16反平移 第五步 將軸線平移回原來的位置，如圖5-1習題 5.1如圖5-28所示，求A（4，1）、B（7，3）、C（7，7）、D（1，4）構成的四邊形繞 P(5，4)逆時針旋轉45的變換矩陣和變換后圖形的頂點坐標。ABCD