直線與圓的位置關(guān)系-完整版PPT

1、2.3直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系第1課時直線與圓的位置關(guān)系問題引航1.平面幾何中學(xué)過的直線與圓的位置關(guān)系有幾種？2.如何判斷直線與圓的位置關(guān)系？直線與圓的位置關(guān)系及判斷直線Ax+By+C=0(A2+B20)，圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)(1)直線與圓有三種位置關(guān)系：直線與圓_，有兩個公共點.直線與圓_，有一個公共點.直線與圓_，沒有公共點.相交相切相離(2)判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法：幾何法：利用圓心到直線的距離d與半徑r的大小判斷：_相交，_相切，_相離.代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程，消元轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式“”進行判斷：_相交，_相切，_相離.dr0=001.判

2、一判(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)過一點作圓的切線有一條.()(2)如果一條直線被圓截得的弦長最大，則該直線過圓心.()(3)直線ax+y=1與圓x2+(y-1)2=1的位置關(guān)系與a有關(guān).()【解析】(1)錯誤，當點在圓上時，切線有一條；當點在圓外時，切線有兩條，當點在圓內(nèi)時，無切線.(2)正確.直線被圓截，所得最長弦為直徑.(3)錯誤.直線ax+y=1過定點(0，1)，即直線一定過圓心，所以直線一定與圓相交，與a的值無關(guān).答案：(1)(2)(3)2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)直線x+y=1與圓(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是_.(2)圓x2+y2=r2與直線x+

3、y=1相切，則r的取值是_.(3)直線l：x+y=a過原點，則l與圓(x-1)2+y2=2的位置關(guān)系是_.【解析】(1)圓心為(1，1)，半徑為1，圓心到直線x+y=1的距離為 所以直線與圓相交.答案：相交(2)因為圓與直線相切，所以圓心(0，0)到x+y=1的距離d=|r|，所以 所以 所以r的取值是 答案：(3)因為x+y=a過原點，所以a=0，所以直線方程為x+y=0，圓心(1，0)到直線x+y=0的距離為 所以直線與圓相交.答案：相交【要點探究】知識點1 直線與圓的位置關(guān)系對直線與圓的位置關(guān)系的兩點說明(1)直線與圓的位置關(guān)系可以按照由遠及近的順序記憶：相離(沒有公共點)相切(只有一個

4、公共點)相交(兩個公共點).(2)直線與圓的位置關(guān)系用圖形可以表示為【微思考】(1)直線與圓會不會有兩個以上的交點？提示：不會，直線與圓最多有兩個交點.(2)直線如果過圓內(nèi)一點，也過圓外一點，是否直線與圓一定有交點？提示：一定有.因為直線與圓在同一平面內(nèi)且過圓內(nèi)一點，所以直線與圓一定有交點.【即時練】1.如果圓(x-1)2+(y-1)2=a2與兩坐標軸恰有兩個交點，那么a的取值為_.2.圓x2+2x+y2=0與直線y=x+b沒有交點，則b的取值范圍是_.【解析】1.因為(x-1)2+(y-1)2=a2與兩坐標軸恰有兩個交點，所以圓與坐標軸相切，所以|a|=1，a=1.答案：12.圓x2+2x+

5、y2=0可化為(x+1)2+y2=1，圓心為(-1，0)，半徑r=1.如圖當直線y=x+b與圓相切時，兩條直線分別交x軸于點A，B，則A( -1，0)，B(-1- ，0)，所以直線與圓沒有公共點時，b +1.答案：(-，- +1)( +1，+)知識點2 圓的切線1.切線條數(shù)已知一點求切線時，先明確切線的條數(shù).當已知點是圓上一點時，切線有一條.當已知點是圓外一點時，切線有兩條.當已知點是圓內(nèi)一點時，不存在切線.2.切線方程求法求切線方程有兩種方法：一是代數(shù)法，通過令一元二次方程判別式等于零求解；二是幾何法，利用圓心到直線的距離等于半徑求解.【微思考】(1)當直線與圓相切時，圓心O到直線l的距離d

6、，與半徑r有什么數(shù)量關(guān)系？提示：d=r.(2)設(shè)切線長為|PQ|(Q為切點)，P到圓心的距離為|PO|，圓的半徑為r，則三者之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？提示：|PO|2=|PQ|2+r2.【即時練】1.圓(x-2)2+y2=1與直線x=a相切，則a=_.2.過點(1，1)的圓x2+y2=1的切線方程為_.【解析】1.由題意知|2-a|=1，a=1或a=3.答案：1，32.由圖知切線方程為x=1，y=1.答案：x=1，y=1【題型示范】類型一 直線與圓的位置關(guān)系問題【典例1】 (1)直線x+y+1=0與圓(x-1)2+y2=2的位置關(guān)系是()A.相交 B.相離 C.相切 D.不能確定(2)已知圓的方程

7、是x2+y2=1，直線y=x+b.當b為何值時，圓與直線只有一個公共點；圓與直線有兩個公共點；圓與直線沒有公共點.【解題探究】1.題(1)中圓心坐標和半徑分別是多少？圓心到直線的距離用什么公式求解？2.在題(2)中，圓與直線有兩個公共點，需滿足什么條件？【探究提示】1.根據(jù)圓的方程可知圓心坐標為(1，0)，半徑為 ，圓心到直線的距離用點到直線的距離公式 求解.2.直線與圓有兩個公共點，直線與圓需相交即圓心到直線的距離小于半徑，或聯(lián)立直線和圓的方程，得到關(guān)于x的一元二次方程，其判別式大于0.【自主解答】(1)選C.圓(x-1)2+y2=2的圓心為(1，0)，半徑為 ，所以圓心(1，0)到直線的距

8、離為 所以直線與圓相切，故選C.(2)方法一：圓x2+y2=1的圓心(0，0)到直線l：y=x+b的距離d= ，圓的半徑為r=1.當d= =1，即b= 時，直線與圓相切，此時直線與圓只有一個公共點.當d= 1，即- b1，即b 時，直線與圓相離，此時直線與圓沒有公共點.方法二：聯(lián)立直線和圓的方程組成方程組：整理可得2x2+2bx+b2-1=0，其中=4(2-b2).當=0，即b= 時，直線和圓相切，此時直線和圓只有一個公共點.當0，即- b 時，直線和圓相交，此時直線和圓有兩個公共點.當0，即b 時，直線和圓相離，此時直線和圓沒有公共點.【方法技巧】直線與圓位置關(guān)系的兩種判斷方法比較(1)若直

9、線和圓的方程已知或圓心到直線的距離易表達，則利用幾何法較簡單.(2)若直線或圓的方程中含有參數(shù)，且圓心到直線的距離較復(fù)雜，則用代數(shù)法較簡單.【變式訓(xùn)練】(2014西城區(qū)高一檢測)在同一坐標系下，直線ax+by=ab和圓(x-a)2+(y-b)2=r2(ab0，r0)的圖象可能是()【解析】選D.直線ax+by=ab在x軸，y軸上的截距分別為b和a，圓心橫坐標為a，縱坐標為b.在A中，由直線位置可得b0，這不可能，故A不正確.在B中，由直線位置可得a0，而由圓的位置可得a0，而由圓的位置可得a0，b0，br，因此，圓與AB相離.(2)當r=2.4cm時，有d=r，因此，圓與AB相切.(3)當r=

10、3cm時，有d0，所以m=2.(2)方法一：設(shè)直線的方程為y=x+m，即x-y+m=0.圓(x-2)2+(y-3)2=8的圓心坐標為(2，3)，半徑為2 .由 得m=5或m=-3.所以直線方程為y=x+5或y=x-3.方法二：設(shè)直線的方程為y=x+m，與圓的方程聯(lián)立得方程組消去y得2x2+(2m-10)x+m2-6m+5=0，由直線與圓相切，=(2m-10)2-8(m2-6m+5)=0，即m2-2m-15=0，解得m=5或m=-3，所以直線的方程為y=x+5或y=x-3.答案：y=x+5或y=x-3(3)由于(2-1)2+(4+3)2=501，故點M在圓外.當切線斜率存在時，設(shè)切線方程是y-4

11、=k(x-2)，即kx-y+4-2k=0，由于直線與圓相切，故 解得k= ，所以切線方程為24x-7y-20=0.又當切線斜率不存在時，直線x=2與圓相切.綜上所述，所求切線方程為24x-7y-20=0或x=2.【延伸探究】題(3)中，若所給點M的坐標是(1，-4)，求切線方程.【解析】由于(1-1)2+(-4+3)2=1，故點(1，-4)在圓上，又圓心為(1，-3)，所以切線斜率為0，所以切線方程為y=-4，即y+4=0.【方法技巧】圓的切線的求法(1)點在圓上時：求過圓上一點(x0，y0)的圓的切線方程：先求切點與圓心連線的斜率k，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為- ，由點斜式可得切線方程.如果

12、切點與圓心連線的斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程為x=x0或y=y0.(2)點在圓外時：幾何法：設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0).由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，也就得切線方程.代數(shù)法：設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0)，與圓的方程聯(lián)立，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，由=0求出k，可得切線方程.還應(yīng)注意切線斜率不存在的情況.【變式訓(xùn)練】(2013天津高考)已知過點P(2，2)的直線與圓(x-1)2+y2=5相切，且與直線ax-y+1=0垂直，則a=()A.- B.1 C.2 D.【解題指南】根據(jù)圓的切線的性質(zhì)確定切線的斜率，再由兩直線垂直求a的值.【解析】選C.因為點

13、P(2，2)為圓(x-1)2+y2=5上的點，由圓的切線性質(zhì)可知，圓心(1，0)與點P(2，2)的連線與過點P(2，2)的切線垂直.因為圓心(1，0)與點P(2，2)的連線的斜率k=2，故過點P(2，2)的切線斜率為- ，所以直線ax-y+1=0的斜率為2，因此a=2.【補償訓(xùn)練】已知圓(x-2)2+(y-3)2=1，求該圓與在x軸和y軸的截距相等的切線l的方程.【解析】由題意設(shè)切線l與x軸和y軸的截距均為a，當a0時，設(shè)l的方程為 即x+y-a=0，因為直線l和圓相切，所以圓心(2，3)到直線l的距離等于圓的半徑長，故 解得a=5+ 或a=5- .所以切線l的方程為x+y-(5+ )=0或x

14、+y-(5- )=0，當a=0時，設(shè)l的方程為y=kx，即kx-y=0，所以 解得所以切線l的方程為(6+2 )x-3y=0或(6-2 )x-3y=0.綜上所述，切線l的方程為x+y-(5+ )=0或x+y-(5- )=0或(6+2 )x-3y=0或(6-2 )x-3y=0.【規(guī)范解答】直線與圓的位置關(guān)系的綜合問題【典例】(12分)(2014南京高一檢測)在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2+y2=4上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1，求實數(shù)c的取值范圍.【審題】抓信息，找思路【解題】明步驟，得高分【點題】警誤區(qū)，促提升失分點1：處不能將問題正確轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致問題無法求解.失分點2：點到直線的距離公式應(yīng)用不準確，不能得出處不等式.失分點3：不能正確解出不等式的解，導(dǎo)致處解的結(jié)果出錯.【悟題】提措施，導(dǎo)方向1.注重數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用在解決直線與圓的問題時，利用數(shù)形結(jié)合和平面幾何的性質(zhì)，可使問題簡便易求.如本例將圓上四個點到直線的距離問題轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離問題，明確了思路，簡化了運算.2.關(guān)注解題條件的分析與轉(zhuǎn)化解答本題的突破口在于圓上恰有三個點到直線距離等于1的位置的確定，此時圓心到直線的距離也為1，結(jié)合圖形分析可知所求問題可轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離小于1，所以找準問