方向?qū)?shù)與梯度在工程和生活中的應(yīng)用

1、姓名：張江帆學(xué)號(hào)：201311217方向?qū)?shù)與梯度在工程和生活中的應(yīng)用一、方向?qū)?shù)令xoy 上P G , y)去淀占的冬射緯e = (cosa,cos。)皇即概念 是，平面上以000為如占的條射線.i是與同方向的單位向量射線1的參數(shù)方程為x = x +1 cos ay = y0 +1 cos p(t 0)設(shè)函數(shù)z =f ny)在點(diǎn)P0(x 0,y 0)的某個(gè)鄰域u偵0)內(nèi)有定義， TOC o 1-5 h z P(x +1cosa,y +1cosp)為i 上早一點(diǎn)日 p g U(p ) p p 的距離|PP 0 00為上為點(diǎn)，日0 , 王U 0的距離0f (x +1 cosa, y +1 cos

2、 p )- f (x , y )若t當(dāng)p沿著l趨于p 0即-0 +時(shí)的極O ”7f I )限存在，則稱此極限為函數(shù)Z，y)在點(diǎn)p0沿方向l的方向?qū)?shù).記作仞(x0,y0)即df |i， f (x +1 cosa, y +1 cos p)- f (x , y )dl (x0, y0) t-0+tf |,、,) M、,)，有定義可知初&，y0y，在點(diǎn)P0板0,沿方向1的變化率.f x, y)“ r P Cx , y ) /日日.jrl.-try,- e = i = G,0)刖 若 在點(diǎn)0 0，0偏導(dǎo)數(shù)存在l則堂 I 、=lim 寸 4 +，P 寸 V *)di (x v )t= f vx , yd

3、l 0,y00+tJ x 0”0又若廣j = )則堂 |、=lim f G + *,- f(V y0)dl (x , y )t= f (x , y )0迎0t0+y 0 0 但反之若el =1冬 I竺 I_ :()dl (0,0)存在.則dx (0,0)不一定存在.如z =、x2 + y2在點(diǎn)S,0)處沿dz8z |dz .I /、 | /、I = 方向的方向?qū)?shù)初1=1，而偏導(dǎo)數(shù)辦、異不存在.方向?qū)?shù)的存在性及其計(jì)算方法函數(shù)具備什么條件才能保證在P00, *)點(diǎn)沿任一方向的方向?qū)?shù)存在？它和該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)又有什么關(guān)系？有如下定理定理 若f (x, y)在點(diǎn)P0(x0, y0 )可微分，則函數(shù)在該

4、點(diǎn)沿任一方向1的方向?qū)?shù)存在且瓦七,y )= f G ,y )cosa + f (x , y )cos pL 0，0 x 0 0y 0 0其中cosa,cosp是方向l的方向余弦證f (x, y)在點(diǎn)(x0, * )可微分f (x+Ax,y+Ay)- f G ,y )= f G ,y)A + f(x,y)Ay+ 0：(Ax* +(Ay*0000 x 00y 00+ Ax,y + Ay)什r、( (x ,y )、石乙匕alajal (I ，0 在以 0，0為始點(diǎn)的射線1上時(shí)應(yīng)有Ax = t cosaAy - t cos p所f G lim1t項(xiàng)+這就證明了方向?qū)?shù)存在，且其值為+1 cos a,

5、 y +1 cos p)- f (x , y )= i = f(X , y )cos a + f (x , y )cos P面 L,y )= f (x , y)cosa + f (x , y )cos p0，0 x 0 0y 0 0同樣可以證明f(x,y,z)在點(diǎn)G0,y0,z0)可微分，則函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向 000，e = tosa ,cos p ,cos y)的方向?qū)?shù)-f (x , y , z )cos a + f (x , y , z )cos P + f (x , y , z )cos y初 l(x0,y0,z0)x 0 0 0y 0 0 0z 0 0 0二、梯度1.二元函數(shù)梯度定義

6、 設(shè)f (x, y)在區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，點(diǎn)P0 (x0, y0 )g D , 則向量 TOC o 1-5 h z f (x , y)了 + f (x , y)7x 00y 00卻如 f (x, y)五上 P (x , y )gradf (x , y )稱為 在點(diǎn)0 0。的梯度，記作0。，即gradf (x , y )= f (x , y )了 + f (x , y )00 x 00y 002.二元函數(shù)梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系f x, y)什 I P x ,y)旬徂/te cosa,cos p)曰 u-. 1右，/在點(diǎn)0 0，0可微分，1是與方向1同向的單位向量，則fdi(=gra=f (x

7、 , y )cos以 + f (x , y )cos Px0, y0)x 0 0y 0 0df (x0, y0)gra了 00-eidf (x , y )| e cos 0 gradf (x , y )|cos0其中g(shù)radf (x , y ) e當(dāng)0 =0時(shí)，方向?qū)?shù)初0,y0)取得最大值，這個(gè)最大值就是梯度的模Igrad(x0,y0由上知：函數(shù)在一點(diǎn)的梯度是個(gè)向量，它的方向是函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)取得最大值的 方向，它的模等于方向?qū)?shù)的最大值.Z = f ( y)在幾何上表示一個(gè)曲面這曲面被平面z = c( c是常數(shù))所截得曲線L的方I z = f (x, y )程為z = c ，L在xy面

8、上的投影是一條平面曲線L，它在xy平面直角坐標(biāo)系中的方程為f G y)= c，對(duì)L上一切點(diǎn)，已給函數(shù)的函數(shù)值都是c，稱L為z = f G y)的等值線.f f( )P Y/若fx，fy不同時(shí)為零，則等值線 g y = c上任一點(diǎn)P0邕，y /處的一個(gè)單位法向量yf2 (x , y )+ f2 (x , y )V x 00 y 001(f (x , y ) f (x , y )x 00 y 00這表明gradf G 0,y 0)的方向與等值線上這點(diǎn)的一個(gè)法線方向相同.f而沿這個(gè)方向的方向?qū)?shù)dn就等于于是gradf q, y0 )=f*n三元函數(shù)梯度概念與方向?qū)?shù)關(guān)系設(shè)f G,y,z)在空間區(qū)域

9、g內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每P (x , y , z )e G0 0f 0都可以定出一個(gè)向量，f G , y , z + f G , y , z)j + f G , y , z Lx 000 y 000Z 000f (x, y, z)p (x, y , z )gradf(, y , z 九為在點(diǎn)0000的梯度，記做000即gradfG , y , Z )= f G ,y ,z 七 + f (x ,y ,z )j + f (x ,y ,z L 000 x 000 y 000 Z 000,與二元函數(shù)類似，三元函數(shù)的梯度也是一個(gè)向量，它的方向與取得最大導(dǎo)數(shù)的方向一致，它 的模為方向?qū)?shù)的最大值.f(x,y,z) c *f(x,y,z)f(x,y,z)p(