數(shù)學(xué)相關(guān)微積分

1、上節(jié)內(nèi)容回顧一、 高斯公式注意Gauss公式的條件：1、 X,Y,Z在閉域V上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；2、 曲面S為封閉曲面；3、 曲面S取外側(cè)。 簡(jiǎn)化曲面積分的計(jì)算(非閉曲面時(shí)注意添加輔助面的技巧)(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)Gauss公式的實(shí)質(zhì)：揭示了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.注意：曲面的側(cè)；X,Y,Z; 高斯公式的條件。二、高斯公式的應(yīng)用思考1：所圍立體,判斷下列演算是否正確?(1)(2) 為注意Guass公式的條件，積分曲面方程！正確解法:思考2：09年考研題分析：理解高斯公式高斯公式對(duì)空間的單連通區(qū)域，復(fù)連通區(qū)域都成立。類似于格林公式解答：為此，需做封閉

2、曲面，將原點(diǎn)挖掉，在復(fù)連通區(qū)域上應(yīng)用高斯公式取外側(cè)由高斯公式，有取決于被積表達(dá)式！三、向量場(chǎng)的通量與散度1. 通量的定義:引例定義：若S為方向向外的閉曲面, 當(dāng) 0 時(shí),說(shuō)明流入S的流體質(zhì)量少于流出的, 當(dāng) 0 時(shí),說(shuō)明流入S的流體質(zhì)量多于流出的, 則單位時(shí)間通過(guò)S的通量為 當(dāng) = 0 時(shí),說(shuō)明流入與流出S的流體質(zhì)量相等 . 表明S內(nèi)有源; 表明S內(nèi)有洞 ;表明S內(nèi)無(wú)源。 2. 散度的定義:divergence散度的計(jì)算：積分中值定理,兩邊取極限,數(shù)量高斯公式可寫成表明該點(diǎn)處有正源, 表明該點(diǎn)處有負(fù)源, 表明該點(diǎn)處無(wú)源, 散度絕對(duì)值的大小反映了源的強(qiáng)度.若向量場(chǎng) A 處處有 , 則稱 A 為無(wú)

3、源場(chǎng). 說(shuō)明: 散度是通量對(duì)體積的變化率, 且例4解是無(wú)源場(chǎng)。通量與散度小結(jié)： 設(shè)向量場(chǎng)X,Y,Z, 在域V內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則 向量場(chǎng)通過(guò)有向曲面 的通量為 V 內(nèi)任意點(diǎn)處的散度為 數(shù)量第七節(jié) 斯托克斯公式與旋度一、斯托克斯公式二、環(huán)量與旋度一、斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式 是有向曲面 的正向邊界曲線右手法則證明略。注意：1 X,Y,Z在閉域V上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；2 曲線 為封閉曲線；提供了空間曲線積分的又一種計(jì)算方法！另一種形式便于記憶形式常用Stokes公式的實(shí)質(zhì): 表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系.斯托克斯公式格林公式特例解按斯托克斯公式, 有

4、或轉(zhuǎn)化為第一類曲面積分：解2直接計(jì)算在AB上：由輪換對(duì)稱性，有解則即用斯托克斯(stokes)公式計(jì)算曲線積分時(shí)，注意曲面的選取，使曲面上的積分易于計(jì)算；通常選?。浩矫妫蛎娴?。二、環(huán)量與旋度L為場(chǎng)中的閉曲線，則稱曲線積分由斯托克斯公式及兩類曲面積分的關(guān)系，有向量rotation由此，斯托克斯公式的向量形式例3解場(chǎng)論中概念比較：通量，散度，環(huán)量，旋度對(duì)數(shù)量場(chǎng)對(duì)向量場(chǎng)方向?qū)?shù)：梯度：方向?qū)?shù)，梯度通量：散度：環(huán)量：旋度：例4(1)用對(duì)面積的曲面積分計(jì)算I;(2)用對(duì)坐標(biāo)的曲面積分計(jì)算I;(3)用Gauss公式計(jì)算I;(4)用斯托克斯公式計(jì)算I.解（1）（2）（3）添加輔助面：（4）由斯托克斯公式，有或由格林公式作業(yè)P209 3(2)（3）P213 1(2)(4)(5) 3 內(nèi)容小結(jié)1. 斯托克斯公式注意三點(diǎn)，曲面的選?。榭臻g曲線積分的計(jì)算又提供了一種方法！常用形式！2. 場(chǎng)論中的三個(gè)重要概念設(shè) 梯度:散度:旋度:則 思考題 設(shè)