線(xiàn)性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)第五章矩陣的特征值與特征向量

1、 .A是3階矩陣，譽(yù)2巴是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的3維列向量組且滿(mǎn)足Aa=a+a+a,Aa2a+a,Aa=2a+3a1123223323（1）求矩陣B,使A(aaa)=(1，2，3a1aa)B；，2，39（2）求A的特征值.解100、(1)由人(a,a,a)=(a,a,a)122，知12312313丿100、B=122J13丿因?yàn)樽u(yù)2=是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的3維列向量組，所以P=（a,a,a）可逆TOC o 1-5 h z123所以P-1AP=B即矩陣A與B相似，由此可得矩陣A與B有相同的特征值由九-100ReB=-1九一2-2=（九一1）2（九一4）=0-1-1九-3得矩陣B的特征值，也即矩陣A的特征值九=X=1,

2、九=4.123001、13.設(shè)矩陣B=010,已知矩陣A與B相似，計(jì)算R（A-2E）+R（A-E）.（100丿-X0|B-XE=01-X10-X0|B-XE=01-X1010=(1X)(X-1)(X+1)-XX=1是A的二重特征值(-101r1011000000000丿代入（B-九E）=所以R（B-E）=1,故九=1時(shí)B可以對(duì)角化A也可以對(duì)角化故R（AE）=12不是A的特征值,故|A2E|豐0,于是有R(A2E)=3貝UR(A2E)+R(AE)=414.A是3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，A的特征值為1，0，-1，A屬于1與0的特征向量分別為(l,a,l)t和(a,a+l,l)T，求A.解：A是3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣

3、，A的特征值互不相同，故這三個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量正交有:(1,a,1)aI1丿所以a=1+1(1,a,1)aI1丿所以a=1+1=0,得：a2+2a+1=(a+1)2=0(11r11ra1r11a=1a+1=01丿1丿1丿代入:設(shè)九屬于-1的特征向量rx1fxx+x=0r111123亠2x，得x+x=0九屬于-1的特征向量2J131丿IX丿3yr12166得相似變換矩陣P=A=PAP-1=PAPt=_313132_315.設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,滿(mǎn)足A3-3A2+3A-2E=O,求A的特征值.解：由于A是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，所以A的特征值都是實(shí)數(shù),A33A2+3A2E=0兩邊同乘以特征向量(A3

4、(A3-3A2+3A-2E)X=0A3X-3A2X+3AX-2EX=0九3X-3九2X+3九X-2X=0由于X豐0故（九3-3九2+3九2）X=0九3-3九2+3九一2=0n（九一2）（九2九+1）=0由于九是實(shí)數(shù)，所以九二216.設(shè)3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征值九=1,九=2,九=-2,a=（1,-1,是A屬于九的一個(gè)TOC o 1-5 h z12311特征向量，B=A5-4A3+E.求B的特征值和特征向量.解A是3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，九二1,九二2,九=-2,互不相同，所以對(duì)應(yīng)于九,九，九的特征123123向量?jī)蓛烧?令x1X=x與a正父nx-x+x=021123IXJr1-1解得:X=1，X=02310JI1JTOC o 1-5 h zB=f（A）=A5-4A3+E.的特征值卩=（九）所以B的特征值為卩=-2,卩=卩=1,B屬于卩=-2的全部