運(yùn)用公式法分解因式 詳細(xì)版課件

1、運(yùn)用公式法分解因式（一）授課人熊東旭復(fù)習(xí)提問(wèn)1.什么是因式分解？與整式乘法有何聯(lián)系？2.整式乘法公式有哪些？平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2 ; (a-b)2=a2-2ab+b2因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)因式乘積的形式。它與整式乘法是互逆的關(guān)系。 既然整式乘法與因式分解是互逆的過(guò)程，那么乘法公式除了可以進(jìn)行整式乘法外，還可以把乘法公式從右向左用，就可以用來(lái)把某些符合條件的多項(xiàng)式分解因式。這種把多項(xiàng)式因式分解的方法叫做運(yùn)用公式法。1.3 公式法1.平方差公式把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反過(guò)來(lái)寫成平方差公式a2-b2=(a+b

2、)(a-b)就得到了因式分解的平方差公式平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)語(yǔ)言敘述：兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積。 公式特征：公式左邊是兩個(gè)數(shù)的平方差，右邊是兩個(gè)因式乘積的形式，這兩個(gè)因式分別為這兩個(gè)數(shù)的和及這兩個(gè)數(shù)的差，利用這個(gè)公式可以把具有平方差特征的多項(xiàng)式分解因式。例1.把多項(xiàng)式 x2-16 及 9m2-4m2 分解因式分析：這兩個(gè)多項(xiàng)式都不能用提取公因式法分解因式，但卻都符合平方差公式的形式。x2 16 = x2 42 = (x + 4)( x - 4)a2 - b2 = (a + b)( a - b)9m2 4m2 =(3m)2-(2n)2=(3m+2

3、n)(3m-2n)a2 - b2 = (a + b) (a - b)請(qǐng)同學(xué)們思考例2.把下列各式因式分解1) 1-49m22) a2b2-c21) 1 - 49m2=12 - (7m)2=(1 + 7m)(1 - 7m)2) a2b2 - c2=(ab)2 - c2=(ab + c)(ab - c)請(qǐng)同學(xué)們思考課堂練習(xí)：1. 把下列各式因式分解：(1) a2 - 4b2(2) 36 - m2(3) -4 + x2(4)64x2 - 9y4z6(5)25a2n - 1答案：( 1 ) a2 - 4b2= a2 - (2b)2= (a + 2b)(a - 2b)( 2 ) 36 -m2= 62 -

4、 m2= (6 + m)(6 - m)( 3 ) - 4 + x2= x2 - 4= x2 - 22= (x + 2)(x - 2)或 - 4 + x2= - (4 - x2)= - (22 - x2)= - (2 + x)(2 - x)( 4 ) 64x2 9y4z6=(8x2)2 - (3y2z3)2=(8x2 + 3y2z3)(8x2 - 3y2z3)( 5 ) 25a2n 1=(5an)2 - 12=(5an + 1)(5an - 1)請(qǐng)同學(xué)們做一做2.下列各多項(xiàng)式是否可用平方差公式因式分解？如果可以，請(qǐng)把它因式分解；不可以，說(shuō)明理由。(1) x2 + y2(2) x2 - y2(3)

5、 x2 + y2(4) x2 - y2答案(1),(4)不可以用平方差公式分解因式。(2) x2 - y2=(x + y)(x - y)(3) -x2 + y2=y2 - x2=(y + x)(y - x)注：能用平方差公式分解因式的多項(xiàng)式應(yīng)滿足條件：(1) 式子可以分為兩部分；(2) 這兩部分可寫成整式（數(shù)）的平方形式；(3) 兩部分符號(hào)必須相反。請(qǐng)同學(xué)們思考例3把下列各式因式分解：(1)(x + p)2 - (x + q)2(2)16(a - b)2 - 9(a + b)2(1) 分析：把x + p看成a,把x + q看成b.并且這兩部分符號(hào)相反，可利用平方差公式。解: (x + p)2

6、- (x + q)2 =(x + p) + (x + q) (x + p) - (x + q) =(2x + p + q)(p - q)(2) 分析：把16(a - b)2 = 4(a - b)2, 9(a + b)2 = 3(a + b)2 可以利用公式了。解：16(a - b)2 - 9(a + b)2 =4(a - b)2 - 3(a + b)2 =4(a - b) + 3(a + b) 4(a - b) - 3(a + b) =(4a - 4b + 3a + 3b)(4a - 4b - 3a - 3b) =(7a - b)(a - 7b)請(qǐng)同學(xué)們思考課堂練習(xí)：3. 把下列各式因式分解。

7、 (1) (x+y)2 - 100(2) a2 + (b + c)2 (3) 49(m + n)2 - (3m - n)2答案：(1) (x + y)2 - 100=(x + y)2 - 102=(x + y + 10)(x + y - 10)(2) a2 + (b + c)2=(b + c)2 - a2=(b + c + a)(b + c - a)(3) 49(m + n)2 - (3m - n)2=7(m + n)2 - (3m - 2n)2=7(m + n) - (3m - n)7(m + n) + (3m - n)=(7m + 7n - 3m + n)(7m + 7n + 3m - n

8、)=(4m + 8n)(10m + 6n)=4 (m + 2n) 2 (5m + 3n)=8(m + 2n)(5m + 3n)請(qǐng)同學(xué)們做一做例4. 把下列各式因式分解： (1) x5-x3(2) x4-y4分析：此題不能直接用平方差公式，但經(jīng)過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)兩項(xiàng)之間有公因式。先提公因式，再用平方差公式。解：(1)x5-x3=x3(x2-1) =x3(x+1)(x-1)注意：(1)當(dāng)多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式時(shí)，應(yīng)先提取公因式然后再考慮用公式。 (2) x4-y4=(x2)2-(y2)2 =(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y)注意：(2) 每個(gè)因式都要分解到不能再分為止。請(qǐng)同學(xué)們

9、思考課堂練習(xí)：4. 把下列各式因式分解：(1) 2ab3 - 2ab(2)x3 - 16x(3) a - a5解：(1)2ab2 - 2ab=2ab(b2 - 1)=2ab(b + 1)(b - 1)(2) x3 - 16x=x(x2 - 16)=x(x + 4)(x - 4)(3) a - a5=a(1 - a4) =a(1 + a2)(1 - a2) =a(1 + a2)(1 + a)(1 - a)請(qǐng)同學(xué)們做一做例5 利用平方差公式完成以下計(jì)算：(1) 652-352(2) 已知：x+y=2,x-y=3,求x2-y2的值。分析：(1)若直接采用乘方計(jì)算，則計(jì)算量較大，不易算對(duì)，根據(jù)式子特點(diǎn)，考慮利用平方差公式：解：(1)652-352=(65+35)(65-35) =10030 =3000分析：(2)此題不同于前面題目，要求值，必須算出代數(shù)式的最后結(jié)果。從x2-y2的特點(diǎn)入手因式分解。解：因?yàn)?x+y=2,x-y=3 所以 x2-y2=(x+y)(x-y) =23 =6請(qǐng)同學(xué)們思考小結(jié)：1.平方差公式a2 - b2=(a + b)(a - b)中字母a, b可以表示數(shù)字，也可以表示代數(shù)式（單項(xiàng)式或多項(xiàng)式）。2.如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，應(yīng)首先提公因式，其次考慮用公式，還需合并因式中同類項(xiàng)。3.將因式分解到不能再分為止，因