2023動點最值問題解法探析1

1、動點最值問題解法探析一、問題原型：如圖1-1，要在燃氣管道上修建一個泵站，分別向、兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？這個“確定最短路線問題，是一個利用軸對稱解決極值的經(jīng)典問題。解這類問題二、根本解法：對稱共線法。利用軸對稱變換，將線路中各線段映射到同一直線上線路長度不變，確定動點位置，計算線路最短長度。三、一般結(jié)論：(在線段上時取等號)如圖1-2線段和最小，常見有三種類型：一“|定動|+|定動|型：兩定點到一動點的距離和最小通過軸對稱，將動點所在直線同側(cè)的兩個定點中的其中一個，映射到直線的另一側(cè)，當動點在這個定點的對稱點及另一定點的線段上時，由“兩點之間線段最短可知線段

2、和的最小值，最小值為定點線段的長。1.兩個定點+一個動點。如圖1-3，作一定點關(guān)于動點所在直線的對稱點，線段是另一定點與的交點即為距離和最小時動點位置，最小距離和。例12006年河南省中考題如圖2，正方形的邊長為，是的中點，是對角線上一動點，那么的最小值是。解析：與關(guān)于直線對稱，連結(jié)，那么。連結(jié),在中，那么故的最小值為例22023年濟南市中考題如圖3，：拋物線的對稱軸為，與軸交于、兩點，與軸交于點，其中，。1求這條拋物線的函數(shù)表達式；2在對稱軸上存在一點，使得的周長最小，請求出點的坐標。解析：1對稱軸為，由對稱性可知：。根據(jù)、三點坐標，利用待定系數(shù)法，可求得拋物線為：2與關(guān)于對稱軸對稱，連結(jié)，

3、與對稱軸交點即為所求點。設直線解析式為：。把、代入得，。當時，那么2.兩個定點+兩個動點。兩動點，其中一個隨另一個動一個主動，一個從動，并且兩動點間的距離保持不變。用平移方法，可把兩動點變成一個動點，轉(zhuǎn)化為“兩個定點和一個動點類型來解。例3如圖4，河岸兩側(cè)有、兩個村莊，為了村民出行方便，方案在河上修一座橋，橋修在何處才能兩村村民來往路程最短？解析：設橋端兩動點為、，那么點隨點而動，等于河寬，且垂直于河岸。將向上平移河寬長到，線段與河北岸線的交點即為橋端點位置。四邊形為平行四邊形，此時值最小。那么來往、兩村最短路程為：。例4(2023年天津市中考)在平面角坐標系中，矩形的頂點在坐標原點，頂點、分

4、別在軸、軸的正半軸上，為邊的中點。1假設為邊上的一個動點，當?shù)闹荛L最小時，求點的坐標；2假設，為邊上的兩個動點，且，當四邊形的周長最小時，求點，的坐標。解析：作點關(guān)于軸的對稱點，那么，。1連接交軸于點，連接，此時的周長最小。由可知，那么，那么。2將向左平移2個單位到點，定點、分別到動點、的距離和等于為定點、到動點的距離和，即。從而把“兩個定點和兩個動點類問題轉(zhuǎn)化成“兩個定點和一個動點類型。在上截取，連接交軸于，四邊形為平行四邊形，。此時值最小，那么四邊形的周長最小。由、可求直線解析式為，當時，即，那么。也可以用1中相似的方法求坐標二“|動定|+|動動|型：兩動點分別在兩條直線上獨立運動，一動點

5、分別到一定點和另一動點的距離和最小。利用軸對稱變換，使一動點在另一動點的對稱點與定點的線段上兩點之間線段最短，且這條線段垂直于另一動點的對稱點所在直線連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短時，兩線段和最小，最小值等于這條垂線段的長。例52023年陜西省中考如圖6，在銳角中，的平分線交于點，、分別是和上的動點，那么的最小值為 4 。解析：角平分線所在直線是角的對稱軸，上動點關(guān)于的對稱點在上，當時，最小。作于，交于，作交于，例6如圖7，四邊形是等腰梯形，、在軸上，在軸上，拋物線過、兩點。1求、；2設是軸上方拋物線上的一動點，它到軸與軸的距離之和為，求的最大值；3當2中點運動到使取最大值

6、時，此時記點為，設線段與軸交于點，為線段上一動點，求到點與到軸的距離之和的最小值，并求此時點的坐標。解析：1由，可得：、；根據(jù)、的坐標可求出拋物線解析式為2設，且，那么，用零點分段法可求得，。當時，。此時，那么。3軸與直線關(guān)于對稱，作軸于，動點關(guān)于的對稱點在直線上，當垂直于直線時，的值最小。，根據(jù)和可求直線的解析式，那么有。由可知，。作，過點作軸的平行線，交于，那么。作于，那么，當是于的交點時，與重合，有最小值5。函數(shù)，此時，那么，即。3.“|定動|+|動動|+|動定|型：兩定點到兩動點的距離、以及兩動之間距離和最小。例72023年漳州中考如圖8，是內(nèi)一點，、分別是和上的動點，求周長的最小值。

7、解析：分別作關(guān)于、的對稱點、，連接，那么，當、在線段上時，周長最小，。那么周長的最小值為例8高速公路與滬渝高速公路垂直，如圖9建立直角坐標系。著名的恩施大峽谷和世界級自然保護區(qū)星斗山位于兩高速公路同側(cè)，到直線的距離為，到直線和的距離分別為和。請你在旁和旁各修建一效勞區(qū)、，使、組成的四邊形的周長最小，并求出這個最小值。解析：作點關(guān)于軸的對稱點，點關(guān)于軸的對稱點，連接，。當、在線段上時，最小。過、分別作軸、軸的平行線交于。在中，交軸于，交軸于。，而四邊形的周長最小值為：線段和的最值與定值問題初探學生常常找不到解題的突破口，此類試題往往同根而異形，利用兩個“典型題例進行“發(fā)散式的概括和引申，是解決此

8、類問題的一個捷徑。 所謂“典型題例，就是某些題例雖然不是幾何公理或定理，卻可以舉一反三地運用于其他相關(guān)的系列問題的解答。下面就“線段和的最值與定值問題，運用兩個“典型題例的源命題進行探討。 一、關(guān)于線段和的最小值 源命題北師大版七年級下冊P228 第七章習題7.3“問題解決第2 題： 如圖1 所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應建在什么地方，才能使從A、B 到它的距離之和最短？ 此題的解答是：作出點B 的軸對稱點B1，連接AB1 交直線l于點P，那么點P為所求的奶站位置。 利用這一題例的結(jié)論，可以解決一些同根異形關(guān)聯(lián)題，下面試舉幾例： 【關(guān)聯(lián)題1】2023 年湖北荊門市

9、中考題 如圖2，菱形ABCD 的兩條對角線分別長6 和8，點P是對角線AC 上的一個動點，點M、N 分別是邊AB、BC 的中點，那么PM+PN 的最小值是_ 析解：利用菱形的對稱性，在AD 上找出點M 關(guān)于AC 的對稱點M即AD 的中點，連結(jié)MN交AC 于P，那么PM+PN 的最小值為線段MN 的長，而M、N 分別為邊AD、BC 的中點，故MN 的長等于菱形的邊長5。 【關(guān)聯(lián)題2】2007 年樂山市中考題如圖3，MN 是O的直徑，MN=2，點A 在O 上，AMN=30，B 為弧AN 的中點，P是直徑MN 上一動點，那么PA+PB 的最小值為 析解：連結(jié)OA，由AMN=30得AON=60，取點B

10、 關(guān)于MN 的對稱點B，中國教育文庫: china-連結(jié)OB、AB，AB交MN 于點P，那么AB的長為PA+PB 的最小值，且易知AOB=90，即AOB為等腰Rt，故 。 【關(guān)聯(lián)題3】2023 年湖北黃石市中考題 如圖4，在等腰ABC 中，ABC=120，點P 是底邊AC 上一個動點，M、N 分別是AB、BC 的中點，假設PM+PN 的最小值為2，那么ABC 的周長是 析解：把等腰ABC 沿AC 翻折可得一菱形，由上面【關(guān)聯(lián)題1】的解答可知，PM+PN 的最小值就是菱形的邊AB 的長，故AB=2，由AB=BC=2，ABC=120易求得 ，因此ABC 的周長是( )。 【關(guān)聯(lián)題4】威海市2023

11、 年中考題 如圖5，在直角坐標系中，點A，B，C 的坐標分別為-1，0，3，0，0，3，過A，B，C 三點的拋物線的對稱軸為直線l，D 為對稱軸上l 一動點，(1)求拋物線的解析式； (2)求當AD+CD 最小時點D 的坐標； (3) 以點A 為圓心，以AD 為半徑作A，證明：當AD+CD 最小時，直線BD 與A 相切。 寫出直線BD 與A 相切時，D 點的另一個坐標。 析解：1可設y=a(x+1)(x-3)，再代入點C 坐標，即可求得y=-x2+2x+3。 2利用點A、B 關(guān)于直線l：x=1 對稱，連結(jié)BC 交l 于D，那么此時AD+CD 取得最小值；設l與x軸交點為E，由BEDBOC 可求

12、得DE=2，BD=2姨2 =AD，所以D 的坐標為(1，2)。 3如圖6,連結(jié)AD，由點A、B、D、E 的坐標易知ADE 和BDE 均為等腰Rt，故ADE=BDE=45所以ADB=90，所以直線BD 與A 相切。 由對稱性知點D 的另一個坐標是1，-2。 上述源命題還可作進一步引申： 【引申題】小明在某景區(qū)游玩，他打算從景點A 到河邊直線l走一段長度為線段a再到景點B，怎么走最近？ 析解：如圖7，此題的關(guān)鍵是確定直線l 上的兩點D、E，因DE=a 為定長，故只需AE+BD 為最小即可；作線段ACl且AC=a，作點C 關(guān)于直線l 的軸對稱點C，連接CB 交直線l 于點D，在直線l 上截取DE=a

13、，連接AE，那么小明應走的路線是AEEDDB。理由是：連接CD，那么CD=AE=CD，因DE=a 為定長， 故只須AE+BD(=CD+BD)最小即可。 【關(guān)聯(lián)題1】平面直角坐標系內(nèi)兩點A2，-3，B4，-1,(1)假設Ca，0，Da+3，0,是x 軸上的兩個動點，那么當a=_時，四邊形ABCD的周長最短。 2設M、N 分別為x 軸和y 軸上的動點，是否存在這樣的點Mm，0，N0，n, 使四邊形ABMN 的周長最短？假設存在，請求出m、n 的值；假設不存在，請說明理由。 析解：1如圖8，此題中AB 和CDa+3-a=3均為定長，故只需AC+BD 取最小值即可； 平移點A 到A1，使AA1=CD=

14、3，作點A1關(guān)于x 軸的對稱點A2，連結(jié)A2B 交x 軸于D，作ACA1D 交x軸于點C，由上述“引申題結(jié)論知此時AC+BD 取得最小值；求得直線A2B 的解析式為y=4x-17，可得 2如圖9，此題中AB 為定長，分別作點A、B 關(guān)于y軸、x 軸點對稱點A1、B1，連接A1B1 交x 軸于M，交y軸于N，那么根據(jù)上述“源命題的結(jié)論，M、N 為所求的點；易得直線A1B1的解析式為 ，令y=0 得 二、關(guān)于線段和為定值問題 關(guān)于線段和為定值問題，可由一個較經(jīng)典的源命題進行引申發(fā)散。 源命題：來自馬復?主編講堂中考沖刺?P123等腰三角形底邊上一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高。如圖，點P 是等腰

15、ABC 的底邊BC 上一點，PFAB 于F，PGAC 于G，BDAC 于D；求證：PF+PG=BD。 此題的證明主要有“截長補短法和“面積法，略證如下： 略證一：如圖10，作PEBD 于E，那么四邊形PEDG 是矩形，所以PG=ED；易證PBFBPE，所以PF=BE，所以PF+PG=BD。 略證二：如圖11，連結(jié)AP，點P 到兩腰的距離分別為r1，r2，腰上的高為h，那么有SABP+SACP=SABC，即12ABr1+12ACr2= 12ACh，所以r1+r2=h定值。 利用這一題例的結(jié)論，可以解決一些同根異形關(guān)聯(lián)題，下面試舉幾例： 【關(guān)聯(lián)題1】如圖12 在矩形ABCD 中，對角線AC、BD

16、交于點O，點P 為BC 邊上一動點，過點P 作PEBD 于E，PFAC 于F，AB=3,BC=4，求PE+PF的值。 析解：依矩形性質(zhì)可知OBC 為等腰，P 是其底邊上一點，作CHBD 于H，應用源命題結(jié)論得PE+PF=CH=2.4。 【關(guān)聯(lián)題2】2023 年佳木斯市中考題如圖13，將矩形紙片ABCD 沿其對角線AC 折疊，使點B 落到點B的位置，AB與CD交于點E。 1試找出一個與AED 全等的三角形，并加以證明； 2假設AB=8，DE=3，P為線段AC 上任意一點，PGAE 于G，PHEC 于H。試求PG+PH 的值，并說明理由。 析解：1AEDCEB (證明略)；2由1知AE=CE，即A

17、EC 為等腰，且ADCD 于D，應用源命題結(jié)論可得PG+PH=AD， 因為AB=CD=8，DE=3， 所以CE=AE=5，所以AD=4=PG+PH。 三、理解與應用 如圖14，在邊長為3 的正方形ABCD 中，點E 為對角線BD 上的一點，且BE=BC，F(xiàn) 為CE 上一點，F(xiàn)MBC 于M，F(xiàn)NBD 于N，試利用上述結(jié)論求出FM+FN 的長。 析解：依題意，F(xiàn) 為等腰EBC 底邊EC 上一點,連結(jié)AC 交BD 于O，那么ACBD 于O，且AC=3 ，應用源命題結(jié)論可得 。例談求線段和的最小值問題平面幾何中線段和的最小值問題是初中學生較難解決的問題之一，也是棘手問題。筆者就這個問題瀏覽了05年度全

18、國局部省市的有關(guān)中考試題，本文下面將結(jié)合中考試題為例予以剖析，供參考。一、以正方形為載體，求線段和的最小值例1. 如圖1，四邊形ABCD是正方形，邊長是4，E是BC上一點，且CE1，P是對角線BD上任一點，那么PEPC的最小值是_。圖1分析：由于BD是正方形ABCD的對角線，連接AP，易證ADPCDP，所以PAPC，此時求PEPC的最小值就轉(zhuǎn)化為求PAPE的最小值，連接AE，在PAE中，因為PAPE以AE，故當點P為A與BD的交點時即當A、P、E三點共線時，PAPE的最小值為AE，由勾股定理可求AE，所求問題可解。解：連接PA，BD為正方形ABCD的對角線ADCD，ADPCDP又DPDP，AD

19、PCDPPAPC連接AECE1，BE3在RtABE中，根據(jù)三角形中兩邊的和大于第三邊可知，當P為AE與BD的交點時，PAPE的最小值為AE，即PAPEAE，PAPE5，即PEPC5，PEPC的最小值為5僅當A、P、E三點共線時取等號。例2. 如圖2，正方形ABCD的邊長為8，點E、F分別在AB、BC上，AE3，CF1，P是對角線AC上的一個動點，那么PEPF的最小值是圖2A. B. C. D. 分析：因為動點P在正方形ABCD的對角線AC上，在AD邊上取點G，并截取AEAG，易證PGAPEA，所以PGPE，所求PEPF的最小值就轉(zhuǎn)化為求PGPF的最小值，連接FG，在PFG中，PGPF的最小值就

20、是FG僅當F、P、G三點共線時取得最小值。解：在AD邊上取點G，并截取AGAE，連接PGAC是正方形ABCD的對角線PAGPAE，又APAPPAGPAE，PGPE連接FG，過點G作GHBC，垂足為HAGAE3，而四邊形ABHG為矩形，BHAG3，GHAB8又CF1，HC5，HF514在RtFHG中，由勾股定理，得在PFG中，PGPFGF僅當F、P、G三點共線時取等號，即PEPF的最小值為故應選D。二、以菱形為載體，求線段和的最小值例3. 05，南充如圖3，點P是邊長為1的菱形ABCD對角線AC上一個動點，M、N分別是AB，BC邊上的中點，PMPN的最小值是圖3A. 2 B. 1 C. D. 分析：因為動點P在菱形ABCD的對角線AC上，取CD邊的中點G，連接PG，那么易證PCGPCN，從而PGPN，因此求PMPN的最小值就轉(zhuǎn)化為求PMPG的最小值，連接MG，在PMG中，PMPG的最小值就是MG，即PMPGMG僅當M、P、G三點共線時取得最小值。解：取CD的中點G，連接PGAC是菱形ABCD的對角線P