高考數(shù)學(xué)必背知識點歸納與總結(jié)及例題解析

1、第六章 導(dǎo) 數(shù)第 01 講：導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義及其運算常見基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和常用導(dǎo)數(shù)運算公式;：axaxlna；C0 C 為常數(shù);xnn nx1,nN； si n xc o s x; c o s si n x ;exx elnx 1;logax1logaexx0法就 1 ：u x v x ux vx 法就 2 ：u x vx ux v x ux vx 法就 3 ：uxuxvx2uxvxvxvxvx（一）基礎(chǔ)學(xué)問回憶：1.導(dǎo)數(shù)的定義： 函數(shù) y f x 在 x 處的瞬時變化率lim x 0 yx lim x o f x 0 xx f x 0 稱為函數(shù) y f x 在 x x 0 處的 導(dǎo)

2、數(shù) ,記作 f / x 0 或y /x x 0,即 f / x 0 lim x 0 f x 0 xx f x 0 假如函數(shù) y f x 在開區(qū)間 a , b 內(nèi)的每點處都有導(dǎo)數(shù),此時對于每一個 x a , b ,都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù) f / x ,從而構(gòu)成了一個新的函數(shù) f / x ；稱這個函數(shù) f / x 為函數(shù) y f x 在開區(qū)間內(nèi)的 導(dǎo)函數(shù) ,簡稱 導(dǎo)數(shù) ,也可記作 /y ,即 f / x /y f x x f x lim x 0 x導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)都稱為導(dǎo)數(shù),這要加以區(qū)分：求一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù),就是求導(dǎo)函數(shù)；求函數(shù)y f x 在 0 x 處的導(dǎo)數(shù) y /x x 0,就是導(dǎo)函數(shù) f / x

3、在 x 處的函數(shù)值, 即 y /x x 0f / x 0 ；2. 由導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù) y f x 的導(dǎo)數(shù)的一般方法是 : 1. 求函數(shù)的轉(zhuǎn)變量f f x x f x ; （ 2）.求平均變化率 fx f x xx f x ; （3）.取極限,得導(dǎo)數(shù) /y lim x 0 fx；3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù) y f x 在 0 x 處的導(dǎo)數(shù)是曲線 y f x 上點 x 0 , f x 0 處的切線的斜率；因此,假如 f x 0 存在,就曲線 y f x 在點（x 0 , f x 0 ）處的切線方程為 _4. 常用的求導(dǎo)公式、法就（除上面 大綱 所列出的以外,仍有） ：_, x（1）公式xn/nxn

4、1的特例：x_; 1x_. （2）法就：cfx /_; 如yfu,ux,就y =_. x（二）例題分析：1例 1. 已知 y=,用導(dǎo)數(shù)的定義求 y. xx 1例 2.設(shè)曲線 y 在點 3 2, 處的切線與直線 ax y 1 0 垂直,就 a（ D）x 1A2 B1 C1 D22 21 3 4例 3.曲線 y= x x 在點（ 1,）處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（A ）3 31 2 1 2（A）（ B）（C）（D）9 9 3 32例 4. 已知直線 1l 為曲線 y x x 2 在點（ 1, 0）處的切線,2l 為該曲線的另一條切線,且 l 1 l 2 .（）求直線 2l 的方程；（）求由

5、直線 1l 、2l 和 x 軸所圍成的三角形的面積 . 第 02 講： 導(dǎo)數(shù)在爭論函數(shù)中的應(yīng)用（一）基礎(chǔ)學(xué)問回憶：y1.設(shè)函數(shù)yfx在某個區(qū)間（ a,b ）內(nèi)有導(dǎo)數(shù),假如在這個區(qū)間內(nèi),就fx在這個區(qū)間內(nèi) 單調(diào)遞增 ；假如在這個區(qū)間內(nèi),就yf x 是這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減 . 2. 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法：（ 1）求導(dǎo)數(shù)yfx； （2 ）解方程fx0；（3）使不等式fx0成立的區(qū)間就是遞增區(qū)間,使fx0成立的區(qū)間就是遞減區(qū)間；3. 求函數(shù)yfx的極值的方法 ：；fx的極（1 ）求導(dǎo)數(shù)yfx；（2）求方程的根（臨界點）是y（3 ）假如在根x 鄰近的左側(cè)fx_0,右側(cè)fx_0,那么fx0 x0是 yfx

6、大值；假如在根0 x 鄰近的左側(cè)fx_0,右側(cè)fx_0,那么f的微小值4在區(qū)間a,b上求函數(shù)yfx的最大值與最小值 的步驟：fx在a,b 內(nèi)的極值 ；（1）求函 數(shù)yf x 在a,b 內(nèi)的導(dǎo)數(shù)； （2）求函數(shù)y（3）將函數(shù)yf x 在a,b內(nèi)的各極值與端點處的函數(shù)值fa ,fb 作比較,其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值第 03 講： 導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用（一）基礎(chǔ)學(xué)問回憶：1. 結(jié)論： 如函數(shù) fx 在區(qū)間 A 上有唯獨一個極值點 x ,且 0 f x 0 是這個函數(shù)的極大（小）值,那么這個極值必定就是函數(shù) fx 在區(qū)間 A 上的最大（?。┲?；b2. 定積分的幾何意義：f x dx 表示由

7、直線 _,_,_ 和曲線ay=fx 所圍成的曲邊梯形的面積；3微積分基本定理（牛頓- 萊布尼茲公式） ：假如 fx 是區(qū)間 a,b 上的連續(xù)函數(shù),并且Fxfx,那么bfx dxF bFa ；經(jīng)常把FbFa記作Fxb | a；a高中數(shù)學(xué)專題六數(shù)列數(shù)列學(xué)問點總結(jié)第一部分等差數(shù)列a 是關(guān)于 n 的一次函數(shù),因一 、 定義式：a na n1d二 、 通項公式：ana m nm da 1n1 d一個數(shù)列是等差數(shù)列的等價條件：ananba,b 為常數(shù),即為 nZ ,所以a 關(guān)于 n 的圖像是一次函數(shù)圖像的分點表示形式；三 、 前 n 項和公式：S nn a 12anna中間項na 1n n1dbna,b

8、為常數(shù),a 0,即S 是關(guān)于2an2一個數(shù)列是等差數(shù)列的另一個充要條件：Snn 的二次函數(shù),由于 nZ ,所以S 關(guān)于 n 的圖像是二次函數(shù)圖像的分點表示形式；四 、 性質(zhì)結(jié)論1.3 或 4 個數(shù)成等差數(shù)列求數(shù)值時應(yīng)按對稱性原就設(shè)置,如：3 個數(shù) a-d,a,a+d ； 4 個數(shù) a-3d,a-d,a+d,a+3d 2.a 與 b 的等差中項Aa2b；在等差數(shù)列na中,如 mnpq ,就n,S奇n1a ma na pa ；如mn2 p ,就a ma n2 ap；3.如等差數(shù)列的項數(shù)為 2nnN,就S偶S奇nd,S奇an1；San偶如等差數(shù)列的項數(shù)為2 n1nN,就S2n12n1an,且S奇S偶

9、aS 偶n4.凡按肯定規(guī)律和次序選出的一組一組的和仍舊成等差數(shù)列；設(shè)A a 1a 2a ,n,Ba n1a n2a 2n,Ca 2 n1a 2 n2a 3 n,就有2BAC； 5.a 10,S mS ,就前S m nm+n 為偶數(shù)或S m n1m+n 為奇數(shù)最大22其次部分等比數(shù)列一 、 定義：a n1nq n2,ana0,q0an 成等比數(shù)列；a n二 、 通項公式：aa 1qn1,na qn m數(shù)列an是等比數(shù)列的一個等價條件是：S nn a b1,a0,b01,）當(dāng)q0且q0時,a 關(guān)于 n 的圖像是指數(shù)函數(shù)圖像的分點表示形式；三、前 n 項和：S nna 1qna 11a n1q1；a

10、 11qq11qq留意對公比的爭論 四、性質(zhì)結(jié)論：21.a 與b 的等比中項 G G ab G ab , a b 同號；2.在等比數(shù)列 a n 中,如 m n p q ,就 a m a n a p a ；2如 m n 2 p ,就 a m a n a p；3.設(shè) A a 1 a 2 a ,B a n 1 a n 2 a ,2C a 2 n 1 a 2 n 2 a , 就有 B A C第三部分 求雜數(shù)列通項公式 a n一構(gòu)造等差數(shù)列：遞推式不能構(gòu)造等比時,構(gòu)造等差數(shù)列；第一類：凡是顯現(xiàn)分式遞推式都可以構(gòu)造等差數(shù)列來求通項公式,例如：an11ana1,a1 1是 公 差 為2的 等 差 數(shù) 列12

11、 an1n112a11兩 邊 取 倒 數(shù)112n1nn1,從而求出a ；a n1a 11其次類： n21a nn2 n an11n n11an是公差為 1 的等差數(shù)列n1ann1an1nnnnn1an11a 1a n2n1n1二；遞推：即依據(jù)后項和前項的對應(yīng)規(guī)律,再往前項推寫對應(yīng)式；例如a nnan1ann n1 an2ann a.1a 的時候,一般通過遞推來求a ；【注: n.n n1n21】求通項公式a 的題,不能夠利用構(gòu)造等比或者構(gòu)造等差求第四部分求前 n 項和S n一 、 裂項相消法：11111111）1n11、1 1 ,231,31,41,的前 和是：）1 22 33 4n n927

12、811 11 31 4）+ （ + 131+1+1223n（+ + + +11n927811n1n1二、錯位相減法：凡等差數(shù)列和等比數(shù)列對應(yīng)項的乘積構(gòu)成的數(shù)列求和時用此方法,求：S =x3x23 5x2n-5xn-22n-3xn-11 n 2n-1x x12n-5xn-22n-3xn-1n 2n-1x xS =x3x25x3xS =x23x35x42n-5xn-12n-3xn2n-1xn+1 x1 減得：1 xS=x2 2x3 2xn-1 2xn 2x2n 1 xn+1x2 n-12x 1 x1 xn+1 2n 1 x從而求出S ；三 倒序相加法：前兩種方法不行時考慮倒序相加法例：等差數(shù)列求和

13、：S =a1a2a3n 2an23a n 1anS =ana n 1aaa2a 1兩式相加可得：2S = a 1n 1a na2an 1a 3an2a3an2概率a2aa 1a nn a 1a nS n高中數(shù)學(xué)專題九概率部分學(xué)問點大事：隨機大事（random event ）,確定性大事 : 必定大事 certain event 和不行能大事 impossible event m次,當(dāng)實隨機大事的概率統(tǒng)計定義 ：一般的,假如隨機大事A 在 n 次試驗中發(fā)生了驗的次數(shù) n 很大時,我們稱大事A 發(fā)生的概率為PAm1n概率必需滿意三個基本要求： 對任意的一個隨機大事A,有0PA用和分別表示必定大事和

14、不可能大事,就有P,1P0假如大事A 和B 互斥,就有:PABPAPB每個基本領(lǐng)古典概率 （Classical probability model）： 全部基本領(lǐng)件有限個件發(fā)生的可能性都相等滿意這兩個條件的概率模型成為古典概型假如一次試驗的等可能的基本領(lǐng)件的個數(shù)為個n ,就每一個基本領(lǐng)件發(fā)生的概率都是1 ,假如某個大事 A 包含了其中的 m個等可能的基本領(lǐng)件,就大事 A 發(fā)生的概率為nmP An幾何概型（ geomegtric probability model）：一般地,一個幾何區(qū)域 D 中隨機地取一點,記大事“ 改點落在其內(nèi)部的一個區(qū)域 d 內(nèi)” 為大事 A ,就大事 A 發(fā)生的概率為PA

15、d 的側(cè)度（ 這里要求 D 的側(cè)度不為0,其中側(cè)度的意義由D 確定,一般地,D的側(cè)度線段的側(cè)度為該線段的長度；平面多變形的側(cè)度為該圖形的面積；立體圖像的側(cè)度為其體積 ）幾何概型的基本特點： 基本領(lǐng)件等可性 基本領(lǐng)件無限多說明： 為了便于爭論互斥大事,我們所爭論的區(qū)域都是指的開區(qū)域,即不含邊界,在區(qū)域D 內(nèi)隨機地取點,指的是該點落在區(qū)域D 內(nèi)任何一處都是等可能的,落在任何部分的可能性大小只與該部分的側(cè)度成正比,而與其外形無關(guān)；互斥大事 exclusive events：不能同時發(fā)生的兩個大事稱為互斥大事對立大事（ complementary events）：兩個互斥大事中必有一個發(fā)生 ,就稱兩個

16、大事為對立大事,大事 A 的對立大事 記為： A獨立大事的概率：如 A , B 為相互獨立的大事大事 , 就 P AB P A P B,如 A 1 , A 2 , . , A n 為兩兩獨立的大事 , 就 P A 1 A 2 .A n P A 1 P A 2 . P A n說明： 如 A , B 為互斥大事 , 就 A , B 中最多有一個發(fā)生 , 可能都不發(fā)生,但不可能同時發(fā)生,從集合的關(guān)來看兩個大事互斥,即指兩個大事的集合的交集是空集 對立大事是指的兩個大事,而且必需有一個發(fā)生,而互斥大事可能指的許多大事,但最多只有一個發(fā)生,可能都不發(fā)生 對立大事肯定是互斥大事 從集合論來看：表示互斥大事

17、和對立大事的集合的交集都是空集,但兩個對立大事的并集是全集,而兩個互斥大事的并集不肯定是全集 兩個對立大事的概率之和肯定是 1 ,而兩個互斥 事 件 的 概 率 之 和 小 于 或 者 等 于 1 如 事 件 A, B 是 互 斥 事 件 , 就 有P A B P A P B 一 般 地 , 如 果 A 1 , A 2 ,., A n 兩 兩 互 斥 , 就 有P A 1 A 2 . A n P A 1 P A 2 . P A n P A 1 P A 在本教材中 A 1 A 2 . A n 指的是 A 1 , A 2 ,., A n 中至少發(fā)生一個例題選講：新課標(biāo)必修 3 概率部分學(xué)問點總結(jié)及

18、典型例題解析大事：隨機大事（random event ）,確定性大事 : 必定大事 certain event 和不行能大事 impossible event 隨機大事的概率統(tǒng)計定義 ：一般的,假如隨機大事A 在 n 次試驗中發(fā)生了m次,當(dāng)實驗的次數(shù) n 很大時,我們稱大事A 發(fā)生的概率為PAmn說明 ： 一個隨機大事發(fā)生于具有隨機性,但又存在統(tǒng)計的規(guī)律性,在進(jìn)行大量的重復(fù)事件時某個大事是否發(fā)生,具有頻率的穩(wěn)固性,而頻率的穩(wěn)固性又是必定的,因此偶然性和必定性對立統(tǒng)一 不行能大事和確定大事可以看成隨機大事的極端情形 隨機大事的頻率是指大事發(fā)生的次數(shù)和總的試驗次數(shù)的比值,它具有肯定的穩(wěn)固性,總在某

19、個常數(shù)附近搖擺, 且隨著試驗次數(shù)的不斷增多,這個搖擺的幅度越來越小,而這個接近的某個常數(shù),我們稱之為概大事發(fā)生的概率 概率是有龐大的數(shù)據(jù)統(tǒng)計后得出的結(jié)果,講的是一種大的整體的趨勢,而頻率是詳細(xì)的統(tǒng)計的結(jié)果 概率是頻率的穩(wěn)固值,頻率是概率的近似值概率必需滿意三個基本要求： 對任意的一個隨機大事PA,有0PA1用和分別表示必定大事和不可能大事,就有,1P0假如大事A 和B 互斥,就有:PABPAPB古典概率 （Classical probability model）： 全部基本領(lǐng)件有限個每個基本領(lǐng)件發(fā)生的可能性都相等滿意這兩個條件的概率模型成為古典概型假如一次試驗的等可能的基本領(lǐng)件的個數(shù)為個n,就

20、每一個基本領(lǐng)件發(fā)生的概率都是1,假如某個大事 A 包含了其中的 m個等可能的基本領(lǐng)件,就大事 A 發(fā)生的概率為 n m P A n 幾何概型（ geomegtric probability model）：一般地,一個幾何區(qū)域 D 中隨機地取一點,記大事“ 改點落在其內(nèi)部的一個區(qū)域 d 內(nèi)” 為大事 A ,就大事 A 發(fā)生的概率為PAd 的側(cè)度（ 這里要求D的側(cè)度不為0,其中側(cè)度的意義由D 確定,一般地,D的側(cè)度線段的側(cè)度為該線段的長度；平面多變形的側(cè)度為該圖形的面積；立體圖像的側(cè)度為其體積 ）幾何概型的基本特點： 基本領(lǐng)件等可性 基本領(lǐng)件無限多顏老師說明： 為了便于爭論互斥大事,我們所爭論的區(qū)

21、域都是指的開區(qū)域,即不含邊界,在區(qū)域 D 內(nèi)隨機地取點,指的是該點落在區(qū)域D 內(nèi)任何一處都是等可能的,落在任何部分的可能性大小只與該部分的側(cè)度成正比,而與其外形無關(guān)；互斥大事 exclusive events：不能同時發(fā)生的兩個大事稱為互斥大事對立大事（ complementary events）：兩個互斥大事中必有一個發(fā)生 ,就稱兩個大事為對立大事,大事 A 的對立大事 記為： A獨立大事的概率：如 A , B 為相互獨立的大事大事 , 就 P AB P A P B,如 A 1 , A 2 , . , A n 為兩兩獨立的大事 , 就 P A 1 A 2 .A n P A 1 P A 2 .

22、 P A n顏老師說明： 如 A , B 為互斥大事 , 就 A , B 中最多有一個發(fā)生 , 可能都不發(fā)生,但不行能同時發(fā)生,從集合的關(guān)來看兩個大事互斥,即指兩個大事的集合的交集是空集 對立大事是指的兩個大事,而且必需有一個發(fā)生,而互斥大事可能指的許多事件,但最多只有一個發(fā)生,可能都不發(fā)生 對立大事肯定是互斥大事 從集合論來看：表示互斥大事和對立大事的集合的交集都是空集,但兩個對立大事的并集是全集,而兩個互斥大事的并集不肯定是全集 兩個對立大事的概率之和肯定是 1 ,而兩個互 斥 事 件 的 概 率 之 和 小 于 或 者 等 于 1 如 事 件 A, B 是 互 斥 事 件 , 就 有P

23、A B P A P B 一 般 地 , 如 果 A 1 , A 2 ,., A n 兩 兩 互 斥 , 就 有P A 1 A 2 . A n P A 1 P A 2 . P A n P A 1 P A 在本教材中 A 1 A 2 . A n 指的是 A 1 , A 2 ,., A n 中至少發(fā)生一個 在詳細(xì)做題中,希望大家肯定要留意書寫過程,設(shè)處大事來, 利用哪種概型解題,就依據(jù)那種概型的書寫格式,最重要的是要設(shè)出所求的大事來 教科書 - 蘇教版）的例題 例題選講：,詳細(xì)的格式請參照我們課本上（新課標(biāo)試驗例 1. 在大小相同的6 個球中, 4 個是紅球,如從中任意選2 個,求所選的2 個球至少

24、有一個是紅球的概率？【分析】 題目所給的 6 個球中有 4 個紅球, 2 個其它顏色的球, 我們可以依據(jù)不同的思路有不同的解法解法 1 ：（互斥大事） 設(shè)大事 A 為“ 選取 2 個球至少有 1 個是紅球”,就其互斥大事為 A意義為“ 選取 2 個球都是其它顏色球”P A 1 1 P A 1-P A 1-1 14 6 5 15 15 15214答：所選的 2 個球至少有一個是紅球的概率為 . 156 5解法 2 ：（古典概型）由題意知,全部的基本領(lǐng)件有 15 種情形,設(shè)大事 A 為“ 選2取 2 個球至少有 1 個是紅球”,而大事 A 所含有的基本領(lǐng)件數(shù)有 4 2 4 314214所以 P A

25、1514答：所選的 2 個球至少有一個是紅球的概率為 . 15解法 3 ：（獨立大事概率）不妨把其它顏色的球設(shè)為白色求,設(shè)大事 A 為“ 選取 2 個球至少有 1 個是紅球”,大事 A 有三種可能的情形：1 紅 1 白； 1 白 1 紅； 2 紅,對應(yīng)的概率分別為：4 2 , 2 4 , 4 3, 就有 P A 4 2 2 4 4 3 146 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 1514答：所選的 2 個球至少有一個是紅球的概率為 . 15評判： 此題重點考察我們對于概率基本學(xué)問的懂得,綜合所學(xué)的方法,依據(jù)自己的懂得用不同的方法,但是基本的解題步驟不能少 . 變式訓(xùn)練 1 ： 在大小相

26、同的 6 個球中, 2 個是紅球, 4 個是白球,如從中任意選取 3 個,求至少有 1 個是紅球的概率？解法 1：（互斥大事） 設(shè)大事 A 為“ 選取 3 個球至少有 1 個是紅球” ,就其互斥大事為 A ,意義為“ 選取 3 個球都是白球”P A CC 6 4 33 6 4 35 24 3 2 1 46 35 24 15 P A 1-P A 1-15 453 2 1答：所選的 3 個球至少有一個是紅球的概率為 4 . 53 6 5 4解法 2 ：（古典概型） 由題意知, 全部的基本領(lǐng)件有 C 6 20 種情形, 設(shè)大事 A3 2 1為“ 選 取 3 個 球至少有 1 個是紅球”,而大事 A

27、所含有的基本領(lǐng)件數(shù)有2 C 4 2 1 4 2 4 316, 所以 P A 16 42 20 54答：所選的 3 個球至少有一個是紅球的概率為 . 5解法 3：（獨立大事概率）設(shè)大事 A 為“ 選取 3 個球至少有 1 個是紅球”,就大事 A 的情形如下：紅 白 白24312 次,每次65451 紅 2 白白 白 紅43216545白 紅 白42316545紅 紅 白2141654152 紅 1 白紅 白 紅241165415白紅 紅421165415所以PA313145155答：所選的3 個球至少有一個是紅球的概率為4 . 5變式訓(xùn)練2：盒中有 6 只燈泡,其中2 只次品, 4 只正品,有放

28、回的從中任抽抽取 1 只,試求以下大事的概率：（ 1）第 1 次抽到的是次品（ 2）抽到的 2 次中,正品、次品各一次解：設(shè)大事 A 為“ 第 1 次抽到的是次品”, 大事 B 為“ 抽到的 2 次中,正品、 次品各一次”就PA21,PB412244（或者PB24424）63669666694答： 第 1 次抽到的是次品的概率為,抽到的 2 次中,正品、次品各一次的概率為39變式訓(xùn)練 3：甲乙兩人參與一次考試共有3 道挑選題, 3 道填空題,每人抽一道題,抽到后不放回,求（ 1）甲抽到挑選題而乙抽到填空題的概率？（2）求至少1 人抽到挑選題的概率？【分析 】（1 ）由于是不放回的抽,且只抽兩道

29、題, 甲抽到挑選題而乙抽到填空題是獨立的,所以可以用獨立大事的概率（2）大事“ 至少 1 人抽到挑選題”和大事“ 兩人都抽到填空題”時互斥大事,所以可以用互斥大事的概率來解：設(shè)大事 A 為“ 甲抽到挑選題而乙抽到填空題”,大事 B 為“ 至少 1 人抽到挑選題”,就 B為“ 兩人都抽到填空題”（1）P A 3 3 3或者 P A P 3 1 P2 3 13 3 36 5 10 P 6 6 5 102（ 2）P B 36 25 15 或者 P B PP 36 2 15 就 P B 1 P B 1 15 453 4答： 甲抽到挑選題而乙抽到填空題的概率為,少 1 人抽到挑選題的概率為 . 10 5

30、變式訓(xùn)練 4 ：一只口袋里裝有 5 個大小外形相同的球,其中 3 個紅球, 2 個黃球,從中不放回摸出 2 個球,球兩個球顏色不同的概率？【分析 】先后抽出兩個球顏色相同要么是 1 紅 1 球,要么是 1 黃 1 球略解 : P A 3 2 2 3 3 或者 P A 62 35 4 5 4 5 C 5 5變式訓(xùn)練 5：設(shè)盒子中有 6 個球,其中 4 個紅球, 2 個白球,每次人抽一個,然后放回,如連續(xù)抽兩次,就抽到 1 個紅球 1 個白球的概率是多少？略解 : P A 4 2 2 4 4 2 2 4 46 6 6 6 6 6 6 6 9例 2. 急救飛機向一個邊長為 1 千米的正方形急救區(qū)域空

31、頭急救物品,在該區(qū)域內(nèi)有一個長寬分別為 80 米和 50 米的水池, 當(dāng)急救物品落在水池及距離水池10 米的范疇內(nèi)時, 物品會失效,假設(shè)急救物品落在正方形區(qū)域內(nèi)的任意一點是隨機的（不考慮落在正方形區(qū)域范疇之外的）,求發(fā)放急救物品無效的概率？【分析 】為題屬于幾何概型,切是平面圖形,其測度用面積來衡量解： 如圖,設(shè)急救物品投放的全部可能的區(qū)域,即邊長為1 千米的正方形為區(qū)域D ,大事“ 發(fā)放急救物品無效” 為A,距離水池 10 米范疇為區(qū)域d,即為圖中的陰影部分,就有PAd測度D測度805028010250104102410001000答： 略顏老師說明： 這種題目要看清題目意思,為了利用幾何概

32、率,題目中一般都會有落在所給的大的區(qū)域之外的不計的條件,但假如涉及到網(wǎng)格的現(xiàn)象是一般就不需要這個條件,由于超出一個網(wǎng)格,就會進(jìn)入另外一個網(wǎng)格,分析是同樣的變式訓(xùn)練 1：在地上畫一正方形線框,其邊長等于一枚硬幣的直徑的 2 倍,向方框中投擲硬幣硬幣完全落在正方形外的不計,求硬幣完全落在正方形內(nèi)的概率？略解：PAd測度4242242 14a, 現(xiàn)有始終徑D測度132變式訓(xùn)練 2：如圖,設(shè)有一個正方形網(wǎng)格,其中每個小正三角形的邊長都是等于a2的硬幣落在此網(wǎng)格上,求硬幣落下后與網(wǎng)格有公共點的概率？【分析 】由于圓的位置由圓心確定,所以要與網(wǎng)格線有公共點只要圓心到網(wǎng)格線的距離小于等于半徑解： 如圖,正三

33、角形ABC 內(nèi)有一正三角形A 1B 1C 1,其中aCABa,A1DB1EA1F1a,ADBEA1D6tan303a,A1B 1AB2ADa3a13633當(dāng)圓心落在三角形A 1B 1C 1之外時,硬幣與網(wǎng)格有公共點C1FADA1aa/6EB1B有公共點的概率PSABC-SA1B 1C 15,ACA7,在正方形內(nèi)SA1B 1C 13a231232a20 .824433a4答： 硬幣落下后與網(wǎng)格有公共點的概率為0.82 . 變 式 訓(xùn) 練3 ： 如 圖 , 已 知 矩 形ABCD中,ABB任取一點P,求APB90的概率？152P略解：PA252556r a 的DC 7變式訓(xùn)練 4：平面上畫了彼此相

34、距2a 的平行線把一枚半徑硬幣,任意的拋在這個平面上,求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率？解： 設(shè)大事 A 為“ 硬幣不與任何一條平行線相碰” 為了確定硬幣的位置,有硬幣的中心向距離最近的平行線作垂線OM ,垂足D 和區(qū)域 d ,懂得它為 M , 線段 OM 的長度的取值范疇為0,a,其長度就是幾何概型全部的可能性構(gòu)成的區(qū)域D 的幾何測度,只有當(dāng)0OMa時,硬幣不與平行線相碰,其長度就是滿意大事 A的區(qū)域 d 的幾何測度,所以PAr,a的長度aar0 ,a的長度答： 硬幣不與任何一條平行線相碰的概率為aar【評判與鏈接 】該題是幾何概型的典型題目,要求我們正確確認(rèn)區(qū)域們的關(guān)系以及它們的測度如何

35、來刻畫；蒲豐投針問題：平面上畫有等距離的一系列的平行線,平行線間距離為2a（a0） ,向平面內(nèi)任意的投擲一枚長為ll2a的針,求針與平行線相交的概率？解：以 x表示針的中點與最近的一條平行線的距離,又以表示針與此直線的交角,如圖易知0 xa,0,有這兩式可以確定x-平面上的一個矩形,這是 A 為圖中的為了針與平行線相交,其充要條件為xlSin,有這個不等式表示的區(qū)域2陰影部分,由等可能性知PASAl 0 2S i ndlaSaPA的值,假如l,a已知,就以值代入上式即可運算PA的值,反過來,假如已知就也可以利用上式來求,而關(guān)于 P A 的值,就可以用試驗的方法,用頻率去近似它,n既 : 如 果

36、 投 針 N 次, 其 中 平 行 線相 交 的 次數(shù) 為 n 次 , 就頻 率 為, 于 是 ,NP A l n 于是 , l Na N a n注釋：這也是歷史上出名的問題之一,用試驗的方法先用數(shù)學(xué)積分的手段結(jié)合幾何概型求出概率, 再用頻率近似概率來建立等式,進(jìn)而求出 . 在歷史上有好多的數(shù)學(xué)家用不同的方法來運算,如中國的祖沖之父子倆,仍有撒豆試驗,也是可以用來求 的. 會面問題： 甲乙兩人商定在 6 時到 7 時在某地會面,并商定先到者等候另一人一刻鐘,過時即可離去,求兩人能會面的概率？解： 設(shè)“ 兩人能會面” 為大事 A ,以 x 和 y 分別表示甲、乙兩人到達(dá)約會地點的時間,就兩人能夠

37、會面的充要條件為：xyy15在平面上建立如下列圖的坐標(biāo)系,就x,的全部可能的結(jié)果是邊長為60 的正方形 ,而可能會面的時間由圖中陰影部分所表示,由幾何概型知,PAS A6022 457ABC 中,在斜邊AB 上任取一點S60216答： 兩人能會面的概率7 . 16 課本上一道例題的變式訓(xùn)練：如圖,在等腰直角三角形M ,求AMAC的概率？【分析 】點 M 隨機的落在線段AB 上,故線段AB 為區(qū)域D ,當(dāng)點 M 位于如圖的 AC 內(nèi)時AMAC,故線段AC 即為區(qū)域 d解: 在 AB 上截取 AC AC,于是 AC AC 2P AM AC P AM ACAB AB 2答：AM AC 的概率為 22

38、【變式訓(xùn)練】 如圖,在等腰直角三角形 ABC 中,在 ACB 內(nèi)部任意作一條射線 CM ,與線段 AB 交于點 M ,求 AM AC 的概率？錯解：在 AB 上截取 AC AC,在 ACB 內(nèi)部任意作一條射線 CM ,滿意條件的 M 看作是在線段 AC 上任取一點 M ,就有 AC AC 2P AM AC P AM ACAB AB 2【分析】 這種解法看似很有道理,但認(rèn)真一看值得深思,我們再看看題目的條件已經(jīng)發(fā)生了轉(zhuǎn)變, 雖然在線段上取點是等可能的,但過和任取得一點所作的射線是勻稱的,所以不能把等可能的取點看作是等可能的取射線,在確定基本領(lǐng)件時肯定要留意觀看角度,留意基本大事的等可能性 .正解

39、：在 ACB 內(nèi)的射線是勻稱分布的,所以射線 CM 作在任何位置都是等可能的,在 AB上截取 AC AC,就 ACC 67 . 5,故滿意條件的概率為 67 5. 0 . 7590評判： 這就要求同學(xué)們依據(jù)不同的問題選取不同的角度,確定區(qū)域再利用幾何概型來求概率 .D 和 d ,求出其測度,例3.利用隨機模擬法運算曲線yx2,yx0 ,和x0,2所圍成的圖形的面積. y2,yy4,x2所圍成的部分,用隨機【分析 】在直角坐標(biāo)系中作出長方形（模擬法結(jié)合幾何概型可以得到它的面積的近似值）解：（1） 利用運算機或者運算器生成兩組 0 到 1 區(qū)間上的隨機數(shù),a 0 rand , b 0 rand（2

40、）進(jìn)行平移變換：a 2 a 0 , b 4 b 0,其中 a, b 分別隨機點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)（3）假如作 N 次試驗,數(shù)處落在陰影部分的點數(shù) N ,用幾何概型公式運算陰影部分的面積由SN1得出S8N127.8NN評判： 這是一種用運算機模擬試驗的方法,結(jié)合幾何概型公式來運算如干函數(shù)圍成的圖形面積,其基本原理仍是利用我們教材上介紹的撒豆試驗,只是用隨機數(shù)來代替豆子而已,另外要求我們懂得用試驗的頻率來近似概率的思想 .另外這種題目到我們學(xué)習(xí)了積分,仍可以有下面的解法：S2x2dxx3227.2 個,求所選的2 個球至少有003例 1. 在大小相同的6 個球中, 4 個是紅球,如從中任意選一個是紅

41、球的概率？例 2：甲乙兩人參與一次考試共有3 道挑選題, 3 道填空題, 每人抽一道題, 抽到后不放回,求（ 1）甲抽到挑選題而乙抽到填空題的概率？（2）求至少 1 人抽到挑選題的概率？例 3：一只口袋里裝有 5 個大小外形相同的球,其中 3 個紅球, 2 個黃球,從中不放回摸出 2 個球,球兩個球顏色不同的概率？例 4. 急救飛機向一個邊長為1 千米的正方形急救區(qū)域空頭急救物品,在該區(qū)域內(nèi)有一個長寬分別為 80 米和 50 米的水池, 當(dāng)急救物品落在水池及距離水池10 米的范疇內(nèi)時, 物品會失效,假設(shè)急救物品落在正方形區(qū)域內(nèi)的任意一點是隨機的（不考慮落在正方形區(qū)域范疇之外的）,求發(fā)放急救物品

42、無效的概率？例 5：如圖,設(shè)有一個正方形網(wǎng)格, 其中每個小正三角形的邊長都是a, 現(xiàn)有始終徑等于a2的硬幣落在此網(wǎng)格上,求硬幣落下后與網(wǎng)格有公共點的概率？CC1FADA1aa/6EB1B. 例 6 ：如圖,在等腰直角三角形ABC 中,在斜邊AB 上任取一點M ,求AMAC的概率？例 7、 利用隨機模擬法運算曲線yx2,y0,和x2所圍成的圖形的面積. 期望、方差、正態(tài)分布期望、方差學(xué)問回憶：1數(shù)學(xué)期望 : 一般地,如離散型隨機變量 的概率分布為 x1 x2xn P p 1 p 2p n就稱 E x 1p 1 x 2p 2x np n為的數(shù)學(xué)期望,簡稱期望2. 期望的一個性質(zhì): E abaEbp

43、 n p3. 如 B （n,p）,就 E= np4. 方差 : Dx 1E2p 1x2E2p2 xnE25. 標(biāo)準(zhǔn)差 : D的算術(shù)平方根D叫做隨機變量 的標(biāo)準(zhǔn)差,記作np 16. 方差的性質(zhì) ：D ab 2 aD；如 B （n,p）,就 D正態(tài)分布學(xué)問回憶：1. 如總體密度曲線就是或近似地是函數(shù)fx1ex22,xR的圖象,就其分布叫22正態(tài)分布,常記作N,2fx的圖象稱為正態(tài)曲線,12,其圖象如下圖所三條正態(tài)曲線：,10.5；0 ,1；示：觀看以上三條正態(tài)曲線,得以下性質(zhì)：曲線在 x 軸的上方,與 x 軸不相交曲線關(guān)于直線 x 對稱,且在 x 時位于最高點當(dāng) x 時,曲線上升； 當(dāng) x 時,曲

44、 線下降 并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延長時,以 x 軸為漸近線,向它無限靠近散；當(dāng)肯定時,曲線的外形由確定越大,曲線越“ 矮胖”,表示總體的分布越分越小,曲線越“ 瘦高”,表示總體的分布越集中注 意 : 當(dāng) 0 , 1 時 , 正 態(tài) 總 體 稱 為 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 總 體 , 相 應(yīng) 的 函 數(shù) 表 示 式 是x 2f x 1 e 2 , x R相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線2 x 22. 正態(tài)總體的概率密度函數(shù)：f x 1e 2 2, x R , 式中 , 是參數(shù), 分別表示總體2的平均數(shù)（期望值）與標(biāo)準(zhǔn)差；當(dāng)0 時得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)：fx1ex 2,x,. 22 63. 正態(tài)曲線的性質(zhì)

45、：4. 曲線位于 x 軸上方,與x 軸不相交；曲線是單峰的,關(guān)于直線x對稱；曲線在 x處達(dá)到峰值1；2曲線與 x 軸之間的面積為1 ；,是參數(shù),是參數(shù)的意義 : 當(dāng) 肯定時,曲線隨 質(zhì)的變化沿 x 軸平移； 當(dāng) 肯定時, 曲線外形由 確定：越大,曲線越“ 矮胖” ,表示總體分布越集中；越小,曲線越“ 高瘦”,表示總體分布越分散；5對于 N , 2,取值小于 x 的概率 F x x. P x 1 x 0 x 2 P x x 2 P x x 1 F x 2 F x 1x 2 x 1 . 典型例題：18. （本小題滿分 12 分）某項選拔共有三輪考核,每輪設(shè)有一個問題,能正確回答疑題者進(jìn)入下一輪考試

46、,否就即被剔除,已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為 4 、3 、2 ,且各輪問5 5 5題能否正確回答互不影響 . （）求該選手被剔除的概率；（）該選手在選拔中回答疑題的個數(shù)記為 ,求隨機變量的分布列與數(shù)數(shù)期望.（注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示）解法一：（）記“ 該選手能正確回答第i 輪的問題” 的大事為iA i1 2 3, ,就P A 14,P A 23,55P A 32,5該選手被剔除的概率PP A 1A A 2A A A 3P A 1P A P A 2P A P A P A 3142433101555555125P A 11,（）的可能值為 1 2 3,P15P 2P A

47、A 2P A P A 2428,5525P 3P A A 2P A P A 243125525的分布列為P1 2 1 2 3, ,就3 4,P A 23,181252525E112831257 2552525iA iP A 1解法二：（）記“ 該選手能正確回答第i 輪的問題” 的大事為55P A 321P A A A 31P A P A P A 35該選手被剔除的概率P1432101555125（）同解法一18 （本小題滿分 12 分）某射擊測試規(guī)章為：每人最多射擊 3 次,擊中目標(biāo)即終止射擊,第 i 次擊中目標(biāo)得 1 i i 1 2 3, 分, 3 次均未擊中目標(biāo)得 0 分已知某射手每次擊中

48、目標(biāo)的概率為 0.8 ,其各次射擊結(jié)果互不影響（）求該射手恰好射擊兩次的概率；（）該射手的得分記為,求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望P A0.2,解（）設(shè)該射手第i 次擊中目標(biāo)的大事為iA i12 3, ,就P A0.8,P A A iP A P A i0.2 0.80.16（）可能取的值為0,1, 2,3的分布列為0 1 2 3 P0.008 0.032 0.16 0.8 E00.008 1 0.03220.163 0.82.752. 19 本小題滿分12 分某食品企業(yè)一個月內(nèi)被消費者投訴的次數(shù)用表示,椐統(tǒng)計,隨機變量的概率分布如下：求 a 的值和p 0 1 2 3 0.1 0.3 2a a 的

49、數(shù)學(xué)期望；（） 假設(shè)一月份與二月份被消費者投訴的次數(shù)互不影響 費者投訴 2 次的概率；,解（ 1）由概率分布的性質(zhì)有0.1+0.3+2a+a=1,解答 a=0.2 的概率分布為,求該企業(yè)在這兩個月內(nèi)共被消0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.4 0.2 E 0*0.1 1*0.3 2*0.4 3*0.2 1.7（2）設(shè)大事 A 表示“ 兩個月內(nèi)共被投訴 2 次” 大事 1A 表示“ 兩個月內(nèi)有一個月被投訴 2 次,另外一個月被投訴 0 次” ；大事 A表示“ 兩個月內(nèi)每月均被投訴 12 次”就由大事的獨立性得1P A 1 C P 0 2*0.4*0.1 0.082 2P A 2 P 1 0.

50、3 0.09P A P A 1 P A 2 0.08 0.09 0.17故該企業(yè)在這兩個月內(nèi)共被消費者投訴 2 次的概率為 0.17 20. 如圖, A 地到火車站共有路徑兩條1L 和L ,據(jù)統(tǒng)計,通過兩條路徑所用的時間互不影響,所用時間落在個時間段內(nèi)的頻率如下表：時間（分鐘）10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 1L 的頻率0.10.20.30.20.2L 的頻率0 0.10.40.40.1現(xiàn)甲、乙兩人分別有40 分鐘和 50 分鐘時間用于趕往火車站（1 ）為了盡最大可能在各自答應(yīng)的時間內(nèi)趕到火車站,甲和乙應(yīng)如何挑選各自的路徑？（2 ）用 X 表示甲、 乙兩人中在答應(yīng)的

51、時間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù),針對（1）的挑選方案,求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 . 20. （本小題滿分 13 分）某銀行柜臺設(shè)有一個服務(wù)窗間統(tǒng)計結(jié)口,假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間相互獨立,且都是整數(shù)分鐘,對以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時果如下：從第一個顧客開頭辦理業(yè)務(wù)時計時 . （）估量第三個顧客恰好等待4 分鐘開頭辦理業(yè)務(wù)的概率；（）表示至第 2 分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望. 高中數(shù)學(xué)專題十 一基本原理排列組合1加法原理 ：做一件事有 n 類方法,就完成這件事的方法數(shù)等于 各類方法數(shù)相加；2乘法原理 ：做一件事分 n 步完成,就完成這件事的方法數(shù)等于各步方法數(shù)相 乘；二排列：從

52、 n 個不同元素中,任取m （m n ）個元素,依據(jù)肯定的次序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m 個元素的一個排列,所有排列的個數(shù)記為Am.n公式：1.A n mnn1n2nm1nn .r C n1r C nr C n1m2.規(guī)定： 0.11n.nn1.,n1n.n1.2 nn.n11n.n1n.n.n1.n.；3 nn1.n1 1n1n11.1n11.n1.n1.n.三組合：從 n 個不同元素中任取m（m n）個元素并組成一組,叫做從n 個不同的 m 元素中任取m 個元素的組合數(shù),記作Cn ；1. 公式：CmAmn n1 .nm1n.m.nnAmmm nm規(guī)定：C01n2. 組合數(shù)性質(zhì)：C

53、mn C nm,CmCm1Cm1,C0C1Cn2nnnnnnnn；注：r C rCr1r C r2r C n1r C nr C r1Cr1r C r2r C n1r C nr C r1r C r2r1r21如C n m 1m C n2就m =m 12或m +m 1 2n四、二項式定理可以用以下公式表示：其中,又有 等記法,稱為 二項式系數(shù) ,即取的 組合數(shù) 目；五處理排列組合應(yīng)用題1.明確要完成的是一件什么事（審題）有序仍是無序 分步仍是分類；3排列應(yīng)用題：（1）窮舉法（列舉法）2 、特別元素優(yōu)先考慮、特別位置優(yōu)先考慮；（3）相鄰問題：捆邦法：（4）隔板法：不行辨論的球即相同元素分組問題例 1

54、 .電視臺連續(xù)播放 6 個廣告,其中含 4 個不同的商業(yè)廣告和 2 個不同的公益廣告,要求首尾必需播放公益廣告,就共有種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示） . 解：分二步： 首尾必需播放公益廣告的有A22種；中間 4 個為不同的商業(yè)廣告有A44種,從而應(yīng)當(dāng)填 A 22A4448. 從而應(yīng)填 48例 2.6 人排成一行,甲不排在最左端,乙不排在最右端,共有多少種排法？例 3.有 4 個男生,3 個女生,高矮互不相等, 現(xiàn)將他們排成一行, 要求從左到右,女生從矮到高排列,有多少種排法？. 例 4.從 4 臺甲型和 5 臺乙型電視機中任取 各一臺,就不同的取法共有3 臺,其中至少要甲型和乙型電視機例

55、5從 5 名男生和 4 名女生中選出 4 人去參與辯論競賽（1）假如 4 人中男生和女生各選 2 人,有種選法； （2）假如男生中的甲與女生中的乙必需在內(nèi),有種選法； （3）假如男生中的甲與女生中的乙至少要有（4）假如 4 人中必需既有男生又有女生,有種選法1 人在內(nèi),有 種選法；分析：此題考查利用種數(shù)公式解答與組合相關(guān)的問題 .由于選出的人沒有位置的差異,所以是組合問題 . 高考練習(xí)16 個人分乘兩輛不同的汽車, 每輛車最多坐 4 人,就不同的乘車方法數(shù)為 A40 B 50 C60 D70 解析 選 B. 2有 6 個座位連成一排,現(xiàn)有 3 人就坐,就恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有A36 種

56、B48 種C72 種D96 種解析 選 C. 3只用 1,2,3 三個數(shù)字組成一個四位數(shù),規(guī)定這三個數(shù)必需同時使用,且同一數(shù)字不能相鄰顯現(xiàn),這樣的四位數(shù)有 A6 個 B9 個 C18 個 D36 個解析 18 個4男女同學(xué)共有 8 人,從男生中選取 2 人,從女生中選取 1 人,共有 30 種不同的選法,其中女生有 A2 人或 3 人 B3 人或 4 人 C3 人 D4 人解析 2 人或 3 人5某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10 級,上樓可以一步上一級,也可以一步上兩級,如規(guī)定從二樓到三樓用 8 步走完,就方法有 A45 種 B36 種 C28 種 D25 種解析 28 種6某公司聘請來 8 名

57、員工,平均安排給下屬的甲、乙兩個部門,其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個部門, 另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個部門,就不同的安排方案共有 C38 種D108 種A24 種B36 種解析 36 種7已知集合 A5 ,B1,2 ,C1,3,4 ,從這三個集合中各取一個元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo),就確定的不同點的個數(shù)為 A33 B34 C35 D36 解析 選 A. 8由 1、2、3、4、5、6 組成沒有重復(fù)數(shù)字且 的個數(shù)是 1、3 都不與 5 相鄰的六位偶數(shù)A72 B96 C108 D144 解析 108 個9假如在一周內(nèi) 周一至周日 支配三所學(xué)校的同學(xué)參觀某展覽館,每天最多只 支配

58、一所學(xué)校, 要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天, 其余學(xué)校均只參觀一天, 那么不同的支配方法有 B60 種C120 種D210 種A50 種解析 選 C. 10 支配 7 位工作人員在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能支配在 5 月 1 日和 2 日,不同的支配方法共有 _種 用數(shù) 字作答 解析 2400 種11 今有 2 個紅球、 3 個黃球、 4 個白球,同色球不加以區(qū)分,將這 9 個球排成 一列有 _種不同的排法 用數(shù)字作答 解析 1260 種 12 將 6 位理想者分成 4 組,其中兩個組各 會的四個不同場館服務(wù),不同的安排方案有 解析 1 080 種2 人,另兩個組各 1 人,分赴世博 _種用數(shù)字作答 13 要在如下列圖的花圃中的 5 個區(qū)域中種入 4 種顏色不同的花,要求相鄰區(qū)域不同色,有 _種不同的種法 用數(shù)字作答 解析 72 種14. 將標(biāo)號為 1,2,3,4,5,6 的 6 張卡片放入 3 個不同的信封中如每個 信封放 2 張,其中標(biāo)號為 1