高中數(shù)學(xué)：線性回歸方程知識點(diǎn)專項(xiàng)講解及典型例題歸納

1、 L相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)系 異靛、函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系相同點(diǎn)兩者均是指兩個變量之間的關(guān)系不同點(diǎn)是種確定性關(guān)系是一種非確定的關(guān)系是兩個變量之間的關(guān) 系一個為變量，另一個為隨機(jī) 變量：兩不都是隨機(jī)變量是一種因果關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是 伴隨關(guān)系是一種理想關(guān)系模型是更為一般的情況Z回歸直線方程(1)回歸直線方程的思想方法回歸直線：觀察散點(diǎn)圖的特征，發(fā)現(xiàn)各點(diǎn)大致分布在一 條直線的附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)的關(guān)系，這 條直線叫做回歸宜線.可見，根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)可畫出不同的直線來近似表示這種 線性關(guān)系.比如，可以連接最左側(cè)點(diǎn)和最右側(cè)點(diǎn)得到一條直 線：也可以讓畫出的直線上方的點(diǎn)和下方的點(diǎn)數(shù)目

2、相等， 這些辦法，能保證各點(diǎn)與此直線在整體上是最接近的嗎？它們 雖然都有一定的道理，但總計(jì)人感到可靠性不強(qiáng).最小二乘法：實(shí)際上，求回歸直線方程的關(guān)鍵是如何用 數(shù)學(xué)的方法來刻畫“從整體上看各點(diǎn)與此直線的距離最小”， 即最貼近已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)，最能代表變量x與y之間的關(guān)系.解制表.i12345合計(jì)為2一345620 K2:2355.56.57.0254.41L422。32.542.01123491625369055A x 4, y = 5, Zx/=90, 3w=ll23./ it i._1123 524X5_ ,90-52 一= L23,1=5-L23X4=0.08./.所求線性回歸方程為P= 1,

3、2版+0,08.3 + 3 + 5 + 2+8+9+12 6.5 j44+6+3 +9+ 12+14v=x=8%必一6x yi 1:b= =1.143, uy b x0.571.立j” j i，回歸直線方程為=LI43x + 0.57L題型三利用回歸直線對總體進(jìn)行估計(jì)【例3】(14分)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲 產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量工(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗M噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾 組對照數(shù)據(jù).X3456y2.53445(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小平方法求出y美于，的線 性回歸方程；(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn) 煤.試根據(jù)(2)

4、求出的線性回歸方程預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn) 能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？(參考數(shù)值：3X2.5 + 4X3 + 5 X4+6X4.5 = 66.5)審題指導(dǎo)木題考查線性同歸方程的求解及利用同歸直線對 丹,一xy總體進(jìn)行估計(jì)，利用公式：b,人工來求出9 2 - 2 i-1系數(shù).【解題流程】規(guī)范解答1（1）規(guī)范解答1（1）由題設(shè)所給數(shù)據(jù)i,可得散點(diǎn)圖,如右圖所示.（3分）列能槌：岫標(biāo)準(zhǔn)煤）32.5（2）由對照數(shù)據(jù)，計(jì)算得:3+4+5+64-452.5 + 3+4+45 .（6分）y j （6分）所以由最小平方法確定的線性回歸方程的系數(shù)為 一共一4工y2-4X4, X3.5仁 _ = 86二

5、4 應(yīng)L=7以廣4 a 2a=yb x =3.5 0.7X4.5 = 035.因此，所求的線性I可歸方程為9=0.7工+0,35.（10分）（3）由Q）的回歸方程及技改前生.產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生.產(chǎn)能耗，司得 降低的中產(chǎn)能耗為90（0.7X 100+0.35） 19.65（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）.（14 分）【題后反思】解決此類問題苜先根據(jù)所給數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn) 圖，根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，如果兩 個變量之間不具有相關(guān)關(guān)系，或者說，它們之間的關(guān)系不顯 著，即使求得線性回歸方程也是毫無意義的，而且用其估計(jì) 和預(yù)測的結(jié)果也是不可信的.【變式3】以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和新房 屋的面機(jī)

6、的數(shù)據(jù)：新房屋面積(m2)11511080135105銷售價格(萬元)24.821.618.429.222(1)畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點(diǎn)圖；(2)求線性回歸方程.，并在散點(diǎn)圖中加上回歸直線；據(jù)的結(jié)果估計(jì)當(dāng)新房屋面枳為150 時的銷售價格.誤區(qū)警示 最小二乘法的原理不清而出錯 【示例】已知工、p之間的一組數(shù)據(jù)如下表：X13678y12345對于表中數(shù)據(jù)，甲、乙兩同學(xué)給出的擬合直線分別為y=5+ 1與試?yán)米钚∫怀朔ㄋ枷肱袛嗄臈l直線擬合程度 更好.錯解小y作為點(diǎn)的坐標(biāo)，作出所給數(shù)據(jù)的故點(diǎn)圖.用)，=5+1作為擬合直線時，散點(diǎn)圖上的點(diǎn)到擬合直線的距離之和為-1 + 1梟3-2 + 1二i，(+J(打+(

7、7。/(.)(一4|tx6-3+1 | |tx7-4 + i I |tx8_5+-I+ -I+ ,J(.j，(TJ(y)l + (-D27T 7 Jo二何二2r 用,二；工+。作為擬合宜線時，散夷圖上的點(diǎn)到擬合宜線的距離之和為|t-1+t| |tx3-2+tID2 =+ r ,+Jd(TJ+(T乩 與用線，=與十:孤合程度更好.思維突破題目要求利用最小二乘法思想判斷哪條直線擬合程度更好、不是用散點(diǎn)圖上的點(diǎn)到擬合直線的距離之和最小來 判斷.正解用y=*+l作為擬合直線時，所得y估計(jì)俏與y的實(shí) 際值的差的平方和為 Si=1-1|2 + (2-2)2 + (3-3)2 + j-42 +13 5J-3,用作為擬合宜線時，所得 估計(jì)值與N的實(shí)際值的差的平方和為(75；=(l-ir+(2-2r+ 3(75；=(l-ir+(2-2r+ 3一3工+(44尸+ 弓一5 二2；二，用直線擬合程度更好. jtam追本溯源最小二乘法思想是