《高等數(shù)學(xué)》PPT課件-第五章 概率、曲面

1、第五章 概率論初步（數(shù)二）排列組合一、計數(shù)原理分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理定義相同點不同點 排列 組合定義種數(shù)符號計算公式關(guān)系二、排列組合 這個公式表示的定理叫做二項式定理，公式右邊的多項式叫做 (a+b) n的 ， 其中 （r=0,1,2,n）叫做 ， 叫做二項展開式的通項，用 Tr+1 表示，該項是指展開式的第 項，展開式共有_個項.展開式二項式系數(shù)r+1n+1二項式定理 1.書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書， 從中任取一本，有多少中不同的取法？ 從中任取數(shù)學(xué)書與語文書各取一本，有多少種不同的取法？基礎(chǔ)練習(xí)6+5=1165=302.某段鐵路上有12個車站，共需準(zhǔn)備多少種普

2、通客票？3.某段鐵路上有12個車站，問有多少種不同的票價？4.用3，5，7，9四個數(shù)字，一共可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)5. 名師生站成一排照相留念，其中老師1人，男生4人，女生2人，在下列情況下，各自不同站法多少種？(1).兩名女生必須相鄰而站.(2).4名男生互不相鄰.(3).老師不站中間，女生不站兩端.(4).女生甲不站左端，女生乙不站右端.A66A22 =1440(捆綁法)A33A44 =144（插空法）（3）A77A55 A22 A66 +A44 =4104（間接法）（4）A77A66 A66 +A55 =3720（間接法） 隨機事件一、隨機試驗二、樣本空間與隨機事件三、事件間的

3、關(guān)系與運算一、隨機試驗研究現(xiàn)象：隨機現(xiàn)象：在一定條件下，可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果，我們預(yù)先無法斷言，這類現(xiàn)象成為隨機現(xiàn)象研究方式：隨機試驗EE1: 拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況；E2: 擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)；E3: 記錄110報警臺一天接到的報警次數(shù)；E4: 在一批燈泡中任意抽取一個，測試它的壽命；E5: 記錄某物理量的測量誤差； 上述試驗的特點：1.試驗的可重復(fù)性可在相同條件下重復(fù)進行； 2.一次試驗結(jié)果的隨機性一次試驗之前無法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)，但能確定所有的可能結(jié)果。3.全部試驗結(jié)果的可知性所有可能的結(jié)果是預(yù)先可知的。 在概率論中，將具有上述三個特點

4、的試驗成為隨機試驗，簡稱試驗。隨機試驗常用E表示。 ：隨機試驗的所有可能結(jié)果組成的集合 樣本空間w樣本點一般用 表示樣本點：即，隨機試驗的每個結(jié)果，中的元素，樣本空間W二、樣本空間與隨機事件下面分別寫出上述各試驗 所對應(yīng)的樣本空間隨機事件：簡稱事件。事件發(fā)生：該子集中的任意一個樣本點出現(xiàn)基本事件：僅包含一個樣本點的子集隨機試驗 有兩個基本事件 和 樣本空間的兩個特殊子集 它包含了試驗的所有可能的結(jié)果，所以在每次試驗中它總是發(fā)生，稱為必然事件 .它不包含任何樣本點，因此在每次試驗中都不發(fā)生,稱之為不可能事件 .三、事件間的關(guān)系與運算隨機試驗的E樣本空間W1、事件之間的關(guān)系(1)事件之間的包含（2

5、）和事件稱為個（3）積事件A=出現(xiàn)點數(shù)是不超過3B=出現(xiàn)點數(shù)是奇數(shù)AB=出現(xiàn)點數(shù)是1(4)差事件（5）互斥（互不相容）時發(fā)生（6）對立事件2、運算規(guī)律4.對偶律 注：這些運算規(guī)律可以推廣到任意多個事件上去 1.交換律2.結(jié)合律3.分配律例 設(shè)A、B、C表示三個事件，試以A，B，C的運算表示以下事件：（1）僅A發(fā)生；（2）A，B，C都發(fā)生；（3）A，B，C都不發(fā)生；（4）A，B，C恰有一個發(fā)生。解 隨機事件的概率一、古典概型二、概率的性質(zhì) 頻率與概率一、古典概型1試驗的樣本空間只含有有限個元素，即 2試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同，即 具有以上兩個特點的隨機試驗稱為古典概型。二、概率的性質(zhì)（

6、4） 可以推廣到多個事件的情形例如例 擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,求出現(xiàn)奇數(shù)點的概率。事件“出現(xiàn)奇數(shù)點”用A表示,則A=1,3,5,所含樣本點數(shù)r=3,從而解： 顯然樣本空間=1,2,3,4,5,6,樣本點總數(shù)n=6,例 設(shè)A,B為兩個隨機事件, P(A)=0.5, P(AUB)=0.8, P(AB)=0.3, 求P(B).解 由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),得 P(B)=P(AUB)-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6.例 袋中有5個白球3個黑球,從中任取兩個,試求取到的兩個球顏色相同的概率。解 從8個球中任意取兩個,共有 種取法,即基本事件總 數(shù) . 記A表示“

7、取到的兩個球顏色相同”,A包含兩種可能: 全是白球或全是黑球. 全是白球有 種取法,全是黑球有 種取法,由加法原理知,A的取法共 種, 即A包含的基本事件數(shù) r = 故 條件概率一、條件概率二、乘法公式三、事件的獨立性一、條件概率2、條件概率的計算方法：（1）利用古典概型直接計算（優(yōu)先考慮）（2）利用條件概率的定義二、乘法公式定理1 （乘法公式）則由歸納法可得：則由可得定義若三、 獨立性 1. 兩個事件的獨立性 定理1注：事件的獨立性與事件的互不相容是兩個完全不同的概念定義2利用數(shù)學(xué)歸納法，可把定理1推廣至有限多個事件的情形 2. 多個事件的獨立性例 一射手對一目標(biāo)獨立射擊4次,每次射擊的命中

8、率為0.8,求：（1）恰好命中兩次的概率；（2）至少命中一次的概率。解 因每次射擊是相互獨立的,故此問題可看做4重貝努力試驗,p=0.8,(1)設(shè)事件A2表示“4次射擊恰好命中兩次”,則所求的概率為(2)設(shè)事件B表示“4次射擊中至少命中一次”,有A0表示“4次射擊都未命中”,則故所求的概率為例 3人獨立地破譯一個密碼,他們能單獨譯出的概率分別為 1/5, 1/3, 1/4. 求此密碼被譯出的概率.解 設(shè)A,B,C分別表示3人能單獨譯出密碼，則所求概率為 P(ABC)，且A,B,C獨立，P(A)= 1/5 ，P(B)= 1/3 ，P(C)= 1/4.于是 隨機變量及其數(shù)字特征1.隨機變量的概念

9、定義 1 樣本空間為，如果對每一個樣本點，有一個實數(shù)X()與之對應(yīng)，這樣就得到一個定義在上的實值函數(shù)X=X()稱為隨機變量。隨機變量常用X,Y,Z,.或X1,X2 X3 ,.注意：隨機變量的取值隨著隨機試驗的結(jié)果而定。2. 離散型隨機變量及其分布律 定義2 若隨機變量X只能取有限多個或可列無限多個值，則稱X為離散型隨機變量。 定義3 X為離散型隨機變量，可能取值為x1, x2, , xk, 且 PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 則稱Pk為X的分布律或分布列或概率分布。Xx1 x2xkPkp1p2pk分布律也可用表格形式表示分布律Pk具有下列性質(zhì)： 反之，若一個數(shù)列Pk具有以上兩條性質(zhì)，

10、則它必可作為某離散型隨機變量的分布律。例 設(shè)離散型隨機變量X的分布律為X 0 1 2P 0.2 C 0.5求常數(shù)C.0.2 + C+ 0.5=1所以， C=0.3解：由分布律的性質(zhì)得例 袋子里有5個同樣大小的球，編號為1,2,3,4,5.從中同時取出3個球，記X為取出球的最大編號，求X的分布律.解：X的可能取值為3,4,5所以X的分布律X 3 4 5隨機變量的分布函數(shù) 定義 設(shè)X為隨機變量，稱函數(shù)為X的分布函數(shù)。當(dāng)X為離散型隨機變量時，設(shè)X的分布律為例 設(shè)離散型隨機變量X的分布律為 X -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.4求X的分布律。3.隨機變量的期望離散型隨機變量的期望:定

11、義1 設(shè)離散型隨機變量X的分布律為如果有限,定義X的數(shù)學(xué)期望PX=xk=pk , k=1,2,例1 設(shè)隨機變量X的分布律為 X -1 0 1 P 0.3 0.2 0.5求E(X).解 E(X)=(-1)0.3+0 0.2+1 0.5=0.2例2 甲乙兩人進行打靶,所得分數(shù)分別記為X,Y,它們的分布律分別為 X 0 1 2 P 0 0.2 0.8 Y 0 1 2 P 0.1 0.8 0.1試比較它們成績的好壞.解 分別計算X和Y的數(shù)學(xué)期望:E(X)=00.3+1 0.2+2 0.8=1.8(分)，E(Y)=00.1+1 0.8+2 0.1=1 (分). 這就意味著,如果進行多次射擊,甲所得分數(shù)的

12、平均值接近于1.8分,而乙得分的平均值接近1分.很明顯乙的成績遠不如甲.4.隨機變量的方差(1)方差的概念定義.說明：(1) 隨機變量X的方差D(X)即是X的函數(shù)(X-E(X)2的期望.(2) 當(dāng)隨機變量的取值相對集中在期望附件時,方差較小;取值相對分散時,方差較大,并且總有(2)方差的計算方法：解等 價 公 式第五章 空間解析幾何（數(shù)一）一、平面的點法式方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角一 平面及其方程一、平面的點法式方程1. 點法式方程（已知法向量）如果一非零向量垂直于一平面, 稱此向量為該平面的法線向量(法向量).定義設(shè)法向量平面的點法式方程為 及平面上的定點2. 點法式方程由平面的

13、點法式方程法向量二、平面的一般方程平面的一般方程設(shè)平面為將三點坐標(biāo)代入得解（其中 ， ， ）例 設(shè)平面與 三軸分別交于 、代入所設(shè)方程得平面方程的截距式設(shè)平面為由平面過原點知所求平面方程為解定義兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角. 三、兩平面的夾角（取銳角）兩平面夾角余弦公式：特別地，例4一平面通過兩點且垂直于平面 : x + y + z = 0, 求其方程 .和的法向量解 設(shè)所求平面兩平行平面間的距離：二 空間直線及其方程一、空間直線的各種方程二、線面間的位置關(guān)系一、空間直線的方程形式1. 空間直線的一般形式定義空間直線可看成兩平面的交線.空間直線的一般式方程.L(形式不唯一)(1)2.

14、對稱式點向式方程定義如果一非零向量平行于一條已知直線,稱此向量為該直線的方向向量.設(shè)一直線過 ， 其方向向量為的此直線方程為(2) 將一般方程轉(zhuǎn)化為對稱式方程(ii) 用消元法化為比例式; (i) 在直線上找一定點,再求出方向向量, 即寫出對稱式方程.二、線面間的位置關(guān)系1. 兩直線的夾角 則兩直線夾角 滿足設(shè)直線 L1, L2 的方向向量分別為 兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(取銳角)特別有:所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角；2.直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面不垂直,直線和它在平面上的投影直線設(shè)直線 L 的方向向量為 平面 的法向量為則直線與平面夾角 滿足/特別有:/解 取已知平面的法向量則

15、直線的對稱式方程為垂直的直線方程. 例 求過點(1,-2,4)且與平面為所求直線的 方向向量.一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面三、柱面 曲面及其方程一、曲面方程的概念定義:若曲面S與三元方程F (x, y, z) = 0 有如下關(guān)系:(1) S上任一點的坐標(biāo)都滿足方程F (x, y, z) =0;(2)坐標(biāo)滿足方程F (x, y, z) =0的點都在S上;方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面S叫做方程F (x, y, z) =0的圖形 .F (x, y, z) = 0 Sxyzo研究空間曲面有兩個基本問題：（2）已知曲面方程，研究曲面形狀（1）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面

16、方程曲面SF (x, y, z) =0(三元方程）1-1對應(yīng)故所求方程為例1 求動點到定點特別,當(dāng)M0在原點時,球面方程為解 設(shè)軌跡上動點為即依題意距離為 R 的軌跡方程. 表示上(下)球面 . M0 M例2 研究方程解 配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通過配方化成球面方程.表示怎樣的曲面.半徑為的球面.球心為 定義2 二、旋轉(zhuǎn)曲面 一條平面曲線繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該旋轉(zhuǎn)曲線稱為母線,定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸 .例如 母線旋轉(zhuǎn)軸例4.試建立頂點在原點, 旋轉(zhuǎn)軸為z 軸, 半頂角為的圓錐面方程. L解 在yoz面上直線L 的方程為繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為兩邊平方定義觀察柱面的形成過程:動直線 L 叫柱面的母線.三、柱面平行于定直線并沿定曲線 C 移動的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，母線準(zhǔn)線xyzo考慮方程 x2 + y2 = R 2 所表示的曲面.在xoy面上, x2 + y2 = R2 表示以原點O為圓心, 半徑為R的圓.曲面可以看作是由平行于 z 軸的直線 L 沿xoy面上的圓 x2 + y2 = R2 移動而形成, 稱該曲面為圓柱面.ol注意：在空間直角坐標(biāo)系，缺項方程（不完全方程）的圖形是柱面.圓柱面